《革象新书》革象新书卷五

元　赵友钦　撰

小罅光景　句股测天

乾象周髀

小罅光景

室有小罅虽不皆圆而罅景所射未有不圆及至日食则罅景亦如所食分数罅虽寛窄不同景郤周径相等但寛者浓而窄者淡若以物障其所射之处迎夺此景于所障物上则此景较狭而加浓予始未悟其理因熟思之凡大罅有景必随其罅之方圆长短尖斜而不别乃因罅大而可容日月之体也若罅小则不足容日月之体是以随日月之形而皆圆及其缺则皆缺罅渐窄则景渐淡景渐逺则周径渐广而愈加淡大罅之景渐逺亦渐广然不减其浓此则浓淡之别也假于两间楼下各穿圆穽于当中径皆四尺余右穽深四尺左穽深八尺置卓案于左穽内案髙四尺如此则虽深八尺只如右穽之浅作两圆板径广四尺俱以蜡烛千余枝密插于上放置穽内而燃之比其形于日月更作两圆板径广五尺覆于穽口地上板心各开方窍所以方其窍者表其窍小而景必圆也左窍方广寸许右窍方广寸半许所以一寛一窄者表其寛者浓而窄者淡也于是观其楼板之下有二圆景周径所较甚不多郤有一浓一淡之殊详察其理千烛自有千景其景皆随小窍而方烛在穽心者方景直射在楼板之中烛在南边者方景斜射在楼板之北烛在北边者方景斜射在楼板之南至若东西亦然其四旁之景斜射而不直者縁四旁直上之光障碍而不得出从旁达中之光惟有斜穿出窍而已穽内既已斜穿窍外止得偏射偏中之景千数交错周遍疉砌则总成一景而圆所以有浓淡之殊者葢两处皆千景疉砌圆径若无广狭之分但见其窍寛者所容之光较多乃千景皆广而疉砌稠厚所以浓窍窄者所容之光较少乃千景皆狭而疉砌稀薄所以淡于是向右穽东边减郤五百烛观其右间楼板之景缺其半于西乃小景随日月亏食之理也又灭左穽之烛但明二三十枝防密得所观其楼板之景虽是周圆布置各自防防为方不相黏附而愈淡矣又皆灭而但明一烛则只有一景而方缘为窍小而光形尤小窍内可以尽容其光郤为大景随空罅之象矣若依旧皆燃左穽之烛则左景复圆别将广大之板二片各悬于楼板之下较低数尺以障楼板而迎夺其景此景较于楼板者敛狭而加浓所以迎夺其景者表其景近则狭而浓逺则广而淡也烛光斜射愈逺则所至愈偏则距中之数愈多围旁皆斜射所以愈偏则周径愈广景之周径虽广烛之光熖不增如是则千景展开而重疉者薄所以愈广则愈淡亦如水多则味减也然其板不可侧髙偏低否则景不正圆而长于是去其所悬之板举其左穽连板之烛彻去穽内卓案复燃连板之烛置于穽防而揜之窍既逺于烛景则敛而狭所以敛狭者葢是窍与烛相逺则斜射之光敛而稍直光皆敛直则景不得不狭景狭则色当浓烛逺则光必薄是以难于加浓也先论景距窍之逺近此复论烛距窍之逺近景之逺近在窍外烛之逺近在窍内凡景近窍者狭景逺窍者广烛逺窍者景亦狭烛近窍者景亦广景广则淡景狭则浓烛虽近而光衰者景亦淡烛虽逺而光盛者景亦浓由是察之烛也光也窍也景也四者消长胜负皆所当论者也于是彻去所覆两穽之板别作圆板二片径广尺余右片开方窍方广四寸左片开尖窍三曲皆广五寸余各以索悬于楼板之下令其可以渐髙渐低所以渐髙渐低者表其景之逺广而近狭也仰观楼板之景左尖右方俯视烛光之形左全右半此则大景随空之象各自方尖不随烛光而圆缺也然穽大而板窍仍小今喻以为大罅者葢穽于板窍较逺逺则虽大犹小窍于楼板较近近则虽小犹大方尖窍内可以尽容烛光之形也原尖小窍之千景似乎鱼鳞相依周遍布置大罅之景千数比于沓纸重疉不散张张无参差由此观之大则总是一穽之景似无千烛之分小则不覩一穽之全碎砌千烛之景是故小景随光之形大景随空之象断乎无可疑者

句股测天

句股之术可以测天然髙深广逺难于推步筹防今姑以浅近喻之塔髙十丈未知其数于塔之正东立一木表于表东席地而卧以眼西望塔顶望见塔顶虽髙只与表末相齐于是自塔心量至表根为数五丈又自表根量至测望之眼为数一丈二尺五寸再立后表于前表正东从后表正东如前望之见塔顶亦与后表之末相齐量得两表相逺三丈自后表之根东至测望之眼为数二丈先量得两表皆髙二丈有余从表首下至与眼平只髙二丈亦可以算术求其塔髙两表相逺三丈名曰表间前目距前表一丈二尺五寸名曰前景后目距后表二丈名曰后景前后两景相多七尺五寸名曰景差所以名为景者葢是将灯置于塔顶假若两表有景长短必齐于眼望之处故以名其数也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸即是其表每移一丈景差二尺五寸若移前表过西一丈景必减作一丈且移过西四丈景必减尽无余是犹表直于戴日之下则无景也如此则知塔心与前表相远五丈以后表名为小股后景名为小句句者矩之短处也股即木匠之曲尺以塔心距前表之五丈通并表间三丈则知塔心距后表八丈更加后景二丈共计十丈名为大句塔顶髙数名为大股以小勾股作大勾股之则例既然小句二丈而小股二丈则知大句十丈大股必十丈矣若不用后表后景为小勾股而求塔髙前表前景亦可用也以前表二丈为小股前景一丈二尺五寸为小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之数五丈共六丈二尺五寸为大勾塔髙之数为大股以小句股为大句股之则例计小句之数每一丈为小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必十丈矣若或显言塔逺之数五丈止立一表以测塔髙者如前名作小句股郤以大句求大股而为塔髙此一表之术乃先知塔逺而止求塔髙若前两表之术则皆未知所以先求塔逺而郤慿塔逺以求塔髙也既可将逺求髙亦可将髙求逺今以画图言之画一棊枰纵横各十寸每眼比一丈总为百眼如此则纵横各有十一画边西第一直画涂红喻为塔髙十丈边东第三直画偏低涂青喻为后表二丈当中直画偏低涂黄喻为前表二丈于后表之东横底涂青喻为后景二丈景末作一圏喻为后目于前表之东横底涂黄喻为前景一丈二尺五寸景末作一圏喻为前目从前目斜画一线向西而髙至塔顶名为前大后目亦如前画为后大此两条非实有物乃眼绳也谓之者葢矩曲畧似乎弓两端斜距之数则似弓弰安两表之末必与斜相凑可比两表之末俱与塔顶相齐以图视之眼绳两条合尖于塔顶渐低则渐开至地平而开广三丈七尺五寸表末只开广三丈如此则是敛窄七尺五寸计髙一表之数二丈以心度云眼绳于地平开广三丈七尺五寸若将敛窄尽絶则至塔顶而髙五表之数每表髙二丈则知塔髙十丈矣十丈为股用之求大句者则亦以小句股为则例而求之后表小股二丈而小句亦二丈如此则大股十丈可知大句必十丈矣大句即是塔逺后目之数前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺二寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句即是塔逺前目之数先已知大股而止求大句者不须两表之小句股但用一表之小句股为则例而求之乃先知塔髙而止求塔逺也大句大股已得其数亦可求大乃眼绳之斜长即人目距塔顶之斜逺也欲求其数不可不明其乘除开方所谓乘者七其八得五十六名曰七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二与三十相乘则得三百六十所谓自乘者三其三为九或十其十为百或百其百为万或十九自乘十九则为三百六十一凡自乘之数名曰幂幂是覆物之巾方而有眼数自乘之数必方故名为幂所谓除者七除其五十六各得八乃置五十六如七而一则为八也或八除其五十六各得七乃置五十六如八而一则为七也或十二除其三百六十而得三十谓之如十二而一或三十除其三百六十而得十二谓之如三十而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其万而得百皆曰除也所谓开方者九而开方而得三或百而开方得十或万而开方得百或三百六十一而开方纵横皆得十九是谓开方也凡已乘之数除则复元已除之数乘则复元今求眼绳斜长之数当用句股求之术其术曰句自乘名句幂股自乘名股幂两幂相并为幂开为平方即得其凡以丈尺求者宜改为寸数以算之今以后表所测大句十丈准为大句一千寸其一千寸共乗得一百万寸名曰句幂大股数同名为股幂相并得二百万寸名为幂开为平方得后大乃一千四百一十四寸有竒是后表之眼绳长一十四丈一尺四寸有余也以前表求前者仿之后之幂二百万寸而开方譬似方砖二百万片砌于方台之上东西南北纵横数之皆广一千四百一十四片尚有方砖六百四片若欲用尽无余则碎之而砌作大方余数此术以塔心喻戴日之下以塔顶喻日之髙以灯影喻日景喻月景亦然众星无景则人以目就地望而准之测得三辰之髙则可知日月不附着于天而悬虚运转若五纬较逺于经星则是五纬亦悬虚而不附着设或五纬与经星之髙逺相齐则是五纬如磨蚁而右旋矣塔之为物髙数不多两表相距三丈亦可以测若夫三辰之髙必须两表相距数百里否则不觉其景差里之为数长三百步每步之长伸手一度也浙尺约六淮尺约五世间路里迢遥难取径直既然地上量之不直岂能推其三辰髙逺是以古人测表景千里一寸之差犹未亲切姑以其术言之然古者制表未精今别定表之制度并述元有算法就地中各去南北数百里仍不偏于东西俱立一表约髙四丈于表首之下数寸许作一方窍所以低数寸者恐其表首景淡也所以方其窍者葢小窍有景不随空罅之象必随日月之形可以测日月之周径也其窍外广而内狭当中薄如连邉两旁如侧置漏底之盌形圆而窍方所以然者葢日光斜射之际恐其窍枵相妨也窍空之大小当于地上试景而定之直立其表而后试稍有偏斜则不可准若试而光淡者窍差小也景不圆者窍差大也须得酌中为佳若表末细而不可开大窍者以木接之以薄板接之尤妙葢为作侧盌之状也自表根量至空窍下际其寸数名曰表髙两表制度须同不可差异少许同日测表景于正午之时自表根量地至于空窍下际之景其寸数名曰表景以南北表景之数相减余名景差两表相距路里变作寸数名曰表间各乗南北表景各如景差而一即得二表各与戴日之地相距寸数名曰平逺南北各以表景加之所得各以表髙乘之各如表景而一即得日轮顶与戴日地相距寸数名曰日髙乘表间如景差而一却加表髙亦得日髙也若求日轮底之髙者量表髙则至空窍上际量表景亦至空窍上际之景算法竝不殊若将日轮顶底之两髙数相减则知日圆之径以南北表景各加平逺所得自乗名句幂日髙自乗名股幂两幂相并名幂开为平方名曰日逺乃南北表窍之景距日斜逺也然南北各有两数葢日轮顶底各距表窍上下之景际其相逺寸数可于南北各作两次求之凡测早晚者仿此太隂亦然若谓表髙难直者当并树两表构横木以为髙架横木之中钉一方环如前表窍之制须当穏实不揺曵却悬一壮绳以代木表系于悬虚之中坠石去地寸许令其急而不缓则直可准矣若测众星者量表则至于窍心望亦须在窍心也此句股之法以横测逺以树测髙乃测髙逺也若测广逺者则以绳引于地而为句股句与股皆横测之若测深逺者髙立表木横构二平木于表前以横测逺以树测此句股则又有横树之分矣夫测三辰之髙逺者必须逺量两表之间然难于地平直步要当节节测望地平之逺数却通并以为表间是又不可不知也

乾象周髀

日之圆径一度以算术求其周围计三度一十四分一十六秒月之周径比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算术求其中径计一百一十六度二十六分五十一秒径当周中似乎圆扇夹脊平分两旁即是南北二极相距之直数折半计五十八度一十三分二十五秒有奇乃是六合各距天中之均数天体圆如弹丸东西南北相距皆然凡相距平分之数皆圆中之径也古人谓圆径一尺周围三尺方广一尺边旁四尺圆象天而天数三方象地而地数四数分隂阳自然有理后世考究则不然方广一尺而边旁四尺无可言者若言圆径一尺而周围三尺则三尺尚有余围三尺而中径一尺则一尺为不足葢围三尺径一尺是六角之田也或谓圆径一尺周围三尺一寸四分【案此刘徽所推】或谓圆径七尺周围二十二尺【案此祖冲之所推约率】或谓圆径一百一十三周围三百五十五【案此祖冲之所推密率】径一尺而周三尺一寸四分犹自径多围少径七尺而周二十二尺却是径少周多径一百一十三而周围三百五十五最为精密今求日周天径是此法也既论其异同亦当言其考究之术画为百眼棊盘一眼广一寸横十寸名句在于东西相距方图之内画为圆图是去其方之四角也圆径十寸与外方之股数相同圆径名髀圆之髀比方之股其数同而字义不异但有方圆之别就圆图之内又画小方图其小方四角不指外方之四角而斜抵东西南北之四正葢其外大方四角在于乾坤艮巽其内小四角在于坎离震兊小方四角斜一十寸尚是圆中之髀为数不殊于外方之股以外方而比内方包容之积相半外方积一百寸内方积五十寸何以知其然葢将外方均作四隅而视之一半归于内一半出于外由是察之圆中之直髀即内方之斜内方既用为圆中难以名股句股与名不可紊故称为髀以别之内方之十寸自乗得一百寸名幂凡幂必兼得句股两幂之数今图方而纵横相同当以幂均为句股两幂各得五十寸而开方即知句股皆七寸有余考究圆围本起于此考究之术将薄纸剪圆而临于棊枰之上不须于纸上画为方眼但景映以为准则然后于此薄纸之上模下之小方以算术展为圆象充满所定之圆围自四角之方添为八角曲圆为第一次若第二次则求其为曲十六若第三次则求其为曲三十二若第四次则求其为曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次则求其为曲一万六千三百八十四其初之小方渐加渐展渐满渐实角数愈多而其为方者不复方而变为圆矣故自一二次求之以至一十二次可谓极其精密若节节求之虽至千万次其数终不穷须当逐节作为大小句大小股大小句幂大小股幂小小幂大大幂但大与大幂不于节次作之毕竟止用本数而已今先以第一次言之内方之十寸名大自乗淂一百寸名大幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一次大句幂减其大幂余五十寸名第一次大股幂开方得七寸七厘一毫有竒名第一次大股以第一次大股减其大余二寸九分二厘八毫有奇名第一较以此较折半得一寸四分六厘四毫有竒名第一次小句此小句之数乃是内方之四邉与圎围最相逺防也以第一次小句自乗得二寸一分四厘四毫有竒名第一次小句幂以第一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分名第一次小股幂以第一次小股幂并第一次小句幂得一十四寸六分四厘四毫有奇名第一次小幂以第一次小幂开方得三寸八分二厘六毫有竒名第一次小即是八曲之一八乗其第一次小得三十寸六分一厘有奇是即八曲之周围也此以小数求之不若改为大数所以然者盖求至十二次数之降者渐小愈小则不便于数名当将大改为一千寸大幂改为一百万寸第一次大句幂改为五十万寸大股亦如之然后依法而求若求至第二次者以第一次小幂就名第二次大句幂以第一次大股幂减其大幂余为第二次大股幂开方为第二次大股以减其大余为第二较折半名二次小句此小句之数即是八曲之边与圎围最相逺防也以第二次小句自乗名第二次小句幂以第二次大句幂两折名第二次小股幂以第二次小股幂并第二次小句幂名第二次小幂以第二次小幂开方为第二次小即是十六曲之一以十六乗其第二小即是十六曲之周围也以第二次仿第一次若至十二次亦递次相仿而已置第十二次之小以第十二次之曲数一万六千三百八十四乗之得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇即是千寸径之周围也置此周围之数降呼作三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽有奇以一百一十三乗之果得三百五十五尺故言其法精密要之方为数之始圆为数之终圆始于方方终于圆周髀之术无出于此矣