钦定四库全书
几何论约卷一
柘城杜知耕撰
一题
有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角
形先以甲为心乙为界作丙乙丁
圜次以乙为心甲为界作丙甲丁
圜两圜相交于丙于丁末作甲丙乙丙两线即甲乙丙为平边三角形
论曰两圜既等甲乙乙丙丙甲三线皆圜之半径故等【界説十五】
用法不必作全圜但作短界线相交处即得丙【下图】二题
一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界作乙戊圜次观甲防若
在丙乙之外则作甲丙线
如上圗或甲防在丙乙之
内则截取甲丙线如下圗
两法俱以甲丙线为底作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊引丁甲出圜界外稍长为甲己末以丁为心戊为界作辛戊圜其丁己线与辛戊圜相交于庚即甲庚与乙丙等论曰丁戊丁庚同为外圜半径故等丙戊丙乙同为内圜半径亦等于丁庚减丁甲于丁戊减丁丙其所减两腰等则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊即等于丙乙矣
若所设甲防在丙乙线之一界其法尤易若甲防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求三题
长短两直线求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先作乙丁线与甲等次以乙为心丁为
界作圜圜界交乙丙于戊即乙戊与等甲之乙丁等盖乙丁乙戊同心同圜故也【界説十五】
四题
两三角形若相当之两腰各等各两腰间角等则两底必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两角形甲与丁两角等甲丙
与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底必等而两角
形亦等乙与戊两角丙与己两角俱等【三角形称为角形省文也】
五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又引甲丙
至戊引甲乙至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
増凡三边等形其三角俱等
六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
七题
一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此防外相遇
解曰乙丙线为底于乙于丙各出一线至甲防相遇不得于乙上更出一线与甲乙等丙
上更出一线与甲丙等而不于甲相遇
八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙
与戊己两底亦等题言甲丁两角必等
糸本题止论甲丁两角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等角必等不可疑也
九题
有直线角求两分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙截甲戊与甲丁等次作丁戊线次以丁戊为底立丁己戊
平边三角形【本卷一】末作甲己线即乙甲丙角为两平分
用法如前截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间作一短界线次用元度以戊
为心亦如之两界线交处即得己【本卷一】
十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本卷一】次平分丙角【本卷九】作丙丁线即平分甲乙于丁
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙
丁线即平分甲乙于戊
十一题
一直线任于一防上求作垂线
法曰甲乙直线任指丙防求作垂线先任用一度于丙左右各截一界为丁为戊次以丁戊为底作丁己戊两邉等角形【本卷一】末作己丙线即为甲乙之垂线
用法于丙防左右如前截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界
线交处即己
増若所欲立垂线之防在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取丙防如前法于丙上立丁丙垂线次平分甲丙丁角为己丙线次于丁丙线截取戊丙与甲丙等次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚末自庚作庚甲线为所求
论曰庚丙甲庚丙戊两角形等甲与戊两角必等戊既直角则甲亦直角故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界为丙次用元度以丙为心作大半圜圜界遇甲乙线于丁次自丁至丙作直线引长至戊遇圜界于己末作己甲线为所求
耕曰丁己既过丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也丁甲己角既负半圜必为直角【三卷三一】故己甲为甲乙之垂线
十二题
有无界直线之外有一防求自防作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求自丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁戊次作丙丁丙戊两线次平分丁戊于
己【本卷十】末作丙己为所求
用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用一度以甲为心向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末作丙丁交直线于戊即丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲或近乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长
之次于甲乙线上视前心或相
望如上圗或进或退如下图任
移一防为心以丙为界作一圜
界与前圜界交处得丁末作丙丁线交甲乙线于戊即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取亦用此法】
十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角
解曰甲乙线至丙丁线上作甲乙丙甲乙丁两角题言此两角若非直角即一鋭一钝而并之等于两直角
论曰试作戊乙垂线【本卷十一】则成戊乙丁戊乙丙两直角甲乙丁角加一戊乙甲角与戊乙丁直角等甲乙丙角减一戊乙甲角与戊乙丙直角等故甲乙丁甲乙丙两角并与两直角等
十四题
一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角若旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙防上左岀一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两
直角等题言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】
十五题
凡两直线相交作四角毎两交角必等
解曰甲乙丙丁两线相交于戊题言甲戊丙丁戊
乙两角甲戊丁丙戊乙两角各等
论曰两直线相交则甲戊丁丁戊乙必等于
两直角甲戊丁甲戊丙亦等于两直角【本卷十三】是甲戊丁丁戊乙两角并与甲戊丁甲戊丙两角并等矣试减同用之甲戊丁角所存丁戊乙甲戊丙两角必等余两角亦同此论
一糸推显两直线相交作四角与四直角等
二糸凡直线相交于一防不论几许线几许角定与四直角等
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线【理同本题反言之】
十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引至丁题言丁甲丙外角必大于相对之甲乙丙甲丙乙内角
论曰试以甲丙平分于戊作乙戊线引长之从戊截取戊己与乙戊等次作甲己线成甲戊己戊乙丙两角形其戊己与戊乙戊甲与戊丙各等甲戊己乙戊丙两交角又等【本卷十五】则甲己与乙丙两底亦等【本卷四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙矣依前
推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本卷十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣
十七题
凡三角形之毎两角必小于两直角
解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角
论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本卷十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本卷十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此
十八题
凡三角形大邉对大角小邉对小角
解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角
论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本卷五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本卷十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题
凡三角形大角对大边小角对小边
二十题
凡三角形之两边并必大于一边
二十一题
凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角
解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小
于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题
三直线其毎两线并大于一线求作三角形
法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本卷二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等
截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作 若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】
用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如
之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】
二十三题
一直线任于一防上求作一角与所设角等
法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形
次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题
两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大
解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若
甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底
二十五题
两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大
二十六题
两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之
丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等
二十七题
两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行
论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本卷十六】若两角等则两线必平行
二十八题
两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行
解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行
二十九题
两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】
三十题
两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】
三十一题
一防上求作直线与所设直线平行
法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本卷二三】为
戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求
论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本卷二八】
用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛
末作甲辛线为所求
又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向
上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作
丁甲线为所求【出几何要法】
増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
角与所设角等
法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
依丁己平行作庚戊为所求
三十二题【二支】
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
外角与甲乙两内角并等
论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
后解曰甲乙丙三角并与两直角等
论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本卷十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当
四直角第三形【可分三角形三】当六
直角第四形【可分三角形四】当八直
角从此可推至无穷
耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
一糸凡诸种角形之三角并俱相等
二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
三糸平边角形毎当直角三分之二
四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
当直角三分之二
増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本卷一】次平分甲丁于戊【本卷九】末作乙戊线
三十三题
两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
三十四题
凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
即分本形为两平分
三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】
先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本卷四】次于两角
形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等
三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
等题言两形亦等
论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本卷三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
耕曰三角形当等高等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
即分本形为两平分
论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
己丁线即分本形为两平分
论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
三十九题
两三角形其底同其形等必在两平行线内
四十题
两三角形其底等其形等必在两平行线内
四十一题
两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
四十二题
有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本卷十】次作甲庚直线与乙丙平行末作
丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
凡方形对角线旁两余方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等
论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等
四十四题
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本卷四二四三】
四十五题
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本卷四二四四】
増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
四十六题
一直线上求立直角方形
法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
作丙丁聨之即直角方形
四十七题
凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等
解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并
等
曰试从甲作甲癸直线
与乙戊平行分乙丙邉于
子次自甲至丁至戊各作
直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本卷十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两
边等甲乙戊与丙乙己两
角既等则对等角之甲戊
与丙己两边亦等而此两
角形亦等矣夫乙庚方形
倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此
四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角
几何论约卷一