钦定四库全书
新法算书卷二十九 明 徐光启等 撰月离厯指卷二
解第二均数第十
如上论因月有本轮自行度以致不平不顺定朔定望多寡不一今用其自行度分加减其平行视行以定均数则于定朔定望及交食之法始无遗漏乃厯家详测宻推以为未足尽月行之理故又立次轮一法以定均数与本轮第一均数并用之今解其义如左
古今测月行审有自行度与平行不合立为本轮法【或不同心】与自行加减以定朔望以正交食然其朔望之极大差不过五度此本轮之半径也是知定朔定望时太隂恒在本轮之周矣其在上下?之差则不然古厯于上下?日推太隂自行本轮之二限四限【左右两傍之尽处所谓留际也如此则为去最髙之极大差】又在黄道之九十度限【一名黄平象限如此则无东西视差】以定本日之经度若如本轮法则此差止应得为五度及用圆浑仪测候或以距太阳求月之视行经度或以恒星求其黄道上之视经度得数乃与先推殊不合论推算宜得五度论测度则得七度四十分从古至今累测皆如之又测?前后若干日亦与推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小轮周余日去离逺近多寡各有本行度分因从其差数以立差法仍定本轮周上复有次小一轮循本轮右旋【与七政行同与自行异】半月一周因其行度作加减差以定第二均数列表【如后卷】
求次轮之比例第十一
既论有次小轮今论其大小以定加减率
如图丁为地心
庚为本轮心甲
乙丙为本轮周
作庚丁过心线作本轮之丁甲切线即庚丁甲为五度角【视行平行之极大差】朔望时次作庚甲戊线作丁戊线成庚丁戊角为七度四十○分视平两行上?下?之大差次庚为心戊为界作戊巳圈太隂在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行在两?时必循戊巳周左行両?前后半月间则自甲向戊戊向甲右旋为次轮之自行
若庚丁线为一万全数即庚甲为八百七十二【五度之正?】庚戊为一千三百三十四【七度四十分之正?】相减得甲戊四百六十三甲戊线平分于辛庚为心辛为界作辛壬为负次轮圏【一曰带次轮】即甲辛为二百三十一以并庚甲得庚辛一千一百○三为负次轮辛癸圏之半径则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也
系有二小轮之比例可解前一推一测异同之极大差又可推朔望前后之视行疑于无法而实有法【朔望前后三十八度其视行絶异故云疑于无法详后论】
如图两圏为本次二轮丁为地心甲为本轮之最髙丙为
其心乙为次轮心
作丙乙线为一一
○三从乙心作次
轮圏其半径二三一【如上两轮之比例】次从丙作丙戊丙子线切次轮于戊于子成戊子两直角设月体在戊今论之
凡月行本轮周左旋【依宗动天自东而西】如图庚为本轮心甲乙为白道丁为最髙己为最庳其平行则自甲向丙庚至乙其自行则自丁而丙而己而戊而复于丁从丁【即正半转即最髙】入转行极迟
向丙【即中转亦留际】其迟日损至丙而及平行度谓之迟初限从丙向己【即中半转即最庳】迟损疾益至己而极疾谓之迟末限从己向戊【即正转亦留际】其疾日损至戊而及平行度谓之疾初限从戊而复向丁疾损迟益至丁而极迟谓之疾末限最髙左右二限谓之迟厯逆经度行【逆七政经度也后省曰逆行】最庳左右二限谓之疾厯顺经度行【后省曰顺行】二十七日有竒而周【即转周】若次轮则如图乙为其心甲巳为本轮周壬戊癸子为次轮周壬为最近癸为其最逺【本轮可言髙庳次轮不得言髙庳故言逺近谓逺近于本轮心】其顺本轮左旋则自甲向巳其自行右旋【如七】
【政自西而东】则自壬而戊而癸而子而复于壬从壬入转至戊为迟初限从戊至癸为迟末限从癸至子为疾初限从子至壬为疾末限最近左右二限为迟厯逆行最逺左右二限为疾厯顺行十五日弱而周谓之次转周
夫甲巳弧者约太隂距太阳之半周也【朔与望相距之一百八十度】次
轮心行甲巳半周则月循次轮行满一
周是月体循本轮周行一度即循次轮
周行二度次轮心从甲至乙月从壬至
戊比本轮上之两行皆在迟厯皆逆行一至戊切防则为逆行之末顺行之始顺行则始疾故戊切防为月行次轮顺逆两行之大差今以数明之
作乙戊线为切线之垂线成乙戊丙形戊为直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二
十八分为次轮上月行之最大
差是本轮心行度【甲乙】外应加应
减之数乙丙戊角既一十二度
二十八分戊乙丙角必七十七
度三十二分壬戊弧也半之得
二十八度四十六分为甲乙弧【甲乙为壬戊之半】
系凡次轮心距本轮最髙三十八度为大差之限朔望前后各等
论太隂次轮异名同理第十二
前卷推月不平行之縁为有本轮次轮因立两均数以定其实行【此歌白泥术】而首卷又有异名同理一章【第五】言用不同心圏立法得数不异是则止论本轮未及次轮也今并论两小轮与两不同心圏亦复异名同理得数无二【比马日诺术】如左
如图是月本天之大圏平面也本天中函有诸球体有厚薄行有顺逆迟速此图平面亦函有诸圏譬犹剖球为面其中所有一一具见矣内外凡六圏甲为地心亦为月本天之心外第一圏为黄道平分十二宫次圏为
交道【黄白经度畧等】己见前解第二
第六总名为负太隂中距之
天其第二之外规面第六之
内规面则与地同心【甲也】其第
二之内规面第六之外规面
则与地不同心而以中距之
心为心两天各有厚薄不等其厚薄处恒相反相对【此二天同一色绘之】
此天平面之外圏斜交于黄道内函月行诸圏为一体顺经度行【右旋】每日六分四十○秒五十五防○六纤八平年三百一十二日有竒而行天一周周行无首尾其起算之界用外规之最薄即本天之最髙
第三第五总名为太隂中距天又名为正不同心天【上有二面同心此四面不同心】其心为乙距地心甲以最外规【丁也】之半径【丁甲也】为度十分之约得一有半为乙甲求其厚得丁甲十五分之四为丁戊此天内函月行之轨道为一体顺经度行【右旋】其外虽为负距天所挈一体顺行又自有其行度毎日二十四度二十二分五十三秒有竒凡一十
四日七十三刻○七分有竒
而行天一周【在歌白泥法为次轮上月行之
周】其起算之界为最近地心
之处【已也如上次轮法】本表目其本
行度为日月相距之倍度是
为次引数凡月朔望间必行
一周故朔望时月恒在于最近即无此圈行度亦不用次均数皆与前法所论次轮同理此圏又名为引数之圏以其函负月轨圏为定均数之根
第四名为月轨圏葢太隂自行之轨道也与第三第五正不同心之天又不同心其心丙故又名次不同心之天乙丙两心相距以中距天【即第三第五】之全径【外规过心相距】为度六十平分之得其一分半弱
次不同心之心丙旋绕正不同心之心乙作一小圏月体循第四天行虽最外为负距天所挈一体顺行又为中距天所挈一体顺行其自行则又逆经度左旋譬之负距天如流水中距天如舟月体如人水自顺地势东行有水之行度舟亦顺水势东行又自有舟之行度人却从船首向船尾西行又自有人之行度也其起算以自天之最髙为界日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒三十一日七十八刻有竒而行天一周其在前解则自行本轮也
前解定次轮上【或正不同心圏理同】太隂一日顺行二十四度有竒今减本轮上【或次不同心圏理同】逆行一十一度一十八分有竒余一十三度○三分有竒因两行相背故相减所得较数为前引数
两不同心圏各有最髙最庳【前解在次轮者为最逺最近此解亦名最髙最庳】则太隂所至有逺近四限与前解同其数以中距天之半径丁乙为度半径六十则极逺距地心为六十八次
逺为六十五分○九秒次近
为五十四分五十一秒极近
为五十二分【皆歌白泥所测也】第二图次不同心之心在丙
其最髙在丁正不同心之最
髙在戊【中名月孛西名平最髙】甲乙戊
线定黄道上月孛之经度甲丙巳线定已为正最髙之经度【甲丙巳线过甲丙两心则己为月轨距地之极逺】乙丙丁线定月轨道最髙之经度从巳至月前解名为月自行古史各有本表今用前两轮解已作表不复备着
右二法外第谷及其门人又有别解更细更宻特为竒玅以步月离倍胜前法特防眇难见以步交食精粗判然今并论如左
第谷宻测月离觉月自行在朔望时遇初宫或六宫及左右平距【最髙庳之左右其距地等】即自行四限【髙庳左右】但依古法用一均数一本轮自行足以齐太隂之不平行矣自非然者即用古法多见参差因依古步五星法于月离法中亦加一均轮均轮者古推步五星自行用两不用心圏一为负本轮心之圏一为均行之圏【均行圈者与本轮心圏又不同心而出入其内外古推五星但依本轮心圏未能悉合别依此圏推步然后度分不谬故名均行之圈或用均轮也歌白泥谓月离法中可省此第谷觉有未合复用之乃合】其解于五星厯中详之今月离亦用之是为新法依此作五轮月行全图如左方如图甲为地心取甲乙线为半径【前法为次轮之半径】乙为心甲为界作甲丁丙圏【前法为次轮】从圏周任取丁为心作戊己癸圏其半径丁戊是为月与地之平距【平距者最髙庳之间】即五
十六地半径
也【前法为月本天半径
或负本轮圈之半径】若
丁戊为全数
十万即甲乙
为二千一百
七十分右为
二三一又于戊巳癸周任取癸防为心取癸辛线五千八百分为半径作午辛辰本轮又取辛庚线二千九百分为半径作庚壬子均轮得癸庚线【两小轮之两半径并】八千七百此八千七百者于前法为本轮之半径但前用一本轮以齐太隂朔望之行此析为二析为二者以前法之本轮半径三平分之二为新本轮之半径一为均轮之半径新本轮之半径者月朔望时近逺之实半较也凡月之定朔定望时丁心与地心甲合为一防丁心右旋【顺经度行】循甲丙丁圈【从甲向丙而丁而复于甲】半月而周【此圏以当前法之次轮故如前月体循次轮周半月而复】则甲丙丁周上之弧为月距太阳之倍数本轮之癸心循戊癸未圏【从戊向癸而未而复于戊】右旋【顺经度行】二十七日有竒而周均轮庚子之心辛循本轮周左旋【违经度行从辰向辛而壬而午而复于辰】亦二十七日有竒而周即辰辛戊癸两弧之行恒为等度分而此两圏皆当前法之一本轮其行周皆转终分也月体则循均轮周右旋【顺经度行从子向壬向庚而复于子】十三日有竒而周【是转终之倍数】
凡朔望时丁心必在甲若自行为初宫初度则如一图癸心在戊辛心在辰月体在子无均数自行为六宫则如后图癸心在未辛心在午月体亦在子亦无均数朔望图见交食厯朔望之外依图用三角形法推算则
得月离之宫度分可无用
表
依新法则戊为月孛葢最
髙也甲丁巳所指为平最
髙今以二法较论同异则
月与地之中距【五十六地半径】两
家防异【前后为本轮心距地新法亦然皆丁戊也】若自行初宫初度则月距地比于中距前法盈十万之八千五百分新法盈二千九百分是损三分之二也【此第谷所定也以视差及宻测月髙庳法得之】若自行三宫则两家所定最大差为小异其以次小轮【前为次轮今为均轮】为自行之倍数新旧一也今用合图明之合图説【实线为前论歌白泥法半虚线为第谷新法】不论次轮前法次轮在上新法次轮在下其理不二故也【五纬厯中见其论】
前法丁地心亦为戊寅庚夘圏心戊丁其半径戊本轮心以平行右旋厯丑寅庚夘等防月从丙自行左旋向乙设戊平行三十度至丑月左旋从丙至乙自行二十九度一十三分【每平行一度自行五十九分四十六秒故】平行六十度至寅即自行五十八度二十六分亦从丙至乙【丙乙恒为自行弧】又
至庚至夘等皆同此推若依丁戊线从丁向戊取丁申
线与戊丙等申为心丙为界作圏必遇各乙?是名过乙圏亦为髙庳圏【不同心圏】
新法丁戊半径戊寅庚夘圏同前别取戊午线为戊丙三分之二戊为心午为界作本轮【较旧本轮之径减三分之一】次平分戊午于己午为心巳为界作均轮【得旧本轮径三分之一】月体在己设戊心平行至丑即戊乙戊丙两线开展【午心循子午本轮左旋为各子午弧】如张箑之势【丁戊丙直线戊午乙过两小轮心线若自行初宫初度即两线合为一线后渐展开至三宫九十度成直角至六宫复合为一】己月从最近酉【最近本轮心也】
右旋【顺经度行】至己为自行之倍数如戊行至丑两心线为丑酉午乙月在己则酉巳弧倍于丙乙弧或午子弧【丙乙午子与戊丑等而乙丑乙寅等线恒与戊丁平行】余悉同此【酉巳弧行倍于丙乙】次依丁戊线从丁取十万分之二千九百为未未为心已为界作圏过各己防是为均行之圏两法至??即相近依前法推加减表则用丁丑乙一三角形求丁角新法用午己丑及丑己丁两形求丑丁巳角两得数之差自行十五度为四分三十三秒自行三十度为八分○九秒自行四十五度为九分五十六秒自行六十度为九分三十二秒自行七十五度为七分○三秒自行九十度为三分○六秒前法以自行九十五度为大差之限则四度五十六分一十九秒新法以自行九十一度为大差之限则四度五十八分二十七秒两得数之差随在皆乙丁巳角而最髙左右均数新法比前法为大最髙冲左右新法比旧法为小
凡月离诸表今皆依新法推算
推太隂之实经度第十三
前论因本轮之自行度加减立第一均数以得定朔定望朔周转周又因两?之自行差与朔望异用次轮之自行加减立第二均数于理为尽从是可得太隂之视行实经度今论次如左
查平行表简得太隂太阳之相距度分及月距本轮最髙度分用平面三角形法可得其实经度【用古法解之】
第一法西古史依巴谷在罗徳岛【地中海岛北极出地三十六度】于总积之四千五百八十七年为汉武帝元朔二年甲寅三月【建寅之月】初七日子正后八十四刻一十四分【顺天府时刻】用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分于时日视行躔鹑首一十○度四十○分即月视行度必在鹑火二十八度三十七分此时此地为午正后一十二刻依正升斜升表算得月凖在黄平象限无东西差
今用月离表试之依表是时太阳之平行为鹑首一十二度○三分均数为一度二十三分当时太阳最髙在实沈宫初以减四十八度○六分得四十六度四十三分为太隂距太阳之平行度【此于实距内减均数而得平行葢太阳在最髙后平大视小用减法若在最髙冲平小视大用加法】查表于时太隂自行为三百三十三度又平行距太阳为四十五度○五分视平两行之较为一度三十八分更用两小轮图试之
从自行之最
髙甲左旋过
己至乙得三
百三十三度
乙为心作次轮圏作乙丙聨两心线割次轮于壬从壬至戊为日月相距之倍数九十○度一十分次作乙戊戊丁戊丙三线成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角【壬戊弧九十○度一十分】求丙戊边及戊丙乙角【乙为钝角宜引长丙乙边作戊子垂线成戊乙子直角形有乙戊边二三一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙过九十之余也先求戊子得二五七弱
次求乙子得○○一以并
丙乙得一一○四戊子子
丙各自之并而开方得一】
【一二五不尽为戊丙又子丙与全数若戊子与丙角之切线得一十二度一十○分为乙辛弧】次以甲巳乙弧并乙辛得三百四十五度一十一分其余弧一十四度四十九分为甲辛或甲丙辛角
次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角【戊丙甲角之余】一百六十五度一十一分丙丁为全数求戊丁丙角【引长丁丙边从
戊作戊子垂线戊子丙直角形有角有边求戊子为二八七子丙为一○八五
子戊丁直角形有两边求第三丁戊得一○一八五为月距地心次求丁角为】
【子丁边数与全若戊子边数与丁角之切线二八四查表】得一度三十八分如上所测数为确合
第二法太阳经二百六十九度○四分太隂经二百五十七度四十三分太隂自行为一百二十二度四十九分日月相距为一十一度二十一分倍之为二十四度四十二分如图甲乙为太隂自行度壬戊为倍数丙乙戊
形有丙乙乙
戊两边有乙
角壬戊弧之
角求丙角得五度五十二分为辛乙弧求丙戊边得五十六分以乙辛减乙甲【自行不过半周故应减】余一百一十六度五十三分为甲辛弧其余六十三度○七分即辛丙丁角次丙戊丁形有丙戊丙丁两边有丙角求丁角得四度四十二分为白道上之庚癸弧因在自行前半周以减平行得二百五十三度五十七分是太隂本时之实经度【从春分起算】
篇中屡言黄平象限者是黄道在地平以上之九十度限也两道在地平上下皆半周赤道恒定不易其半周上之九十度限恒在午正线黄道斜迤时时不一其九十度限时东时西又随地多寡若极出地四十度则差多者至距午二十五度惟南北二至乃与午线同度分耳其法其表详载交食厯今略举如左 法欲求本地本时之黄平象限于本月日时简本地本宫之黄平限表其第一直行本日之月离宫度也第二第三四行为其时分秒第五第六为其月离象限度分先约得月离经度若干极四十度表有时之秒他极减之而少一行查表取其横相对时分【子正起算】得某时月在黄平象限更以本时简月表求月离经度得某宫某度分又对取其时分为月在象限之正时 假如崇祯四年八月十四日求本日何时月在黄平象限先约月在娵訾宫六度本表求时得二十一时○一分五十三秒以此时查月表求月经度得本宫七度一十分查时得二十一时三分五十三秒为月在黄平限之时可测其髙欲宻合更以此时求经度更求时
系凡月生明或生魄作直线聨两角此线若过天顶为地平上之垂线即太隂必在黄平限?上而此直线亦与白道为直角引长之必过黄道之极【黄白二道在太隂厯中每作一道论其差甚防故】
此线直过天顶及黄道极必分地平上之黄道弧为两平分【此两圏相交有细解其本论见球圏原本】
月望时无从得角从月驳定月体之南北两极如前直线用之知其过黄道极及在黄平象限之上
二十八宿距度第十四
中西古今厯法理同数异大同小异理大同者共戴一天
同资七政也数小异者如周天有平度日度度法有用六用十之类会而通之罔或弗合亦无害其大同也独恒星宫次中厯依赤道为二十八宿北为三垣南方无垣则附见于诸宿西厯依黄道为十二象通计南北为五十二象此即大不相侔矣以故回回厯翻译并存今恒星厯各注黄赤经纬度分星名位次皆按中厯更定免致凌杂而间考西古太隂厯则亦有二十八舍译谓月所宿留之处即又与宿次同义且二十八距星亦皆脗合其不合者独觜宿距星不用觜用天闗耳竟不知其何繇而同若疑上古相通则此法之外又何以毕无一合亦一竒也其诸法义图表俱见恒星厯指今欲推太隂宫宿度仍用本表先定黄道所离经度依表求得本时刻太隂所离某宿某度法曰表中求月所离之宫度数内减去近小宿数所余者为本宿之度分假如月离鹑火二十八度三十七分本宫近小数为星宿二十二度○九分相减之得六度二十八分乃月在星宿六度有竒
宿距星在宫次 度 分 宿 宫次 度 分
择月食以定交周第十五如上论定朔望转周实经度讫次当定交周度分其法亦用两月食两食者须太阳之距最髙等须太隂自行度等须食分等须食在阳厯或在隂厯亦等乃可推月行交道满若干周而复还于故处第旧史不载食分亦不载隂阳厯无凭推步即西古多禄某【汉顺帝时】亦未觉太阳之最髙随天运行【顺七政右旋每百年约行一度】故所择两月食见黄道上之经度等即谓太阳之距最髙亦等而实则不等兵法亦不可用至近世歌白泥【正徳间】择用两食于法为合但所用两食一在阳厯一在隂厯虽内外不等而度分之对待相等如日月之在朔望皆名交会不害为可用也
第一食总积之四千五百四十年为汉文帝六年日躔大梁宫六度四分五月【酉月也实建申之月】初二日子正后三十一刻【顺天府时刻不见食甚】月食十二分之七在阳厯中交即月在
南初亏东北于时月自行为一百六十
三度三十三分【多禄某歌白泥两算同】均数为一
度二十三分【未满半周一百八十度故用减法】
第二食【歌白泥所记】六千二百二十二年为正徳四年己巳日躔实沈宫二十一度六月【实建酉之月】初二日子正后二十四刻一分【顺天府时刻不见食甚】月食十二分之八在隂厯正交即月在北初亏东南于时月自行为一百五十九度五十五分
两食时月自行差止三度半可勿论其日躔前后相距不等然多禄某所测太阳最髙为实沈六度所用食时日躔在最髙前三十度弱歌白泥时最髙在鹑首五度所用食时日躔在最髙前十四度两距之较虽十六度以最髙旁近度距地心之数为差防即地景大小无二亦可勿论
今论两食时之月自行畧等太隂距地心之度分畧等则所差者在食分也为十二分之一
计两食之中积为平年【三百六十五日】一千六百八十三年八十八日九十刻○五分或六十一万四千三百八十三日九十刻○五分得交会【即朔望】二万○八百○五会交终则二万二千五百七十二周外余一百七十九度二十四分【后食大于前食为十二分之一月体之径于天度畧为三十分则食差为二分三十秒交前后之纬距二分三十秒其经度为三十分次食既大于前食即近交其较半度则未满丰周之较为三十分查表求两食之两均数一加一减其较二十一分以减三十分得九分为不及半周之数实余一百七十九度五十一分】
上文推定【依巴谷及多禄某先后推定见本篇第四】月交会五千四百五十八则交终五千九百二十三依此用三率法以交会率【二十九日有竒】为法中积日为实而一得二万○八百○五会再用三率法以交终为法而一得二万二千五百七十七交半
置交数【二二五七七半】以三百六十乘之以会数【二○八○五】而一得一会时【二十九日有竒】交行之度分
又以会数【五四五八】为一率交数【五丸二三】为二率一日之太隂平行【一十二度一十一分二十七秒】为三率求得一十三度一十三分四十六秒为一日交行之度以日求月求年凖此法论交行第十六
交行有二一顺经度行一逆经度行顺行者月平行一日一十三度一十三分四十六秒是为月行距交之度则以交为界又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五防是为月行距宫次或节气之度则以宫次或节气为界两数之较得三分一十一秒是则两交一日逆行之数所谓罗计行度也顺行者如七政右旋自西而东逆行者如宗动左旋自东而西右旋者先降娄次大梁左旋者先?枵次星纪故月行两界一为定界一为不定界定者宫次如娵訾等节气如冬至等不定者谓正中二交也两界则两数其较则为不定界之行分不定界之数大于定界之数故累积其较则与月行相背矣
交有平行又有自行与日月相似自行有迟有疾黄白二道之相距亦时多时少古来未觉有此第谷累年宻测得交行惟朔望时无加减【与日在最髙最髙冲同理】恒得五度弱过此渐加至两?而极而此自行恒半月满一周【与太隂次轮行度同理】
如图甲为月天球上之黄道
一极人目在他极外斜看黄
道面戊庚己为黄道圏去甲
五度○八分得乙乙为心作
戊癸己球上大圏为平白道
两圏相遇各平分于己于戊为两交庚癸相距之限五度○八分是为两交相距之中数【两相距之小数为四度五十八分三十秒大数为五度一十七分三十秒相减得较半之以并小数得五度○八分相距之中数也】而己戊为两交平行之处
次乙为心作丁丙小圏其径为大小两数之较一十九分小圏之周恒负正白道之心【如黄极绕赤极作一圏名极圏又白极绕黄极作一圏名白极圏此小圏与之同理正白道之心如丙丑丁寅皆是也】半月【十四日有竒半朔策也】行一周
若正白道之心在丑【最近黄道极惟朔望则然】以丑为心作球上大圏如辰辛子辛为正白道【若球上作大圏过白黄两极宜为乙丑庚弧今依视法作直线】其距黄道为辛庚【本大圏之一弧】辛癸为中白道正白道之差而正白道两交黄道于辰于子则辰子为两道【朔望时】之正交是交食所用之两交也
若正白道之心在寅【两?时】以寅为心作夘壬未大圏定
癸壬为中白道正白道之差
而庚壬得五度一十七分三
十○秒是为黄白二道相距
之极逺【寅心距甲心为极逺故】则夘未
为两逺交距戊巳两平交为
戊夘未巳距夘未两近交为夘辰未子【逺近者两?之交近交者朔望之交平交者半?策之交】
凡正白道心在寅之上【两?前后】丑之下【朔望前后】若干度分则中正两白道之大距【相距之最逺】在壬之上辛之下亦若干度分而两交在夘未之上辰子之下亦若干度分若正白道心或在丙或在丁则正中两道之大距相合于癸弧之上而丁甲癸或丙甲癸为两象限两交则在辰夘子未之间戊巳之左右
本厯表中有正交之加减有正白道与黄道相距之度分其原葢出于此如图正白道为辰辛子即有辛辰庚角可推正白道之各度分距黄道若干【与黄赤二道距度同法】若在癸在壬俱仿此
若正白道在辛癸壬之外【在辛壬限内而不在三防之上】则先求丁之上下距甲若干以得癸之上下距?若干葢丁甲癸为一象限甲癸庚亦一象限甲丁大癸庚亦大若小亦小其加减率及用法见本厯表
定交行之厯元第十七
上文言择两月食以定交周因其经时若干而满周以知交终及歳月日时交行之数然止用两食相对较勘多寡不知其距交几何度分今欲审某时距交若干以定交应亦须两月食其距太阳之逺近等两食分等两食之在隂厯阳厯正交中交等既诸率各等则距交必等因而析取中数则得本时正交所躔度分【此歌白泥法】
第一食【多禄某所记即前第六章定本轮所用第二食】总积之四千八百四十七年为汉顺帝阳嘉三年甲戌十月【建戌之月】二十四日子正后一十七刻【顺天府时刻】一十分月食十二分之十在黄道南初亏东北于时太阳躔夀星宫二十五度一十分月自行为六十四度三十○分用减法得均数为四度二十○分
第二食【歌白泥所测】总期之六千二百一十三年为?治十三年庚申十一月某日子正后三十一刻正【顺天府时刻】月食十二分之十在黄道南初亏东北日躔大火宫二十三度一十一分【两食之中积时为一千三百六十六年其间太阳行最髙一十六度有竒以减日躔两度差二十八度得一十二度为前后日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚防地景无二与无差同】月自行为二百九十一度三十五分用加法得均数为四度二十八分
两食时月本轮最髙前后等距【前过最髙六十四度后未至最髙六十九度其较五度距地之差甚防与无差同】食分大小等初亏方位等则两食之月距交等度【中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分】此时自行满交周外其距交为一百五十九度五十五分
如图甲乙丙丁为白道乙丁为正中二交甲为北为内为上为隂厯丙为南为外为下为阳厯乙戊己丁为距交等之两弧是
两食时月体一过交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之后前食用减法得均数四度二十○分【减者月在自行之前半周依表平交行为甲乙庚减庚戊得甲乙戊戊为月所至之实处】取戊庚后食用加法得均数四度二十八分【加者月在自行之后半周依表平交行为甲丙辛加辛巳得甲丙己巳为月所至之实处】取己辛庚辛为两食中积月距交之平行一百五十九度并戊庚辛巳得戊丙巳两距之实行一百六十八
度四十三分其余一十一度一十七分为乙戊丁巳两弧并半之得五度三十九分为两食时月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲为界则甲乙庚得九十九度五十九分是第一食时之交行根所谓交应也若他时他处求交应依此加减之
今拟崇祯元年戊辰天正冬至为厯元顺天府为厯元本所如日躔表推算本曜恒年表【如后卷】
交行两界任用但月体行度多端差数繁曲既成加减均齐则或用定界从宫次节气起算或用不定界从罗计起算所得正等
测黄道白道相距度分第十八
西史多禄某【汉光武时】其地为北极髙三十○度五十八分用三直仪【测髙仪皆可用】测得月轨极北距天顶二度○七分以减北极出地度得二十八度五十一分为月距赤道度分于时黄赤距度为二十三度五十一分【黄赤距古逺今近説见日躔厯指】以减太隂距赤度余五度正为黄白相距之度此测因月近天顶地半径差极防可以勿论又轨度最髙在清蒙限外亦无差分若在近浊测月轨髙不先定地半径差清?差以为加减即所得者非实度分
西古史多言黄白距五度正上古则云四度五十八分回囘厯则五度○二分皆不逺近世第谷【万厯间】宻测详推功倍古人其言曰朔望时古测仅少一分半若上下两?则五度一十七分本书有测法有算数今略举如左
总积四千八百○○年为汉章帝章和元年丁亥八月【建未之月】十八日【本地】午正后二十九刻一十分月在正午时为上?依本表算得距交八十六度一十七分于时测得月距黄道【地半径蒙气二差俱加减讫外】为五度一十三分 【右二则所言度分通为日度则五度一分半者当为五度九分八十二秒五度一十七分者当为五度三十六分五度一十三分者当为五度二十九分】
大统以前诸厯黄白相距俱六度正通为平度则是五度五十五分距度恒大于西术以推算月食往往小于天验殆縁于此
西术定黄白距度求月轨极髙得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此古今通法但多禄某当汉光武时去今一千四百余年于时黄赤距为二十三度五十一分所减大所余必小今时则二十三度三十一分半所减小所余必大故今之黄白距较古为大【是黄赤渐近而黄白不移其所以然难可窥度】
又恒星厯言近至之恒星古今纬度不一在冬至则南纬度小北纬度大在夏至反是亦黄赤渐近之徴也
今推黄白距度列表略同黄赤距度法【见日躔厯指及测量八卷】其用法见月离表
论月视差第十九
日躔厯指论地球半径与月天半径为比例若本天视地为逺为髙则比例为小若为近为庳则比例为大【两数相近其比例名谓大相逺名为小】
凡视差有三【清蒙不与】一曰地平纬差二曰黄道经差三曰去极纬差其根则一地球之半径是也葢推算之地平纬恒与地心为对人目所见之地平纬恒与地面为对故因地之半径而生视差若日月星在天顶即实行与视行为一线即测騐与推算为一率自此而外七政皆有视差但以去地逺近出地髙庳分别大小耳今所论者地平纬差也【余二差详见交食厯指】前史谓之南北差因曜实在北所见在南故立此名今通称之
求月视差法依表算得月在极南【即冬至但此论经度非时也故称南至以别之】近冬至十度以内又在两交之中【正半交中半交黄白相距极逺之际】又在黄平象限之上测其地平以上之髙是为视髙次用赤道出地度南至距赤纬度太隂距黄纬度推得月在地平以上之髙是为实髙次以视髙减实髙其较为地半径之视差 若不用南至任以恒日依表推月过子午线或黄平象限上求其黄道上经度及其距交经度距黄纬度得地平以上之实髙亦测其视髙两数之较为地半径之视差此法古今累测所得数无异略举如左
总积四千八百四十八年为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月【建酉之月】初三日西史多禄某在本地极髙三十○度五十八分太阳躔夀星宫五度二十八分月在子午线亦为黄平象限【凡两至在黄平象限与子午线同度】推其经度为星纪宫三度○九分月距交为七十四度四十○分其距黄纬度为四度五十九分计本地赤道髙五十九度○二分星纪三度九分之距赤纬于时为二十三度四十八分以减
赤道髙得纬度髙为三十五度一
十四分【黄道某度地平上髙】加月距黄纬度
【在黄道北故加】得四十○度一十三分为
太隂之实髙次测得三十九度○
五分为视髙一推一测其较一度八分为地半径视差
又总积六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月【建申之月】二十七日午正后二十二刻一十分西史歌白泥测得月轨视髙七度一十分于时日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度为本轮之最髙推黄道经为在星纪一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黄纬为四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分减去月距赤道度余七度五十七分为月在地平上之实髙一测一推之较为四十四分即月在最髙地半径视差
右两术所推太隂之地半径差各依本法论定太隂出入地平时若在本轮之最髙则多禄某为○度五十三分歌白泥为五十分若在最髙冲则多禄某为一度一十九分歌白泥为六十六分异同若此将何适从所以然者縁两史测月时未悟月近地平有清蒙一差故也【説见日躔厯指】清蒙映物能升卑为髙凡测月之地平髙所得数乃所见之视髙【与人目平行】非月行之实髙【与地心平行】以地半径差减实髙则为视髙又以清蒙差加视髙则为真视髙近世第谷依此法推得太隂出入地平时在最髙为五十六分二十一秒在最庳为六十六分○六秒其各逺近之差在多禄某为二十六分歌白泥为一十六分第谷为一十分三家皆有地半径差表今以第谷【新术为正】以地半径大差求月距地心第二十
如图甲为地心乙丙为视地平乙甲为地半径丙角为视差【用第谷之大数】六十六分○六秒乙为直角乙甲半径为度【为度者恒呼为一以上累加之】求月距地心之甲丙法为全数【内】与乙甲【外】若丙角之余割线【内】与甲丙得五十二又十万之二万一千○二十五是月极近地为五十二
地半径有竒若用小数五十六分二十一秒推得六十一又十万之二千七百八十二
系既定甲乙乙丙之比例若有月距天顶之戊丁弧或称戊乙丁角或称丁乙甲之余角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恒为地半径之角
如前论月本天本轮次轮各半径之比例为十万为一一○二为二二一并之得地心至太隂极逺【最髙】之线一一三三三次用变率法一一三三三得六十一地半径又十万之二千七百八十二则本轮之半径一一○二得若干次轮之半径二三一得若干依此推之
系如图得丁
戊【月距地心十万分之
几】若干数亦
可得月距地
心若干地半径数有表【图説见前】
二系地半径差月距地心恒互推
三系若定地半径若干里亦可得月近逺若干里【有本解】论太隂清蒙气第二十一
日躔厯指有论有法以测清蒙差度分因之列表凡测太隂得其视髙则求地半径差加之得数又以清蒙气差减之为其实髙凡推太隂得其实髙则以地半径差减之得数又以清?气差加之为其视髙但清蒙之差因地因时所在各异今表其折?通用之率也必求本地本时之确数宜随处所积歳月累测以定之
测月径地景径第二十二
测日月径度西古史有本用仪器今以月食立法则厯家之正术也
总积四千○九十三年为周襄王三十一年?子月日子正后【顺天府时刻下同】四十一刻○五分月食十二分之三约为四之一于时日躔降娄宫二十七度○五分月离夀星二十七度○五分月自行为三百四十○度○五分月距交九度二十分距黄道北四十八分半【依表算】
又总积四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻○五分月食十二分之六约为半径于时日躔星纪一十八度一十二分月离鹑首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分【前食月距本轮最髙二十度弱两食之较八度有竒俱在本轮上弧不能变逺近之数】月距交七度四十八分距黄道南四十分四十秒
如图日光照地面即地背生景形如角体渐小以趋尽月
过交入地景【一名
闇虚】有髙庳食分
为之大小今两
食时同在最髙之左右其距地等食分一为半径一为四之一其较为四之一距黄道一为四十分四十秒一为四十八分三十秒其较七分五十秒依法算月径四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似径也
测月径度法详见三圜比例説
系凡食分为月之半径即月距黄道为景之半径因上数当食时地影半径为四十分四十秒
二系若食时能测定食分又推算得躔离自行距交距黄等诸率可得月径及景径不必用古两食法
日月距地率日月实径率地景长率总论第二十三
如图乙甲丙为日已丁戊为地日光照地以两光线从乙过己从丙过戊而遇于丑是生已戊丑角体之景次从
乙从丙至地心作乙丁丙丁二线又作甲丁丑线过日地两心次从地心丁上下取月距地心之数【地半径为度如上文所定】为丁庚为丁寅两距等作庚辛壬巳戊寅子线皆平行其太阳似径之度为三十一分二十○秒【欲解其义先定太阳之似径此在三圜説有各种法今用者古多禄某所定也又太阳行最髙最庳不等似径亦不等本章所用者日在最髙之似径也论月亦在小轮之最髙如下文】
庚辛丁直角形有庚丁【月距地】六十四又六之一有丁角【甲丙庚】一十五分四十○秒求庚辛法为全【内】与丁庚六十四又六之一【外】若丁角之切线四五五【内】与某数【外】得地半径十万分之二万九千一百九十六次求寅子【?壬丑三角形内有庚壬丁戊寅子三线相距等用递加法三率之第一第三井为第二率之倍数】庚辛为月最髙半径度依多禄某説约与日半径度等又寅子为地景之半径四十分四十秒即两数之比例【庚辛十五分四十秒寅子四十分四十秒】为若五与十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九以并?辛得一十○万五千一百○五以满丁戊之倍数二十万为不足地半径十万分之九万四千八百九十五为辛壬【丁戊倍之为二十万与?壬寅子并等于倍数内减?辛寅子井所余为辛壬】
次丙戊戊丁两线所作戊角拟为直角【实非直角其差极防非算所及】丙戊甲丁两线亦拟为平行【实非平行以差防故】用几何法【第六卷第二题】为戊丙与壬丙若丁丙与辛丙又丁甲与庚甲若戊丁【地半径十万】与壬辛【九四八九五】既丁甲与庚甲若戊丁与壬辛则甲丁为十万【若戊丁】庚甲为九四八九五【若壬辛】所余之庚丁必为○○五千一百○五先定?丁为六十四地半径又六之一依变率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半径者一千二百一十也
以上系古法后世累代宻推有亚巴徳于总积五千六百○四年为唐昭宗大顺二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥于正徳间推得一千一百七十九倍第谷于万厯间推得一千一百八十二倍此差列数至微推算极难或日径月径加减以分计则其差以数百倍计故名厯家于此殚思竭虑焉今时所用大都歌白泥之率也
一系依上论丁戊地半径为一万分庚辛月半径为一万分之二千九百二十六是为地月之两实径用此比例可推两体之比例
二系甲丙丁庚辛丁两形相似则庚丁与庚辛若丁甲与甲丙推得日实径与月实径之比例
三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例 以上三系详见三圜説
四系置日距地度及日与地之比例又距月行本轮距地度【于上图为丁寅】可得月所过地景之径列表其引数为月本轮自行之数然图説所设者日在最髙若去最髙即复异此故表有本行名地景差其引数为太阳之引数以所得之分与引数相减即得【无加法】葢日在髙景大在庳景小故也
月距地视差视径三家异率第二十四
汉章帝时西史多禄某术
月距诸率为地半径 地半径视差 月视径十单又十分【六十为半径】度十分【天度】 十分十秒
正徳间西史歌白泥术
万厯间西史第谷术
【刻尔白改之法今所用又测太阳视径】
【为冬至三十一分半夏至】
【三十分新法算书卷二十】
第谷及其门人