《新法算书》卷二十四

钦定四库全书

新法算书卷二十四　　　明　徐光启等　撰日躔厯指

厯象以齐七政今首日躔者何也曰七政运行各有一道二极各有三百六十经纬度其度分又各有寔经纬视经纬其会合有寔会视会寔望视望樊然不齐首日躔者乃所以齐之也日躔之能齐七政奈何曰凡测量之法必自其根始如度树之短长地其根也度舟行之逺近水次其根也度天行之根有二其一在天行之内歳首是也古法以今歳之十一月冬至为来年之天正歳首冬至者则日轨高度分之极少日躔赤道纬之极南也其一在天行之外歴元是也自昔推厯元者必求上古之积年后来歳寔稍宻即无数可论故至授时而废不用矣授时以至元辛巳为厯年以其气应为根而求通积以歳寔而一得冬至然此所得者皆平年之冬至非定冬至也今法以崇祯元年戊辰冬至日子正初刻为厯元依恒年表求其根数为平冬至因以法加减之为定冬至定冬至者歳歳加减初无通积可求盖日轨度之真极少日躔纬之真极南也是则天行之两根舎日躔皆无从取之矣曰此两根者六曜皆有行度皆可用以为歳首为厯元何独日躔乃可乎曰此其故有二其一七曜之中独日躔之行甚顺也其一以他曜测不若以日躔测甚便也何谓甚顺太阳之行与本天之本行相合为一繇黄道帯之最中无出入歳月日时各平行有恒度分无永短如是者皆终古不易他曜之行于本天本行之外各有小轮各有纬距度各有迟疾留逆时时不等虽有定法而似无法何能为他行之法譬如畸零不齐之布帛宜以十寸之尺度之若以畸零度畸零无乃欲齐而棼之乎故六曜者畸零之布帛日躔者十寸之尺也若恒星之东行与日相似亦可谓顺矣乃行度最迟必六十余年而一度二万五千二百余年而一周推歩者欲求其变动之数卒世而不一得也且考恒星之经度必用太阳之经度自非二分二至为其凖则何从定之星之古测今测更多不合或曰顺行或曰否人自为説又何从定之岂若日躔之歳月日时俱可测验俱可推算哉何谓甚便日光甚大用闚筩诸器即分秒可得诸星体微光眇测颇难月体大矣而去地甚近其视差甚大已亦不能为主古今法考月离经度者必因其食甚时刻考太阳之经度加半天周得太阴之经度故自昔名厯家先测太阳定其行度经度次及月五星恒星之行度经纬度以为定法是知日行者诸行之本也然厯法首步气朔兹有气而未及朔何也曰朔望者日与月比论乃得之也未论月离未可论朔望也其不及歳差何也曰歳差者日与恒星比论乃得之也未论恒星未可论歳差也今以本法诸义着于篇缀之立成表二卷以资推算焉

定南北线第一

一法天正春秋分日或前一日或后一日亦可午正前后植表臬视表末景所至輙作防为识次作直线聨诸防即夘酉线其垂线即子午南北线何故为两分日行赤道下表景自朝至暮止作一直线前后各一日尚未觉有曲线也

二法不拘日月于午前用象限仪测得日轨高即于表末景作识午后用本仪测得日轨与午前所取同高亦于表末景作识以直线聨两防即夘酉线何故为东西等高则同经两经间平分其所容之经即子午经圏右二法不论何物但其体势可当表臬者即用之

三法不拘日月以植表根一防为心多作平行圈视午前景末切某圏作防午后待景再切原圏作防聨两防作直线为夘酉如上图甲为表根防以为心多作丙乙等圈甲乙为午前

景甲丙为午后景乙丙平分于丁作甲丁垂线至乙丙线为子午

右第一法必待春秋分第二第三法恒日可用但论其理俱未能定夘酉之真线何故为太阳本行去离赤道以前以后终嵗终古皆不作周圈而作螺旋圈也欲得真线别有本法

本法用地平经纬仪取最近北

极一星测其东西行所至两经

度中分之即正北方也

用句陈大星西名小熊尾第一

夏至子时在极东冬至子时在

极西用句陈第五星西名小熊尾第三冬至酉时在极西夘时在极东【用此即定线一夕得可】

若无本噐用两表之法两表者一定表其体与地平为垂线一游表其直邉亦与地平为垂线先以二表与星

相望参直成一线若星

渐移而东则迁游表随

东至不复东而止移西

亦如之末从定表望两

游表各以直线聨之成

三角形平分其角作南北正线

或以权系垂线可当表但须权末极鋭与垂线相应以切地平定防

已上诸法必以夜及午正时若或早或晚随时求之则有别法先定一表景之直线以此线当地平上之太阳经圏即于此时用测器取日轨高以得南北正线如后图作甲乙丙丁圈其心戊甲丙为地平丙上数本地赤道出地之度如顺天府五十度卽至己从己作径线径线之或北或南取本日日躔离赤道距等度为己

壬作壬癸线为赤道距等圏次从丙甲上数日轨高度分如高三十度得子作子丑线即本时地平上之太阳纬圏也此线交壬癸距圏于夘从夘向甲丙地平引作酉夘辰垂线取子丑纬圏上子午半?为度从戊心抵酉夘辰线上作斜线得未戊引至圏界成未戊辰线也乙戊丁为东西线未戊申为景线即或左或右如本时刻与夘酉逺近之数成未戊乙角则得申戊丁对角从景线上依法作角得角傍东西正线其本日太阳宫度及北极出地之数或暮夜用星説见本论【有一百法】

定北极出地度分第二

凡歩日躔月离五星行度等一切测验推算皆以北极出地之正度分若仪器未精测候末确如春秋分所测午正日轨高差至一分则以算太阳之经度必差二分半推太阳之最高必差一度有奇即日躔行度不能得其真率也以此定冬夏至时刻等无不忒矣故此法最宜详宻不容率尔以致谬误

凡得日躔经度或某星经度以午正日轨高或出入地平之经度等率可定北极出地度分见本论约有五十法今先具一本法

用象限仪取北极附近一星极高极低之数平分之为北极出地度分如用句陈大星【西歴为小熊尾第一】冬至日酉时测得极低三十七度强夘时测之得四十三度强其差六度半之三度与三十七并得四十度强是顺天府北极出地之数

古法用表景或仪器测冬夏至两日轨高之差折半以减夏至高得赤道高以减象限即北极高也然人目不在地心在地面故得数未确

如上图甲为地心丁为地面人目在丁用仪器如丁辛戊庚测得冬至日轨高辛戊然寔高乙戊视高辛戊其差为丁戊甲角夏至日轨高为壬其差则丁壬甲角小于丁戊甲角两

视之差不等其所得之数必非真率且用表即景末难定又有日轮半径之差【寔表非中景故】清?之差致差之道多端岂容略率推歩遽定高下之数哉

问日躔列宿渐次西移古来名为歳差西厯以为列宿东行度分非日果差西也是既然矣又日躔有最高不惟旋转东行即两心又无定距则近星去极亦有时逺近随时变易安能遽定为一定之法终古不易曰恒星及最高皆一二万年而一周数十年而一度近星去极虽则游移为动甚微为时甚缓数年之间目力器数固难验其变易矣既具测之法待其积时积数灼见违离然后依法更定未为失也

论清?气之差第三

西厯第谷欲究极日躔行度之理造测器十具体式各异宫度分秒丝毫不错以定本地北极出地度分讫次用古法【郎二至之高折中取之】测之不合者四分莫知所繇乃造大浑仪一具于黄道上加极细闚筩夏至午正测之又时时测诸经纬度分则二法往往不合毎浑仪所测之纬度高于所算太阳之纬度乃知真高在视高之下因悟差高之縁盖清?之气所为也清蒙之气者地中游气时时上腾入夜为多水上更多其质轻微略似澄清之水其于物体不能隔碍人目使之隐蔽却能映少为大升卑为高故日月出入人从地平上望之比于中天则大星座出入人从地平上望之比于中天则广此映小为大也定望日时地在日月之间人在地平无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西或高山之上见日月出入以较歴家算定时刻每先升后坠此升卑为高也【试以钱一文寘空盏底人立稍逺令盏之邉掩钱体人目不见钱则止更以水注之水半则钱体半见水沟则全见升卑为高其理明矣】

清?之气有厚薄有高下气盛则厚而高气减则薄而下厚且高则映像愈大升像愈高薄且下则映像不甚大升像亦不甚高其所繇厚且高者若海若江湖水气多也或水少而土浮虗此气能令轻尘上升亦厚且高也地势不等气势亦不等故受?者其势亦不等欲定日躔月离五星列宿等之纬度宜先定本地之清蒙差万歴二十五年丁酉西洋之迤北人泛海至诺瓦生八纳之地北极出地七十六度强日躔大寒四度论宗动之法应日出在冬至后五十二日却前出十三日所差二十九度于时太阳寔在平地下五度因本地在大海中蒙气甚盛太阳久躔地平之下不能消除其湿势故发见折象尤多令前出十三日也又早晚蒙气亦不等盖昼则太阳能消湿气至暮而尽夜则复生渐生渐盛及晨而多故?气又有昼夜早晚之差

清?之本性能升物象令高于寔在之所不能偏左偏右故其差恒在纬度不在经度今先论测纬法借宗动天本论内一则曰凡测高以恒求纬圏量之盖恒天之内经纬之度皆相连有一自有二若得本地北极出地之数及或东或西恒球上日躔经度可得本时恒天内真纬

如上图甲乙丙为南北圏甲戊丙为地平圏之一弧乙为天顶乙辛己戊为恒球一经圏过太阳之视高辛亦过太阳之寔高已从北

极丁作丁己弧成丁乙己曲线三角形此形有丁乙邉为北极高之余度有丁己邉为日轨距北极之度有丁乙戊角为丙乙戊之余角【丙乙戊角为乙戊经圈距正午丙之度其弧为丙戊】求乙己即日轨之寔高离天顶度其法己角【即恒球经圈乙己偕北极出圏丁己两线所作角】在本圏恒为鋭角若丁乙己为同类鋭角

即如上图从丁向乙己作丁庚

垂弧分元形为两直角形若丁

乙己为异类即于乙己邉引长之从丁作丁庚垂弧必在形外其前图丁乙庚直角形有丁乙邉乙角求乙庚则全数与乙角之余?若丁乙弧之切线与庚乙弧之切线又法全数与丁乙之正弧若乙角之正?与丁庚之正?次丁庚己形有丁己邉又有丁庚邉求己庚则全与丁庚之余?若丁己弧之割线与己庚弧之割线末乙庚庚己并得己乙为日轨之寔高离天顶度其后图丁庚乙形有丁乙邉乙角求乙庚法如前但庚乙内减庚己余乙己即所求

假如太阳躔鹑首初度地平经度任置为【从午正或东或西算】九十四度求太阳地平上之正高【太阳距极为六　十六度二十九分】丁己为六十六度二十九分【见前全图】丁乙戊角为八十六度丁乙为五十度【北京赤道高】法全数与丁乙戊角之余?【六九七六】若丁乙邉之切线【一一九一七五】与庚乙邉之切线【二三率相乗以全除之】得【八三一二】查表得四度四十五分又全与丁乙邉之正?【七六六○四】若乙角之正?【九九七五六】与丁庚之正?算得【七六四一○】查表得四十九度五十分又全与丁庚之余?【六四五○一】若丁己割线【二五○六一七】与己庚之割线算得【一六一六五○】查表得【五十一度四十七分】己庚庚乙并之得【五十六度三十二分】减九十得【三十三度二十八分】乃太阳地平之纬度也【正高也】此四数极出地太阳距极太阳地平经太阳地平纬皆相连相乗

右系测纬度之正法若先用器测得经度以此法推得纬度而别测得纬度与所推不合则别测者必高于所推【其差必丝清?之气也　若论测器不在地心而在地面则以地半径之差数减所测纬度下方详之崇祯三四五年毎年测冬至即用元仪元筩规然所得数非一前后有差一二分或是蒙气尘灰等故耳】求黄道与赤道之距度世世不等第四【亦名太阳之纬】

法曰夏至前后一日用测器数具各依法求午正日轨高若俱合即真率否则择其相合者用之第二第三日再测如前于所得真率内减去地半径之差又减去赤道高余为两道距度即夏至日躔赤道以上纬度　何以不用冬至以夏至太阳近天顶蒙气甚防不入算冬至近地平蒙气多则差多何以用前后一二日曰至前后一日日躔去离赤道止一十三秒次日止五十五秒测器之上无从分别与初日不异也

若用冬夏两至之较差不为真率见前论

古今各测

周显王二十五年丁丑迄崇祯元年戊辰为一千九百七十二年西古史亚理大各

秦二世三年甲午迄崇祯元年戊辰为一千八百四十七年西史阨腊多

汉景帝中元元年壬辰迄崇祯元年戊辰为一千七百七十七年西史意罢阁

汉光武建武十七年辛丑迄崇祯元年为一千四百八十八年西史多勒某其书为厯家之宗　已上四家测定黄赤相距为二十三度五十一分二十○秒于中分为二十三度八十五分

唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年爲七百四十八年西史亚耳罢徳测定二十三度三十五分于中分为二十三度五十八分三十三秒

宋神宗熈宁三年庚戌迄崇祯元年为五百五十八年西史西杂刻测定二十三度三十四分于中分为二十三度五十六分六十七秒

宋高宗绍兴十年庚申迄崇祯元年为四百八十八年西史亚尔满测定二十三度三十三分于中分为二十三度五十五分

元成宗大徳四年庚子迄崇祯元年为三百二十八年西史波禄法测定二十三度三十二分于中分为二十三度五十三分三十三秒

天顺四年庚辰迄崇祯元年为一百六十八年西史褒尔罢测定二十三度二十八分于大统厯为二十三度四十六分六十七秒

正徳十年乙亥迄崇祯元年为一百一十三年西史歌白尼测定二十三度二十八分二十四秒于大统厯为二十三度四十八分一十二秒

万厯二十四年丙申迄崇祯元年为三十二年西史苐谷造铜铁测器十具甚大甚准又算地之半径差及清?差歳歳测候定为二十三度三十一分三十○秒西土今宗用之于大统厯为二十三度五十二分三十○秒

苐谷覃精四十年察古史测法知从来未觉有清?之气及地之半径两差又旧用仪器体制小分度粗窥筩孔大所得余分不?四分度或六分度之几而已且古来测北极出地之法未真未确故相传旧测俱不足依赖以定太阳躔度

今欲定黄道各经度分之纬度分若干借宗动一题曰凡得两道极相距度分及黄道其经度分可推本度分之纬度分

如上图甲乙为赤道一象限甲丙为黄道一象限两道遇于甲为春秋分乙丙为过两至

两极之经圏有两道距度【即二十三度三十一分三十秒之弧】为甲角之度而测他距度　其法如日躔立夏即为丁即从丁向赤道作丁戊垂弧而成甲丁戊曲线直角形此形有甲角二十三度半强又有甲丁弧立夏之经度四十五求丁戊弧纬度则全数十万与甲丁弧之正?七○七一一若甲角之正?三九九一五与丁戊?之正?二八二二二查得一十六度二十三分三十九秒为立夏之黄赤距度与立春立秋立冬之距度皆等盖从两分之交数经度皆四十五也他各节去离二分或左或右经度等则距度亦等以此法推黄道各经度分之纬度分作表如后

反之有太阳之纬求其经如上图甲丁戊形有甲角丁戊弧纬而求甲丁弧其法全数与甲角之正?三九九一五若戊丁弧之余割线三五四三八一与甲丁弧之余割线一四一四二一查得四十五度其法见宗动天本书

凡过极圏截黄赤二道有黄道所截之经度分求截赤道之经度分此即约説所名赤道上之黄道升度也过极圏者在正球为地平攲球为子午圏时圏等

如上图乙甲丙如前若正球【赤道?天顶】则

己戊丁弧为地平己丁庚其子午圏己

为北极庚为南极甲戊丁形之丁戊为

其地平东西或左或右之一分若攲球则丁戊为过极圏【子午时圏等】夫甲戊丁角形有日躔经度之甲丁【四十五度】有甲角而求赤道之弧戊甲其法全数与甲角【二十三度半强】之割线一○九○六四若甲丁弧之余切线一○○○○○与戊甲弧之余切线一○九○六七查得四十二度三十一分强

春秋两分时太阳之本度第五

厯法家古来有公论二端其一日凡动而有法者三一自上而下如土石等重物以地心为界【为界者欲至地心而正】二自下而上如气火等轻物以月天为界此二动自行必成直线名为直动三循还行一周至元界如天行一周成全圏名为周动也三者而外皆名无法之动【详见本论】其二曰凡天体及七政恒星等必平行不平行则推歩之术无从可立无从可用矣然而入目所见各有迟疾顺逆时时迁革百千万年无一平行者又何也厯家因此推求悟有不同心之圏及诸小轮等虽有彼此前后多互异之説总之若得其不平行之故而又不失其乎行之恒理不得不然耳【详见七政性理之论】

太阳之公动其理不一其属宗动天而定昼夜之时之类后篇详之今略论其本行曰太阳既为周动又必平行则人目所见经厯歳月日时悉宜平等则从天正春分至秋分又从秋分至春分平分一歳其日亦宜平等乃从春分昼夜平至秋分厯一百八十六日有竒而平从秋分昼夜平至春分厯一百七十八日有奇而平所差八日有竒安得谓之平行又人目所见太阳之体冬至则大夏至则小见大去人必近见小去人必逺又冬至月食小于夏至之食盖大光之体愈逺其景愈长愈大月?地景之时愈多故知时多者景大景大则光体必逺既两有冬夏逺近又安得谓之周动且渐迟渐速渐大渐小非骤然迁变即又日日刻刻皆非平行也今欲明迟速之故而又不失为平行欲明大小之故而又不失为周动将何説以处于此

如图甲为地心乙丙丁为宗动天庚己辛戊为日轮本天庚辛为春秋两分戊己为冬夏两至若两圏为同心者即庚戊辛半周辛己庚半周所得圏分必等今不等必縁不同心【其差】

【数详见下方】故人目不在太阳本天之心壬而在宗动天之心甲则日行本轮天恒平行而人目所见者庚戊辛所经之日多于辛己庚所以冬缩而夏嬴也日在戊去甲逺在己去甲近故冬大而夏小也但在本天既平行则推算者必先得平行数为根而后可论其迟疾多寡故须先作平行表其术以歳周为法天周为寔平分之见下文

其求天正春秋分日躔本度之法有二其一或春分或秋分前后三四月内于午正初刻测得日轨高与本地赤道离地平度数两数相减得数为本日日躔纬度以纬度求经度【法见本篇四若赤道度多于日轨高即太阳在南六宫若小于日轨高即在北六宫】既得经度可歩日躔经度得若干时刻而入于交防【交防即春秋分也交者赤黄道之交防者无分】其法以歳周三百六十五日二十三刻○四分为法以天周三百六十度为寔而一得毎日太阳平行五十九分○八秒一十九防为第一率以日法九十六刻为二率以所得日躔经度为三率依法求得若干时刻为四率次用此时刻于本日午正初刻或加或减得太阳入交防时刻【春分赤道多于日轨高为未及交以所得时刻加于本日午正时刻若少于日轨高为?交以所得时刻减于本日午正时刻】秋分则加减相反【赤道多于日轨为?交减之少于日轨高为未及交加之】

次法测得日轨高与赤道之差以相减每差一分为四刻【春秋加减如前法】何者太阳日平行约一度而春秋分前后第一经度其纬为二十三分五十六秒约为二十四日九十六刻则太阳毎四刻行纬一分故赤道日轨之差一分当得四刻也【此法可用于分前后一二日若?此纬度渐缩矣故第一则为公法】

如上图两道两弧遇

于甲人在乙测赤道

乙丁乙戊日日不异

太阳则渐向交渐近

赤道如春分太阳在己少于乙戊则未过甲交己戊为太阳之纬己甲为太阳之经若以未及甲一度则后一日而入于交防若太阳在丙多于乙丁是己过甲交丙丁为纬丙甲为经若丙过甲一度则前一日己入交防秋分反是是为加减之元本

假如崇祯三年二月初八日在局午正时测得日轨高五十度一十三分加入地平半径差一分五十二秒若有清?差即应减率今在午日轨之高度多故?差极微即不减寔得地心以上日轨之真高五十度一十四分正十二秒

若本地极出地三十九度五十○分【顺天府北极出地之度有三説未知孰是尚须测候归一今试一一推之】即赤道高五十度一十○分以与日真高相减余四分五十二秒为本地本日赤道以上太阳之纬度次简黄赤距度表求其经度得去离降娄初一十二分二十二秒次以太阳日平行五十九分○八秒为一率日法九十六刻为二率今行一十二分二十二秒为三率而求四率得二十○刻弱而日真高多于赤道高则入交防在本日午正前二十○刻为辰初初刻

若北极出地三十九度五十三分即赤道高五十度○七分与日真高相减余七分五十二秒为太阳纬依法得经度二十○分用三率法求得三十二刻○七分则入交防在本日寅初初刻○八分【毎刻十五分】

若北极出地四十度即赤道高五十度减差为一十四分五十二秒求经得三十七分一十五秒用三率法求得五十九刻○七分则入交防在初七日戌初三刻○八分

若北极出地四十度○一分则入交防在初八日午正前六十四刻○七分为是初七日酉正三刻○八分

前此诸説未能遽得真率今用西术成数立一较法縁此展转推求庶几近之欲得真确须铜铸仪象亦大亦精累年测候以立万年不昜之法

按逺西之国有厯学名家于万厯十二年甲申在大尼亚国其地居顺天府西以法推其地经度得东西相去一百○四度因推其东西时差得二十七刻一十一分彼国北极出地五十五度五十四分四十五秒连测五年而得太阳入春秋两分之真率今以时差加率为顺天府各年之真率如左

万厯十二年甲申二月初九日西春分在午正后八十六刻正加时差二十七刻一十一分得次日子正后六十五刻一十一分为中春分【午正后八十六刻者中厯日法以子正起算西歴以午正起算八十六并二十七得一一三减日周九十六刻存一十七刻又以正起加四十八刻得六十五刻为次日数后傲此】本年距元测一百八十七日西秋分在午正后六十四刻正加时差得次日子正后四十三刻一十一分为中秋分

十三年乙酉距元测三百六十六日西春分在午正后一十三刻○四分加时差得本日子正后八十九刻正为中春分

本年距元测一百五十二日西秋分在午正后八十七刻四分加时差得次日子正后六十六刻一十四分为中秋分

十四年丙戌距元测七百三十○日西春分在午正后三十六刻○八分加时差得次日子正后一十六刻○四分为中春分

本年距元测九百一十七日西秋分在午正后一十四刻○八分加时差得本日子正后九十○刻○四分为中秋分

十五年丁亥距元测一千○九十五日西春分在午正后五十九刻一十一分加时差得次日子正后三十九刻○七分为中春分

本年距元测一千二百八十二日西秋分在午正后三十七刻一十一分加时差得次日子正后一十七刻○七分为中秋分

十六年戊子距元测一千四百六十一日西春分在午正后八十三刻正加时差得次日子正后六十二刻一十一分为中春分

本年距元测一千六百四十七日西秋分在午正后六十一刻加时差得次日子正后四十刻十一分爲中秋分右法用之可得岁周率及冬至夏至等时刻

上论详测春秋两分太阳躔度然须以日躔表所算太阳经度考之若测相合则凖不合则不凖也

随日午正测太阳所躔经度宫分

置赤道高若干又置午正太阳正高【所测日地平高数内减?气差又加地半经差得正高】两数相减其较为太阳距纬度【距赤道数】以此数查黄赤距度表中横行内求度分上或下得宫度分乃太阳本日午正所躔之度分【若表中无元数即用中比例法】凡赤道数大测数小宜用冬至傍半周宫度分若赤道数小测数大用夏至傍半周宫度分宫在上用上度在下用下度

如测日高得六十度四十三分【因高??气不用差】加地半径差一分十三秒得六十度四十四分强减赤道高【五十度○五分】余十度三十九分查黄赤距度表得降娄宫二十七度三十五分【因测大赤小用上行宫度】乃日躔度分或鹑尾二度二十五分

又测午正高得三十七度十三分减?气半分加地半径差二分二十五秒得三十七度十五分赤高内减之得较为十二度五十一分乃太阳距度也查表得大梁三度五十二分或鹑火二十六度○八分

太阳平行及寔行第六

歳寔者太阳行天一周之月日时刻也太阳之歳有二其一从某节某防【二分二至之类皆名节亦皆名防】行天一周而复于元节元防是名太阳之节气歳若太阳会于某星行天一周而复与元星会是名太阳之恒星歳恒星有本行自西而东假如今年春分太阳防某恒星至来年春分此星已行过春分若干分矣太阳至春分则已满节气歳之寔而上未及元星若干分即又须若干时刻逐及于元星而与之会乃满恒星歳之寔故恒星歳寔必多于节气歳寔

此外又有太阴之歳以日月十二会定为十二月此歳为三百五十四日有奇少于太阳之歳寔十一日有奇也但太阴之视行絶不平【视行者月周天本平行而其小轮有自行度即入转也自行有顺逆因其行速故人目视之不见顺逆而但见迟疾既有迟疾故晦朔?望絶不能为平等】故用此纪元者又以太阳之歳寔为本

如前篇万歴甲申春分在午正后一十七刻一十一分越三百六十五日为乙酉在午正后四十一刻相减得小余二十三刻○四分【毎刻十五分】则歳寔为三百六十五日二十三刻○四分　又用前世寔测前后相较如?治元年戊申西国至家白耳那瓦测得春分为西厯三月二十四日子正后六十四刻○六分越一百年为万厯十六年戊子名厯第谷测得春分为西厯三月十九日子正后四十【三刻六分】西法歳三百六十五日四分日之一毎四歳之小余成一日因而置闰则百年中为整年七十五闰年二十五共为三万六千五百二十五日用两测中积数【戊申三月二十四日子后六十四刻○六分戊子三月十九日午后四十三刻六分】相减其较七十五刻○五分百而一得毎一年少○刻一十一分一十五秒以减整年实三百六十五日二十四刻得三百六十五日二十三刻○三分四十五秒为今定用歳寔

此法与甲申乙酉寔测所得不合其差为二十七秒若用前古数百数千年所传寔测之数其差更多何者太阳之歳行不等其原有三其一太阳不同心圏之心【不同心之天太阳所丽名日轮本天其心非地心也故又名不同心天亦名最高天此岁差所因也亦可名岁差天】顺节气自西而东每歳有自行度故取一防今歳与节防合百年后便觉去离若干其二太阳不同圏之心去离地心其逺近又复不等其三恒星亦不平行此三差为数甚微故百年之内难于计算数百千年以上乃可得之【因大统歴故百年歳寔减一分】

算毎日太阳平行分法

置先算定歳寔为三百六十五日二十三刻○三分四十五秒乃太阳行天一周三百六十度也今欲定一日之行而成表法以周天为寔以嵗寔为法除之【欲得细数故以前两数因本类化之如左】

置周天三百六十度以六十因七次得一○○七七六九六○○○○○○○○为实

置歳实三百六十五日二十三刻【大刻】○三分四十五秒先将三百六十五日以二十四时乗之俱化为时得八七六○时再以三十三刻化为时得五时【毎时四刻二十刻故得五时】加于先得数共为八七六五时尚余三刻再化为分得四十五分【毎刻十五分】加小余○三分共为四十八分仍置八七六五时以六十乗之化为分末加四十八分共得五二五九四八分再以六十乗之化为秒末加小余四十五秒共得三一五五六九二五秒为法与前周天寔数而一得三一九三四九七四尘因先所置寔数俱化为尘【周天度七次化之得第七位数为尘】法数为时之一秒【先化时为分化分为秒】则时之一秒得周天三一九三四九七四尘若取时之一分因进一位周天数亦进一位为末若取一时则周天数亦宜上二位为芒则一时太阳行周天三一九三九七四芒以二十四时乗之得一日行为七六六四三九三七六芒依约法以六十除之得一二七七三九入九俱为纎尚余三十六芒再以六十除之为微得二一二八九九余四十九纎又再以六十除之为秒得三五四八秒余十九微再以六十除之为分得五十九分余八秒将先各类所余数并之得太阳一日平行为五十九分○八秒一十九微四十九纎三十六芒

前法既得一日之行今再求一时以及各时之行法以前推得一日或二十四小时行五十九分○八秒二十微【前数四十九纎己?大半宜进作二十微】各半之得十二时之行为二十九分三十四秒一十○微再半之得六时之行为一十四分四十七秒○五微又半之得三时之行为七分二十三秒三十二微以三除之得一时之行二分二十七秒五十一微仍以一时之行递加至二十四时则为一日所行也再逓加至六十分为表

次用加法二日至十日又至百日二百日三百日乃至一岁作表

求太阳最高之处及两心相距之差第七

最高与夏至异古多罗某【在今一千四百年前】测得最髙去离降娄初为经度六十五度三十五分两心【地心与日轮本天心】之差为十万分【半径全数】之四千一百五十一今在经九十五度四十分两心之差为十万分之三千五百六十七【差五百八十四】系曰太阳公动【一随宗动西行一随列宿东行】及本行之外别有二种行度一从最髙恒自西而东歳行若干一地心与太阳本论【即不同心之圏】之心相距分歳歳减少意数千年后当相合为一防【想当然耳或别有行动不可知也亦有为之説者未能定其然否】

问最高何物何繇能知有此曰若不同心最高之防恒在夏至如甲则太阳从春分辛至戊行四十五经度之弧与从己至秋分壬亦行四十五经度之弧其时日必等盖两心在甲乙

线内与丁丙为直角而丁甲丙与辛甲壬两弧俱两平分于甲【几何三卷三十题】则所分各两弧【丙甲与甲丁辛甲与甲壬】之行度等其所须时日必等乃春分后行四十五度至立夏立秋前四十五度至秋分其行度等而时日恒不等则丙庚丑丁两弧度必不等而不同圏之心必不在甲乙线上

其推歩最高法于春分后四十余日即每日测午正日轨高求其四十五度以定天正立夏【春分至立夏当行四十五经度其纬当得十六度二十三分三十九秒加赤道高约五十度得六十六度二十三分三十九秒若日轨高适满其数即正得四十五度为立夏若?或不及用前篇求春分法得本时刻】遡春分迄立夏总计中间积日时刻以日率五十九分○八秒一十九微五十○纎而一得太阳平行之总度分乃非四十五度而得余分如后论

如图甲为地心作丙戊丁圈任取甲乙小线【欲求此数故任作之】

乙为心作未己庚辛为太阳平行

之本圈次作己甲辛为春秋分线

?甲地心次于戊上取戊壬为四

十五度从壬过甲作直线至未而

截己夘弧于庚得己甲庚为四十

五度之角次从小圈心乙向庚作直线次作未己线次从未向己辛作子未垂线末从乙向庚未作乙午垂线即庚未线必两平分于午【庚未为本圈之?从心出垂线至其上必平分之】则丙甲庚角为从戊壬四十五度以上至最高防之角

春分后日行戊壬弧为天元经度四十五其视行四十六日一十○刻一十○分以日率准之得平行四十五度二十七分三十四秒则庚己弧也己未庚乗圈角半之得二十二度四十三分四十七秒庚甲己角既四十五度即己甲未角得一百三十五度以加庚未己角共一百五十七度四十三分四十七秒未甲己三角形内得甲未己角即得己角为二十二度一十六分一十五秒倍之为辛未弧四十四度三十二分三十○秒又日行己夘辛弧为春分至秋分时刻得一百八十六日七十

四刻其平行为一百八十四度○

五分二十四秒即辛未己弧当得

一百七十五度五十四分三十六

秒辛未己弧内减己角之倍数【即辛

未弧】四十四度三十二分三十○秒

余未己弧得一百三十一度二十二分一十○秒求得未己?一八二二五八六八又于未己弧加己庚共得一百七十六度四十九分四十四秒求得未甲庚?一九九九二三四二

既戊壬为经度四十五今欲求壬至丙太阳最高之防【或夘甲庚角】及乙甲两心之差各几何依下文论之

己子未三邉直角形既得己角及己未邉求未子线其法全数【万万内】与己角【二十二度有奇内】之正?【一三八九○○○】若未己?【一八二二五八六八外】与未子邉得六九○七一六八【外】

甲子未直角形既有子甲未角【四十五度为庚甲己之交角故】及未子邉求未甲其法全数【内】与未子【外】若子未甲角【四十五度为未甲两角平分子直角故】之割线【一四一四二一○○内】与未甲邉【外】得九七六八二一○

庚未?【一九九九二三四二】平分之得九九

九六一七一午未也内减未甲余

二二七九六一午甲也

又庚己未弧与半圈其较三度一

十○分一十六秒平分之得一度

三十五分○八秒乙庚午角也【若庚乙引之至癸癸未弧为较半之为癸庚未角】求正?得二七六五四○乙午线也

乙午甲直角形既得甲午午乙两邉求甲乙用句股法得三五八四一六即两心之差其全数乙夘为太阳本圈之半径约之得百分之三分半有奇

又求乙甲午角其法午甲邉【外】与全数【内】若午乙邉【外】与甲角之切线得一二一三四一三八【内】其弧五十○度三十分为壬丙即日躔从立夏【天元经度四十五】至最高丙得五十○度三十分以加四十五得最高之处为经度九十五度三十○分在夏至后五度三十○分其最高冲在冬至后五度三十分

若用秋分前遡立秋四十五度即用前法但依前图更右为左论之

立秋后至秋分日行戊壬弧为天

元经度四十五其视行得四十六

日三十八刻一十○分其平行四

十五度四十四分一十三秒己庚

弧也己未庚乗圈角半其弧得角

为二十二度五十二分○六秒其己夘辛弧一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧一百七十五度五十四分三十六秒二率俱如前

次求未己?甲未己三角形既得未角以减庚甲己角四十五度得己角二十二度○七分五十四秒【庚甲己角为甲己未形之外角必与未己两角并等故减未角得己角几何一卷三十二题】倍之为辛未弧得四十四度一十五分四十八秒以减辛未己弧余一百三十一度为未己弧求得未己?一八二四五七三六又于未己弧加己庚共得一百七十七度二十三分○一秒求得未甲庚?一九九九四七八四

又己子未形求未子线其法全数【内】与己未?【外】若己角【内】之正?与未子邉【外】得六八七三八三三

又甲子未形求未甲邉其法全数【内】与子未邉【外】若未角

之割线【内】与未甲邉【外】得九七二

一○六八

庚未?【一九九九四七八四】平分之得九九

九七三九二午未也内减未甲余

二七六三二四午甲也

庚己未弧与半圈之较二度三十六分五十九秒癸未也平分之得一度一十六分二十九秒乙庚午角也求正?得二二八二四四乙午线也

乙午甲形求甲乙用句股法得三五八三八八即两心之相距

又求乙甲午角其法午甲边【外】与全数【内】若午乙边【外】与午乙之切线【内】得八二六○三七四其弧三十九度三十三分为壬丙以加壬戊四十五得八十四度三十三分以减天正象限九十度余五度二十七分为最髙过夏至之数

此秋分前数与春分后数较差三分然可不论盖测午正太阳之髙或多或寡所差一分即此算内当差一度今算内差三分则两测中有差三秒者三秒居一度中为三千六百分之三安从觉之若两心之差因此三分之差亦复不合然其较为一千万分中之二十八至微矣

右二法皆用天元四十五经度若用天元六十经度则一经度之纬度十二分五十六秒每纬度一分当八刻若用七十经度则纬度一分当十四刻若春分前四十五度秋分后四十五度亦可用但蒙气多难定其确数耳

古今测候最髙所得前后各异今録取三家以备参考意罢阁于汉景帝七年壬辰迄崇祯元年戊辰为一千七百七十七年多禄某于晋永和七年庚辰迄崇祯元年为一千五百八十八年所测太阳最髙其法先求夏至之日

从天正春分迄夏至其视行得九十四日四十八刻【日九十六刻】夏至迄秋分得九十二日四十八刻共一百八十七日以日率求平行则九十四日四十八刻行九十三度○九分九十二日四十八刻行九十一度一十一分如上图甲为太阳本圏心乙为地心丙为春分丁为秋分戊为夏至己为冬至两至线与两分线遇于乙为直角次作乙甲辛过两心线辛为最髙之防其戊丙戊丁两弧并之多于半周天则最髙在丙戊丁弧内又丙戊弧大于戊丁则最髙心在丙乙

乙戊两线以内亦在春分后夏至前如甲次从甲作庚甲壬癸甲午两直线相遇于甲为直角与丙乙乙戊各平行夫丙戊弧九十三度○九分戊丁弧九十一度一十一分并得一百八十四度二十○分平分之各得九十二度○十分为丙庚丁庚丁庚内减丁戊平行一象限余○度五十九分为戊庚弧其正?一七一六为乙子句丁庚内减癸庚天正一象限余二度○十分为癸丙弧其正?三七八○为甲子股用句股法得四一五一为甲乙?即两心之相距

又求甲乙子角其法子乙边【外】与子甲边【外】若全数【内】与甲乙子角之切线【内】得二二○二七其弧六十五度三十五分日躔春分后至最髙之防为实沈五度三十五分

两心相距为十万之四千一百五十一约之为百分之四以较前第一法所得之数不无互异其较为十万之五百八十一两得数不等其元测必不等然此古法以日躔天正夏至之时刻为根夏至之定时最为难得何者夏至后天元一经度得纬仅一十三秒若北极出地四十度之处用一丈之表测午正日轨髙得二十六度半强其景为千万之四百九十八万五千八百一十六若加十三秒之景应加千万之六十五分约之为十万之六分强通之为六微虽复巧手明目何从觉之又本地本时蒙气之映髙亦得二分四十○秒又天正夏至未确若先后一日即最髙之处及两心相距必前后若干度分以此论之纤芥参差谅无足恠乃愈见斯人之不为牵合斯术之最为密亲矣

亚耳罢徳后多禄某七百四十年于唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年七百四十八年测算得最髙在实沈二十二度一十七分【即夏至前七度四十三分】不同心之差得十万之三千四百六十五

白耳那瓦于?治元年戊申迄崇祯元年一百四十年测得日躔从春分迄秋分行一百八十六日九十○刻○十分从春分至立夏行四十六日一十四刻○五分从立秋至秋分行四十六日三十五刻○五分因而推算

庚己弧此为四十五度二十九分

一十三秒【前法为四十五度二十七分三十四秒】行

四十六日一十四刻○五分【前法为四

十六日一十○刻一十○分】

己夘辛弧此为一百八十四度○

三分二十一秒【前法为一百八十四度○五分二十四秒】

行一百八十六日九十○刻一十○分【前法为一百八十六日七十二刻三十○分】

己未辛弧此为一百七十五度五十六分三十九秒【前法为一百七十五度五十四分三十六秒】

己甲庚为四十五度角其余己甲未角一百三十五度同前未甲庚线为一九九九二七六八

己甲未形有己未边有角求甲未边得九七六四八○三

未午为未甲庚之半得九九九六三八四内减甲未得甲午二三一五八一

癸未弧三度○四分五十四秒乙庚午角一度三十二分二十七秒其正?午乙二六九七

乙午甲直角形有两边求甲角甲乙边得午甲乙角四度一十五分一十○秒为立夏最髙之度分

甲乙边三五四八○七为两心之差其全数则太阳本圏之半径乙夘

最髙在夏至后四度一十五分一十○秒【前法为五度三十○分差○度一十四分五十○秒】

两心差三四四八○七【前法为三五八四一六其较三四一一则一千万分中之三千四百一十一分一万分中之三分有竒也】

推太阳之视差及日地去离逺近之算加减之算第八

按天问畧等书皆言地体居天中止一防是也然各重天髙下大小不等各天与地球比例之大小亦不等惟?星一重天比于向下诸天甚逺甚大以地球较之极微无数可论故测候之家以?星为求视差之本

如上图甲为地心甲乙为地半径丁

辛为日躔最髙圏丙为髙冲圏日行

在最髙丁人在乙见日躔于外天【?星

宗动常静皆是】己壬己弧为其地平上之视

髙然从地心测之则壬戊为其地平

上之实髙两髙之差为戊丁己角或

乙丁甲角若日行髙冲丙从地心测

其实髙仍在戊与在最髙丁等则从

地面乙视之见日躔于外天庚从乙丙庚线定视髙为壬庚较前视髙壬己为小故大阳之实髙等随时所见视髙不等其视差之数亦不等

凡有日轨髙若干度欲定其视差若干先求本时太阳去地逺近之数其法借三大论【论日月地相去逺近及大小之比例】中一则曰以日月食推地径与日轮本天径之比例歌白泥定地半径与日天半径之比例若一与一千一百四十二如上前图甲戊丁为太阳本圏甲为最髙乙为其心丙为地心乙丙为两心之差日在戊甲戊为日距最髙度之弧乙戊为本

圏之半径今欲求日地相离之线曰戊乙丙直线三角形有乙戊半径全数又有两心之差乙丙【三五八四一六】又有甲乙戊角之余角为戊乙丙而求丙戊边其法如増图全数【乙丙内】与乙丙边【外】若戊乙丙角余角之正?【丁丙内】与某数【増图之丁丙边外】又全数【乙丙内】与乙丙边【外】若戊乙丙角余角之余?【若戊乙丙为钝角其余角为丁乙丙此角之正?为丁丙余?为乙丁】与某数【増图之乙丁边外】以所得第二数加乙戊半径【増图之戊丁全边】为股第一数为句各自之并而开方得丙戊既得丙戊次

以半径乙戊全数为第一率以所倍于地半径之一千一百四十二为第二率以丙戊若干为第三率而求四率为丙戊所倍于地半径之数【见本表】

若戊乙丙为鋭角其法全数【内即乙丙】与乙丙边【外】若乙角之正?【外即丙丁】与丙丁【外】亦若乙角之余正?【内】与丁乙边【外】次于乙戊内减乙丁余丁戊用句股法丙丁丁戊各自之并而开方得丙戊

加减差者太阳本圏中平行与视行之差也如上论从天正春分至立夏日行经度四十五其在本圏行四十五度二十七分三十四秒此两行之较为加减差太阳从最髙下行至最髙冲此半周内应减算从最髙冲上行至最髙此半周内应加算

如上图外圏为宗动天之黄道

与地同心为丙内圏为太阳之

本天其心丁有最髙最髙冲之

线过丁心若太阳在?枵娵訾

降娄大梁实沈春分前后半周

平行在实沈初度而视行己至甲即平行算外应加实至甲之弧或丁乙丙角得太阳实躔若在鹑尾夀星大火析木秋分前后半周平行在鹑尾初度而视行才至戊即平行算内减尾至戊之弧或丁乙丙角得实躔凡最髙左右距弧等其加减之算亦等求一即得二丙乙丁角形有丁丙两心差有丙乙日地相离数有乙丁丙角【上图为钝角】而求丁乙丙角为减差其法全数【内】与丁丙边【外】若丙丁乙角余角【即丙丁午】之正?【即丙午内】与某数【外】又丙乙边【外】与全数【内】若某数【即丙午外】与乙角之正?【即丙午内】若丁为鋭角【最髙前后九十度必钝最髙冲前后九十度必鋭】其法全数【内丁丙】与丁丙边【外】若丁角之正?【内丙】

【子】与某数【外丙子】又丙乙边【外】与全数【内】若某数【外丙子】与乙角之正?【内丙子】

用前法推各度分之差列表如后

求地半径差法同如上丁丙边为地半径丙乙为太阳距地心之数乙甲为日躔距天顶之数丁乙丙为视差角而求乙角为

视差之数其法全数【内】与丁丙边【外】若甲丁乙角之正?【内】与某数又丙乙边【外】与全数【内】若某数【外】与乙角之正?【内】简表得其度分以加所测之数加者视髙小于日髙也

论日差第九

称日者日行一昼夜循宗动一周而复于元界也其界为子午圏或地平圏用子午者以子正或午正时起算用地平者以夘正或酉正时起算也日分十二时九十六刻然其实行度分日日不等如太阳甲日午正在天正春分一防乙日午正春分防行天一周满经度三百六十而太阳尚不及者一度既至则春分防已去离一度太阳更东行一度而后成为一日此一度者有赢有缩日日不等絶非平行故步日躔月离经纬诸星凡称日者皆不用赢缩之日而用平日平日者行赤道一周并太阳一日之平行为三百六十度五十九分○八秒一十九微也【见本表】

新法算书巻而十四