明 李之藻 撰
杂和较乗法第八
诸物互和未易缕析必取互乗之数较余为用以少除多得一数以推其他而纎悉见矣若条缕多者别立正负为算别同异以分加减总归于去烦就简故率除首列同乗减尽一数而其余则名类相同者减之相异者加之其最繁者亦视首列所主为用如首以同名减则其下同减而异并首以异名减则其下异减而同并大要与盈朒相近而又济盈朒之穷【旧名方程用前叠借互征亦同头绪多者用此为便】问鼎三彞二共重一百五十五两又鼎四彞五共重二百六十五两鼎彞各重若干将二项左右对列各作三段递互徧乗之又相对较之视其余数以少除多而互得其重如以彞乗则反得鼎重以鼎乘则反得彞重且如以右鼎徧乗左行【鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五】以左鼎徧乗右行【鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十】各得数相减两鼎数相等减尽不用两彞数减余七又两重减余一百七十五以少除多七为法一百七十五为实除得彞重二十五两以右中彞二乗之得五十两以减右总余一百零五两亦以右鼎三除得每鼎重三十五两鼎三【以乗左行得一十二】彞二【得八】重一百五十五两【得六百二十】鼎四【以乗右行得一十二】彞五【得一十五】重二百六十五两【得七百九十五】右法若以彞徧乗其以七为法亦同所得减余之实凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五两以右鼎三乗之得共鼎一百五两以减右行重数余一百两为二彞重数若以左彞四乗之得共鼎一百四十两以减左行重数余一百二十五两为五彞重数
问纱三匹绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱纱绢各价若干亦将二项左右列之各三段徧乗如以右纱徧乗左行【纱七得二十一绢二得六价六两八钱得二十两四钱】左纱徧乗右行【纱三同上绢四得二十八价四两八钱得三十三两六钱】各得数对减其两纱减尽不用两绢减余二十二为法两总减余一十三两二钱为实以法除实得绢每疋价六钱就以右绢四乘得共价二两四钱以减右总价尚余二两四钱为右纱三疋之价得每疋价八钱
纱三【与左乗得二十一】绢四【得二十八】共四两八钱【得三十三两六钱】纱七【与右乘得二十一】绢二【得六】共六两八钱【得二十两四钱】右式若以绢徧乘其法同前但减余之实一百七十六以法除之亦得八钱为疋纱之价以右纱三乘得二两四钱以减右总价余二两四钱为四绢之价若以左纱七乘得五两六钱就减左总价余一两二钱为二绢之价
问笔三管换砚七个贴砚价四百八十文别以砚三个换笔九管贴笔价一百八十文笔砚各价防文依前左右三行列之而以砚为正笔为负互乘得数却于正负同名者对减异名者对加求之
砚正七【正二十一】笔负三【负九】价正四百八十文【正一千四百四十】砚正三【正二十一】笔负九【负六十三】价负一百八十文【负一千二百六十】
右砚正七乘左【砚正二十一笔负六十三价负一千二百六十】左砚正三亦乘右【砚正同上笔负得九价正一千四百四十】得数两砚正同名减尽两笔负同名减余五十四为法两价正负异名加并得二千七百为实以法除实得五十文为一笔之价取右行笔负之三乘之得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右砚七个总价以七除得九十文为一砚之价若取一笔之价以左行笔负之九乘之得四百五十则当就内减总一百八十余二百七十即左行三砚之价若移置笔负为法徧乘者得异并之实四千八百六十文以法除之【五十四】得九十文为砚价
问七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等不知各重若干此依互换者列位一系六钏一钗一系一钏八钗而中分其总重之数
钏六 钗一 四两七钱
钏一 钗八【四千八】 四两七钱【二十八两二钱】
先以右钏六徧乘左行【钗八得四十八价四两七钱得二十八两二钱】次以左钏一徧乘右行【钏一价四两七钱】对减余四十七者为法余二十三两五钱者为实以法除实得五钱为一钗数以减右行总重【四两七钱】余四两二钱即六钏共数六除之得每钏重七钱
若移用右行钏一左行钗八为法徧乘者得减余之实三十二两九钱以法除之【四十七】先得七钱为一钏之重
问钱一万文以卖二马一牛则不足半马之价以卖一马二牛则余半牛之价其牛马价各若干此当以不足半马者损为一马零二分马之一及一牛以余半牛者益之为一马及二牛零二分牛之一依法列之而以整带零之法乘除之
马一匹二之一 牛一头 价一万文马一匹【一匹二之一】 牛二头二之一【三头四之三】价一万文【一万五千】
先以右马徧乘左行【马一匹二之一牛三头四之三价一万五千】次以左马徧乘右行【马如上牛二价一万文】其两马减尽两牛减余二头又四之三为法两价减余五千文为实以法除实得一千八百一十八文又十一之二为牛价以减右行总价【一万文】余八千一百八十一文又十一之九以马一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六为马价问甲乙二窖积粟不知各防何但云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙则各满二千石其原窖防何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千减余二千为实而以两母相倂得五为法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石为乙窖原粟余八百石以甲母二乘得一千六百石为甲粟其必各以母乘者盖前所除得只是子数必归母见整故也
甲二之一 二千石【六千】
乙三之一 二千石【四千】
问治地不知亩数每工种麦三畦种菽四畦共三百零一工其菽麦数并工数各若干此为双头单脚互乘取三四左右列之并得七为法其下列工数
麦三畦
菽四畦
若求菽数者右三乘总工【九百三】以法除得一百二十九为菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麦畦数若求麦数者左四乘总工【一千二百四】以法除得一百七十二为麦畦以三乘得工数如前亦以左四除得菽畦问犒夫不知数但云二人共饭三人共酒四人共肉总用饭酒肉六十五分计夫若干列三位维乘【二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八】并得二十六为法另用乘并之法【二乘三得六以乗四得二十四】得数以乘总分【六十五】 二人
得一千五百六十为实 三人 六十五分
以法除得六十为夫数 四人
问银二百六十四两买牛羊共一百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱内牛羊倂价各若干以牛羊各价依子母左右列之互乘得数【牛乘羊四两五钱羊乘牛八十两】减余七十五两七钱为法另列总牵总价于下如求牛数者先以羊四乗总价【一千五十六】以羊价乘总牵【一百五十】减余【九百零六】为实以法除得一两二钱为牛衰以右位牛三乘得三十六头以二十乘得共价二百四十两就总内减牛数余为羊数
牛三 二十两
羊四 一两五钱
若先求羊数者以牛三乗总价【七百九十二】以牛价乗总牵【二千】减余【一千二百零八】为实亦以法除之得一十六为羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四两就总内减羊亦得牛数
问用匠五千名包砖板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方砖板堤匠各若干以母子左右对列互乘得数【九乗四得三十六七乘十一得七十七】减余四十一为法另列总匠总隄于下
九名 十一方
七名 四方
若求板隄数者左七乘总方【三万四千九百六十五】四乘总匠【二万】减余【一万四千九百六十五】为实以法除之得三百六十五为板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于总内除板隄余皆砖数或求砖隄数者右九乗总方【四万四千九百五十五】十一乘总匠【五万五千】减余【一万零四十五】为实以法除之得二百四十五为砖衰以乘左七得砖匠一千七百一十五方以乘四得砖隄九百八十方于总内除砖隄余即板数
问七人醵金不知总数亦不知各数第云甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱亦不知丙丁共数此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一为四【与后章求隔母法同】仍以右衰【三】乘之得数【十二】减半【六】又减去右衰【三】余三为右中率取左衰【二】乘总位【七人】得数【十四】内减右衰【三】余十一为左中率而各以共金数列其下
右三 三 二十六两一钱
左三 一十一 二十三两七钱
乃以左二徧乘右【中三得六下二十六两一钱得五十二两二钱】以右三徧乘左【中十一得三十三下二十三两七钱得七十一两一钱】各得数相减中余二十七为法下余一十八两九钱为实以法除实得七钱为隔母之数别取甲乙共数【二十三两七钱】并入隔母七【得二十四两七钱】减半得一十二两二钱为甲金数内减差数七得十一两五钱为乙金数其余以七递减各得【丙十两八钱丁十两一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两】
问竹筩一茎九节下大上细下三节共盛粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知数要见每节盛粟若干亦先求隔母数为逐节相较之率取上三列左下四列右以右四加一为五与右四相乘得数【二十】减半【一十】又减右四得六为右中率别以左三乘总位【九】得数【二十七】内减右中率六得二十一为左中率各以所共盛之数从之
右四 六 三升
左三 二十一 三升九合
乃以左三徧乘右【中六得一十八下三得九分】以右四徧乘左【中二十一得八十四下三升九合得一十五分六厘】得数相减中余六十六为法下余六十六为隔母率别以左三共粟为实【三升九合】以法【六十六】乘之【得二百五十七分四厘】以三除之【因系三节故也】得八十五分八厘是第八节数加母率【六分六厘】得九十二分四厘是第九节数若减母数【六分六厘】得七十九分二厘是第七节数其余递减母率【第六节得七十二分六厘第五节得六十六分第四节得五十九分四厘第三节得五十二分八厘第二节得四十六分二厘第一节得三十九分六厘】而仍以法除之【第一节六合第二节七合第三节八合第四节九合第五节一升第六节一升一合第七节一升二合第八节一升三合第九节一升四合】其以中余【六十六】为法下余为实以法除实者得一合为隔母率以三除左总【三升九合】得一升三合为第八节数以一合加减之亦得第七节第九节数以次推之同前
问四雀六燕七鹪共集于衡重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两六分三禽各重若干法置左右中三行三色及总重作四段列之先以右行五雀徧乘中行【雀一十五燕二十五鹪四十五共重四两零五】
再置前图减余而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行余四燕 余廿一鹪【四十二】共余八钱七分【一两七钱四分】余二燕 余三鹪【十二】 共余二钱一分【八钱四分】
乘讫对减鹪余三十为法共重余九钱为实以法除实得三分为一鹪之衡就以乘左余鹪三得九分以减左重余一钱二分为二燕之衡即知每燕重六分也【既得一鹪之衡以乗右余鹪二十一及减右重亦得每燕六分】乃于前左行原价八钱九分之内减去原鹪七【二钱一分】原燕六【三钱六分】各重数其余三钱二分以雀四除之得雀重八分【或于前右行中行原数内减乘皆同】问牛一头马一匹驴三匹皆载物七百斤上坡皆不能上牛借马一匹马借驴一匹驴借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及总物为四段
正牛一 借马一 ○ 七百斤
○ 正马二【二】 借驴一【一】 七百斤
借牛一 ○负一【二】 正驴三【六】 七百斤【一千四百斤】
先右行正牛一徧乘左行得数又以左行借牛一徧乘右行得数【乘借马一一如一乘物仍七百斤】对减尽因左行中○无减乃仿右马乘出之数为立负马一以俟另乘次以中行正马二徧乘左行中下得数【负一得二原驴得六下物一千四百斤】复以左行负一为法徧乘中行中下得数【正马得二借驴得一下物仍七百斤】以对减正负马同名减尽正借驴异名相并得七为法下物同名相减余七百斤为实以法除实得驴力一百斤取中行物实【七百】内减一驴之力余六百即二马之力以二除得每马三百斤又于右行物实【七百】亦减一马之力余四百即一牛力右法或更置其位先求一马之力借驴一 正马二【左六】○ 七百【二千一百左减余一千四百】○ 借马一【六】正牛一【六】七百【四千二百左减余三千五百】正驴三 ○负六【六】借牛一【一】七百【七百】
先以右行借驴一徧乘左行中下得数亦即以左行正驴三徧乘右行中下得数【正马得六下物二千一百】因左马空○乃如右马乘得之数亦置负六相减三畜俱减尽下物余一千四百次以中行借马一徧乘左行中下得数而以左行负六徧乘中行中下【借马六正牛六下物四千二百】牛数正借异名以相并得数七为法下物中左同名相减得三千五百又以右下余物减之得二千一百为实以法除实得三百斤为一马之力然后取右行物实减二马力余一百见一驴之力又取左行物实减三驴之力余四百见一牛之力
问硃二斤黄三斤价钱二千四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文硃三斤碌七斤价二千九百八十文三色各价若干依式左右中列之
硃二 黄三【九】 ○ 价二千四十文【六千一百二十】○ 黄五【四十五】碌六 价六百四十文
硃三 ○负九【四十五】碌七【一十四】价二千九百八十文【五十九百六十】
先以右行硃二徧乘左行得数【碌得一十四价得五千九百六十】次以左行硃三徧乘右行得数【黄得九价得六千一百二十文】于左行○位照右立负九而与右行相对三色俱减尽其价余一百六十文又以中行黄五另列右徧乘左行【碌七十价得八百】以左行负九另列左徧乘右行【碌得五十四价得五千七百六十】
黄五【四十五】碌六【五十四】 价六百四十【五千七百六十】○负九【四十五】碌余一十四【七十】价余一百六十【八百】
以相减黄与○同数减尽碌系正负异名并得一百二十四为法两价同名相减余四千九百六十为实以法除实得四十文为碌一斤之价乃于前图中行原价内减碌六斤价【二百四十】余四百文悉黄价以黄五除之得每斤价八十文又于右行原价减黄三斤价【二百四十】余一千八百文悉硃价以二除之得每斤九百文
问鴈二雉三换谷五斗七升鴈五兎四换谷一石雉二兎二换谷五斗三升每色每个价谷若干先以右行鴈二徧乘左行得数【鴈一十兎八谷二石】亦以左行鴈五徧乘右行【鴈一十雉十五谷二石八斗五升】以相减鴈尽系○照立负十五兎无减仍八谷余八斗五升
鴈二 雉三【左一十五】○ 谷五斗七升【左二石八斗五升】○ 雉三【左四十五】兎二【左三十】谷五斗三升【左七石九斗五升】鴈五○负十五【中四十五】兎四【右八中二十四】谷一石【右二减余八斗五升中乘二石五斗五升】另以中行雉三徧乘左行中下【雉负四十五兎二十四谷二石五斗五升】左行雉负徧乗中行中下【雉四十五兎三十谷七石九斗五升】以相对雉减尽兎系正负异并得五十四为法价谷同名相减余五石四斗为实以法除实得一斗为一兎价就于中行谷内减二兎价余三斗三升悉雉价以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行谷内减三雉价余二斗四升悉鴈价以右鴈二除之得每鴈一斗二升
问卖二牛五羊买十三豕余价银五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两各价若干此以卖为正买为负余为正不足为负而正为主则同减异并负为主则同并异减如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得数【牛正二羊负六豕正二】其中行牛一亦徧乗右行【牛二同正减尽羊正五与中行负六异名并得负十一豕负十三与中行豕正二系异名并得正十五价正五中空无减】又右行牛二徧乗左行【牛十羊十二豕十六价六】其左行牛五亦徧乗右行【牛十正负异名减尽羊正二十五与左正十二同名并得正三十七豕负六十五异减豕正余得负四十九价正二十五异减左负余负一十九】依法或减或并讫
牛正二【中二 左一十】羊正五【中五 左二十五】豕负十三【中十三 左六十五】正五两【中五 左二十五】牛正一【右二】羊负三【右六】豕正一【右二】 ○足
牛负五【右一十】羊正六【右十二】豕正八【右一十六】负三两【右六】乃别列减并之数仍分正负互乘之如后图羊负十一为法以乘左行中下【羊正得四百零七豕负得五百三十九价负得二十两九钱】亦以羊正三十七而乘右行中下【羊负同数异名减尽豕正得五百五十五与左豕负异名减余一十六价正一十八两五钱与左异减余二两四钱】以减余豕正一十六为法价正二百四十为实以法除实得豕价一两五钱就以右行豕正十五乘【二十二两五钱】加正价【五两】共二十七两五钱俱羊价以十一除之得每羊二两五钱复以前图右行豕负十三乘豕价得数【一两五钱】加入正价【五两】共二十四两五钱为牛羊总价内减右行五羊之价【一十二两五钱】余一十二两悉牛价以牛二除之得每牛六两
羊负一十一 豕正一十五【五百五十五】价正五【一十八两五钱】羊正三十七【四百七】豕负四十九【五百三十九】价负一十九【二十两九钱】问买柰二梨四共钱四十文梨二桃七亦共钱四十文桃四榴七共钱三十文梨八柰一共钱二十四文各价防文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰为法彼此互乘以甲柰二徧乘丁【梨空桃空榴一十六钱四十八文】丁柰一徧乘甲【桃榴俱空钱仍四十文对减余八文】因丁梨空当照甲立负四次当以乙丁柰互乘乙无柰取梨二徧与丁乘【梨负得八桃空榴三十二钱一十六文】丁亦以负梨四徧乘乙【梨八减尽桃二十八榴空钱一百六十文并得一百七十六文】因丁桃空亦照乙立负二十八次以丙桃徧乗丁【桃一百一十二榴一百二十八钱七百零四文】丁亦以桃负二十八徧乘丙【桃一百一十二减尽榴一百九十六减余六十八钱八百四十文减余一百三十六】相减讫取此余榴六十八为法余钱一百三十六文为实其甲乙与丁互乘之数但求应立负数以为乘母而减并之数皆置不用者也以法除实得二文为榴价乃就丙价三十文内减七榴之价【十四】余钱一十六文俱桃价以四除得每桃四文又于乙价四十文内减七桃之价【二十八文】余钱一十二文俱梨价以二除得每梨六文又于甲价四十文内减四梨之价余一十六文俱柰价以二除得每柰八文
甲柰二 梨四 ○ ○ 四十文
乙○ 梨二桃七【二十八】 ○ 四十文
丙○ ○ 桃四 榴七【一百九十六】三十文【八百四十文】丁柰一 ○负四【八】○负二十八 榴八【一十六 一百二十八】二十四文【四十八文】问井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之
及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一
用丁绳五则借戊一用戊绳六条则借甲一乃
俱及泉其井深若干五等绳各长若干列五行
以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙
三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十
以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一
为井深积列位
一 甲二 乙一 ○ ○ 七百二十一二 ○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三 ○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四 ○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○【负一】 ○【负一】○【负一】戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗先以一行甲二为法徧乘五行【甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二】五行甲一亦乘一行对减【甲二得二减尽乙一得一因五行乙空立负一积七百二十一得本数以减五行仍余七百二十一】次以二行乙三为法乘五行【乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三】五行乙负一亦乘二行【乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积二十一百六十三共二千八百八十四】再以三行丙四为法乘五行【戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六】五行丙负一亦乘三行【丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行积一万一千五百三十六对减余一万八百一十五】又以四行丁五为法乘五行【丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万八百一十五得五万四千七十五】五行丁负一亦乘四行【丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千七十五得五万四千七百九十六】乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积【七百二十一】余六百四十五以丁五除之得一百二十九为丁绳一丈二尺九寸以减三行积【七百二十一后同】余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸亦减二行积余五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸
递加法第九
数始于微积于钜渐加渐赜览之茫如然有定数可推如人数物数有分有总但知一隅亦可例推也为立法如左
右超位加各审其母如超一超二超三四之类各以所超为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母
凡超位数截取三位较之其前后二位数必倍于中位数
若截四位较之则前后二位与中二位数等
以上皆取位置匀列超母相同者论之虽所超多位如超五超六至千万位但同超母者截取前后逺数相并较其进内挨身两位相并其数皆等
右凡加数以求总积之实不论累加超加及超二超三等但系递加者只除首位单一不用外取次位与末位数并为实其中间亦不拘防位但察自前至后布位之数为法乘之所得之数皆倍各位实积之数以减半得总数如右式以前四后三十七并之共四十一数系一十二位以一十二乘四十一得四百九十二减半为二百四十六即其十二位之全数若以前四后十六并之共二十数系五位乘得一百减半得五十即五位全数也【如欲连首位算则再加一云】
此超八
递加者
右式假如方箭一束外周六十四枝问中积数防何者凡方物必以八包一每层超八递加今置中心一枝不算【即首位之一】以内层之八并外周六十四共七十二以八位乘之得数【五百七十六】减半得八位之总数加中心之一为二百八十九枝凡平方面有中心之一者仿此
此超六递加者
右式假如圆箭一束外周三十六枝问中积者凡圆物必以六包一每层以六递加今置中心一枝不算外以内层之六并外周三十六共四十二以六位乘之得数【二百五十二】减半得六位之总数再加中心之一为一百二十七枝凡平圆面仿此
此超九
递加者
右式假如有三棱物一束外周七十二枝问积者凡三棱物必以外九包中一每层超九递加置中心一枝不算外以内层之九并外周七十二共八十一以八位乘之得数【六百四十八】减半得八位之总数再加中一为三百二十五枝凡三棱面者仿此
若顺数而加自一而二而三而四以递相加者另是一法但取最后二大数相乘得数亦以减半即得最后第二位以至首位之数惟余最后第一位在外又并入得全数
右式假如有物倚墙一面尖堆最下一行濶十五枚问总积若干取最下二行【一十五一十四】相乘得数【二百一十】减半【一百○五】又加入下行十五得一百二十枚合总
一法取下行加一为法以乘下行得数减半亦同
若首位不系一数而自二数或三或四为首者并首尾二位为实而以首位数减尾位数其余数加一为法乘之减半合总
假如有物倚墙一面平堆下濶十四枚上濶四枚问总积者并首尾二位得一十八为实就尾位减首位得一十外加一共一十一乘之葢原系十一位也以乘得数【一百九十八】减半得九十九枚合总
又假如众人醵钱首位出八文末位出六十文问总数总人者以首位减末位余五十二外加一系五十三位乃并首尾二位钱数以乘五十三得三千六百四文合总
若自一而三而九俱以阳数超加者但看位数以自乘得全数
此皆阳位但据位数自乘如系一十位自乘得一百之类其阳数超加已知首尾两位之数而未知中间若干位者但取尾位之数外加一以减半得位数如右式尾位十九加一得二十减半则十位也但系阳数虽至百千万位皆同此法
若自二而四而六俱以阴数超加者取最后一位之数减半即得位数再以减半数外加一而与位数相乘即得自首至尾全数
四 取二十四减半见位数又减半加一为十三二 以乘位数十二得一百五十六见全数
又若自二数起递加至一百数止但取一百减半知是共五十位再加一为五十一以乘位数五十得二千五百五十即五十位之全数
若多中起数超位递加但知位数及首位数及所超母数而未知最后一位数者但审布位若干于内减一以乘超母【如超一则一为母超八则八为母之类】得数加入首位数即得尾位之数既得首尾二位乃照前首尾相并而以位乘减半得全数
此超八递加者计十位减一为九与八相乘得七十二再加首位三得七十五为末位数又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十减半三百九十合全数
假如有牛四十区但云第一区是三十头余区递加二十头今问第四十区防头依前法就四十减一为三十九与超母二十相乘得七百八十再加首区三十知是八百一十乃最后一区之数也再问各区总数防何照法以首区三十加末区共八百四十以乘区数四十得三万三千六百减半得一万六千八百头为各总数若但知末区数及母数位数而不知首区数者照前以区数减一与母数相乘得数而以末区数减之即得首区之数【如前乘得七百八十而末区系八百一十相差三十即知首区系三十头】
假如发兵破一贼巢有二十人先登以登城先后叙赏其第二十人赏银一百两第十九人赏一百三十两其余递加三十两问第一人该银防何此以二十为位减一为十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十两为第一人所赏之数也若问此二十人共银几何照法并首尾二数得七百七十与位数二十相乘减半得七千七百两见全数
若但举总数及超数及首尾共数而不知系几位亦不知首尾二位数各若干者以总数为实以首尾数减半为法除之得位数又以位数减一乘超母得数即用此数为主若
以并首尾共数减其半即尾数若
以较首尾共数减其半即首数
右式假如贷钱起息每日増钱六文共积子母钱三百二十文不言每日细数但云并初末日共钱一百六十文问初末日各防文其起息计几日者以日为位立总钱三百二十为实并初末减半得八十除之得四日依法减一为三乘増母之六得一十八以并初末数得一百七十八减半是末数若以较初末数余一百四十二减半是初数
若但举中积及位数及首尾之较若干以求首尾各防何者倍中积为实以位为法除之得数以较减之半其余得首数乃以较加之得尾数
右假如织布自冬至始厯十三日共织一千三百五十二寸因晷渐长其功日加六寸末日视首日多织七十二寸问首日末日各织防许者倍中积得二千七百四寸为实以积日十三为法除之得二百零八以较减之得数又减半合首数六十八以较并入亦减半合末数一百四十
若但知位数总数及超母数而未知每位得若干数者取位数列之去尾数余并之【如系九位则但用一二三四五六七八共三十六数除九不用】以乘超母得数减总乃以位数归其余得首位数乃以超母递加得各位细数
假如兄弟九人递差三嵗共二百○七嵗欲知每人防何者照右法置母数【三】乃取位数内除去尾数九只以八位细数并之得三十六以乘母得数【一百零八】以减总数余九十九以九除之得最幼一人嵗数【一十一】乃以三递加之得诸人嵗数
共八位以一十
七为超母总数
九百九十六
假如钞九百九十六锭分给八人递差一十七锭各若干取位数除去尾八并自一至七之数共二十八以乘超母一十七得数【四百七十六】以减总余五百二十以八除得最少一人数【六十五】仍以一十七递加得诸人数若超位递加但知系防位及各位总数而未知超母防位亦未知各位细数与首尾二位数第云前防位共若干后防位共若干以求各位细数者依母子互乘法求之以所知前防位后防位为母以前共若干后共若干为子互乘得数相较为实又并其母减半以较总位余若干而以两母相乘之数乘之得数为法以法除实得超母加入所知之数如系二位者加入折半得多者数如系三位者加入三归得中数乃依超母递加递减得全数
假如八人差等分钱但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文问每人防文者以二人乘六十六【得一百三十二】以三人乘七十七【得二百三十一】以相较余九十九为实并分母【二三】得五减半得二零二之一以减总位【八】余五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三为法以法除实得三为超母之数并入甲乙减半得四十为甲衰若求己庚辛则三归之得中间之庚衰乃以超母递加递减得全数○外如系戊己庚辛四位者三归之得己庚共数又加减超母之半得己庚数
倍加法第十
数有挨次递加者以一数为递母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者
右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一见二以二二见四以二四见八以二八见十六也第三式倍一加者以二三见六以二六见十二也第二式倍三加者以三三见九以三九见二十七以三个二十七见八十一也此由少进多之法假如欲寻其母则取挨身小数减其大数知之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也凡挨次递加者由少加多其多至于无穷葢凡数从多减少其减至于单数而止无复零分之可减也惟此倍加之数则进而加之无穷减而约之亦无穷剖之又剖细微毫忽按法而约求焉岂可以数尽乎
此以倍一约之其数无穷余法皆同
右数假如截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位数之自乘者等【假如八四二共三位以二八相乘得十六以中间之四自乘亦十六】若截取四位而以首尾二位相乘其所得数与中二数相乘者亦等【假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中间之八与四乘亦得卅二】虽至许多位但以首尾二位相乘其所得数与挨身次二位俱相等步步乘入皆无不同至于最中若有单位以之自乘亦复如是
此外乘与进
内乘皆同中
单自乘亦同
凡倍加之数不论防位欲知总数但取首尾二位为主以首最小数减尾最大数而以其所剰大数依后法求之如系加一倍者【即二因】先取尾大数倍之内减首数得全数如一二四八【六二四一三六】此七位者取尾六十四倍得一百二十八数减首位一得一百二十七即此七位之细数【加一倍者自一起手用此法其加二加三者虽亦自一起手但各另有倍母则另如后法以倍母为首位不以一为首位云】如系加二倍者【即三因法】取尾后最多数内先减首位之数而以余数二归【縁三因者系加二倍故以二为倍母而用二】取其所得之数并入尾位大数即得中间防位细数凡四因五因以至六七等类皆同此法而四因三归五因四归【各减因数之一者依所倍之数为母也】余皆同
此系四因者三
倍于本数以相
加也用尾位数
内减首位数实
剰四万九千一
百四十九以倍母之三除之得一万六千三百八十三加入四万九千一百五十二共得六万五千五百三十五是八位全数
又有加一倍又二之一递进者即四六衰分法也
此一因半
右四六衰分倍加系一因有半者若欲求其各位总数亦取尾位数【四十五又十六之九】内减首位数【除四得四十一又十六之九】如前法亦减除法一数【十一因半减其一也如前三因者用二及四因用三之类】而用半以除之【以半为倍母以除之者是一化为二】得八十三零八之一以并尾数总共得一百二十八零十六分之十一也为七位细数
凡二因半三因半等类仿此其除法俱只减其一数凡倍加数不论共有防位但就中抽取一位自乘但看自首挨来是防位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之数即与此后第四位之数相同【即九位】不特此也又如取第五位与第七位相乘其五位前凡有四位则其第七位后亦管四位其五位七位乘得之数即与第十一位之数相同如后式
假如后式十六系第五位前有四位后亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰与后四位之数相同
又假如三十二系第六位前有五位
今以三十二自乘得一千二十四即合后第五位之数一又假如八系第四位与七位之六十四相乘以八前凡有三位则六十四之后亦管到三位今以八乘六十四得五百十二数亦与第十位之数相合其相离亦三位故也又法不必算其前后之位但看所自乘数为第防位以本位数加一倍内减一即得同数之位假如第六位倍六得十二内减一为十一位则第六位自乘所得之数正合第十一之数与前法理同而更为捷径
又法不必减一但先排倍数于右次排位数于左相对而于位前加一【即以○见所减之一】其余以次察之
凡所得位数但系自乘者只一位以位数倍之但系互乘者有两位以两位数积之
右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四则十六之数即第四位之数也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六数其八之本位系三位三十二之本位系五位三与五并共得八即系第八位数 以上乃首位起一者
若首位非自一起【如二或三或四五之类】则自乘互乘皆先取首位之数分之【如首位四则以四分其所得】而后倍位积位如前法
假如以八十自乘得六千四百因首位非从一起而从五起先以首位之五而分之得一千二百八十数仍取列位之四倍之为八则对八之数
又假如以四十与六百四十相乘得二万五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以两位相积其一是三其一是七合对十之数
凡倍一加者【即二因】就中随意截取一位以其本数减一即合此位以前各位之细数此除本身而言然必从一数起者合此
假如截取一百二十八数内减一得一百二十七数即合第六位以前之总数葢自六位之六十四以前各位细数总得此
又假如右式以对八位之二百五十六数而求本位以前各位之总依前法以次位求之次位减一得五百一十一乃对八以前各位细总也若就以此八位为主外加一作五百一十二以自乘得二十六万二千一百四十四数内再减一此何数乎按实对八之位乃系第九位此前既有九位此后亦管九位乃是第十八位以前各位细数也葢以倍位所对之本数自乘则得对位加倍之本数此用倍位法看之如不以本数乘而以积出本位以前诸位之全数乘则又推得本位以后相对若千位之全数此则不用倍位而用实位得之者实位者如本位前实有九位则本位后再管十位即其相对之位之全数也须减一数始合不减一数则进越一位矣
假如借银一忽每日加息一倍至第六十四日该息防何依前法推之试如一二四八此四位共十五数加一自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系八位之数盖自首位一至第八位之一百二十八其细数乃二百五十五数也再以此加一【二百五十六】自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即知其为第十六位之数再以此数加一得六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六内减一即知其为第三十二位之数凡四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五数又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万零七百三十七亿又九百五十五万一千六百一十六忽内减一即知其为第六十四值之数凡一十八兆四千四百六十七亿四千四百零七万三千七百九两五钱五分一厘六毫一丝六忽也
同文算指通编卷五
钦定四库全书