明 李之藻 撰
带纵诸变开平方第十五
开方带纵其变无穷更绎其要有十一种余可神而明之若积与二濶较及长濶较求濶用带纵减积开平方假如三广田积二千四百六十五步第云中广不及南广八步亦不及北广三十六步又不及正长六十七步
问广并长各几何列积为实
并不及二广【共四十四】以四而一
得一十一为纵方以不及正
长【六十七】为减积初商一纪右
【即一十】以并带纵共二十一列
注首点下为方法以乗减积得一千四百七先以减积所乗呼商一七除七尾位伍变八 进位陆变五 一四除四 进位肆变○一一除一首位贰变一 次以
所注方法呼商一二除二
二上○变八进削一 一
一除一 一上五变四余
实八四八乃倍方一作二
为廉法【即二十】并减积【六十七】
又并带纵【一十一】共九十八为方法注退位续商八纪右以并方法得一百六呼除一八除八 一上削八 六八四十八恰尽得中广一十八步各加不及得南广二十六步北广五十四步正长八十五步
右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以积求长广者俱以此法求之
凡大小二方和积求径者用减积带纵负隅并纵开平方
假如大小方田二段共积七千五百九十二步大方面较小方面多二十八步求大小方面各几何用较自乗【得七百八十四】以减积余六千八百零八为实倍较【二十八】得五
十六为带纵叧置二为负隅初
商四【即四十】乗负隅【二】得八十并
纵方共一百三十六为方法注
积下以呼所商一四除四 一
上陆变二 三四一十二 三
上捌变六进位二变一 四六二十四 六上○变六进位六变三余实一三六八次倍商得八并初方【一百三十六】共二百一十六为廉法注退位续商六纪右亦乗负隅得一十二为隅法并入廉法共二百二十八与次商呼除尽得小方面四十六步加较得大方面七十四步又假如大小方田三段共积四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面几何以大方面较小面数【三十】自乗得【九百】以中方面较小面数【十二】自乗得【一百四十四】相并共一千四十四以减共积余三千七百四十四为实并二较倍之得八十四为纵方以三为负隅初商二纪右【即二十】以乗负隅【三】得六
十并纵方共一百四十四为
方法列首位以呼所商二四
除八 四上肆变六 二四
除八 四上防变八进位叄
变二 一二除二 一上削
二余实八百六十四倍方法【六十】作一百二十为廉法以并纵方【八四】得二百四注退位为方法次商四纪右以乗负隅【三】得一十二为隅法并方法共二百一十六与次商呼除二四除八 二上削八 一四除四 一上六变二 四六二十四恰尽得小方面二十四步以较加之得中方面三十六步大方面五十四步
凡方田圆田径相似以其共积求相似之径几何者用隅算开平方凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算用四乗原积开方
假如方圆田共积二千二百六十八步只云方面圆径相等求方面圆径者四乗原积得九千七十二步为实叧列七为隅算初商三纪右【即三十】乗隅【七】共二百一十为方法与商相呼二三除六 二上玖变三一三除三一上○变七进位三变二余实二七七二乃倍三十作
六十为廉法注退位次商六以乗
隅【七】得四十二为隅法又以乗廉
六十得三百六十并共四百○二
仍并入廉法共四六二与商相呼
恰尽得方面圆径俱三十六步
又法四乗原积得九千○七十二步并方四圜三得七为法除之得一千二百九十六为实乃以开平方法求得方面圜径三十六步更简易
凡匿其原积只云一长二濶三和四较更以长乗之共数若干其长濶之较若干以求其长几何者用益积以补濶则有带纵隅益积开平方
假如田不知积但以长乗一长二濶三和四较共得四万四千九百二十八步其长濶之较二十四步求长者列实叧置较为益纵约三和得三长三濶并一长二濶得四长五濶又并四较入濶为长得八长一濶共九段
以九为隅算初商
七十乗隅算【九】得
六百三十为隅法
又以初商【七】乗益
纵【二十四】得一千六
百八十注原积之
下以益原积 八上贰变○进加一六上玖并一变六进加一 一上肆并一变六共四万六千六百○八却以隅法【六百三十】注退位与商相呼六七四十二六上六变四进削四 三七二十一 三上六变五进位四变二余实二五○八乃倍隅法【六百三十】得一千二百六十为方法注退位以商余实得二纪右又乗隅算【九】得一十八为隅法另以所商二乗益纵【二十四】得四十八并入余实八上八变六 四上○变五共得二五五六却以方
隅二法并共一千二百七十八皆与所商【二】呼除恰尽得长七十二步
又同前田不知实用长数乗一长二濶三和四较共若干及其较若干以求长者或损长以就之用带纵负隅减纵开平方
假如一长二濶三和四较以长乗之得四万七千二百一十二其较二十八步而不知其积求其长列长乗之积为实较为纵方仍前法推得【九】为负隅初商七十纪
右乗负隅得六百三十为
方法内减纵法【二十八】剰六
百二退位注实下以呼所
商六七四十二六上防变
五进削肆 二七一十四
二上壹变七进位贰变
○余实五○七二次倍方法得【一千二百六十】内减纵法【二十八】得一千二百三十二为廉法列余实之下约实续商得四纪右乗负隅得三十六为隅法并廉法共一二六八改注尾位与续商相呼恰尽得长七十四步
又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方
假如设为一长二濶三和四较以濶数乗之得二万九千九百五十二其较二十四问长几何置较自乗【五百七十六】以减原积余二万九千三百七十六为实【以较自乗减其原积故曰减积】较为益纵六为隅算初商七十纪右乗隅【六】得四
百二十为隅法注实下
又以商【七十】乗益纵【二十四】得一千六百八十以益
原积尾次七变五进位
叄变○ 又进玖变一
又进贰变三得三一
○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八 四上一变三进削三 二七一十四 二上○变六 进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商【二】以乗隅【六】得一十二为隅法另以所商【二】乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步
亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者
假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅【共得九长】初商七纪右【即七十】以乗负隅得
六百三十为方法
内减纵方【二八】得六
百二注实下又以
乗纵方得一万六
千八百五十六以
益实六上捌变四
五上肆变○ 八上叄变二 六上玖变六 一上
贰变四乃以所商【七】呼除所注之下法【六百二】二上○变六进位二变○ 六上六变四进削四余实四○六四次倍方法【一千二百六十】减纵方得一千二百三十二为廉法次商四纪右以乗负隅【九】得三十六为隅法以乗纵方得一千零八为益实并入余积八上四变二进位六变七 一上四变五以廉【一千二百三十二】隅【三十六】相并【一千二百六十八】呼商恰尽得长七十四步
右法以濶求长积欠一较故乗较为益实以补其缺
亦有同前不知积而以濶乗长濶和较共数及较求濶者用带纵廉开平方
假如直田不云积步只云一长二濶三和四较以濶乗得二万九千九百五十二步濶不及长二十四步求濶者置乗积为实减较之半【一十二】为纵廉而以初商乗之初商四【即四十】纪右为方法以乗纵廉得四十八即与商相并共五十二注实下照式退位以呼初商【四】五四二
十进削贰 二四除八 二上玖变
一余实九一五二次倍所乗纵廉得
【九十六】及方法【八】共一百四进位得一
千四十为方法再置纵方一十二为
廉以相并共一千五十二商实得八
纪右亦注尾位为隅以乗纵方得九
十六并方廉隅共一千一百四十四注实下以呼次商恰尽得濶四十八步
又有同前匿积和较又以濶乗长濶和较共数求濶用带纵廉负隅开平方者
假如田不知积只云一长二濶三和四较以濶乗之共二万九千三百四十八其较二十八以求濶者置濶乗数为实推得共八较九濶用九为负隅以较八乗得二百二十四为纵廉以初商乗负隅为方法初商四【即四十】纪右乗隅得三百六十并纵廉共五百八十四注实下呼商五四除二十进削贰 四八三十二八上叄变一
进位玖变六 四四一十
六 四上肆变八进位一
变九 进位六变五余积
五九八八次倍方法得七
百二十为廉法并纵廉九
百四十四为实续商六纪
右以乗负隅【九】得五十四为隅法并廉法纵廉共九百九十八注实下呼商恰尽得濶四十六步
若同前不知积步第置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵方廉开平方
假如一长二濶三和四较以长乗之得四万四千九百二十八步较二十四步求其濶若干列实以较为纵方推得八长一濶共九段倍之得一十八为纵廉以乗初商而并计之又兼纵方乃以呼商除之初商四纪右【即四十】为方法乗纵廉【一十八】得七百二十并入方法【四十】共七百六十又并纵方【二十四】共七百八十四以呼商四七二
十八 七上肆变六进位
肆变一 四八三十二
八上玖变七进位六变三
四四一十六 四上贰
变六进位七变五余实一
三五六八乃倍四得八为
方法倍纵廉得一千五百二十并入纵方【二十四】共一千五百四十四为廉法以商余实得八纪右以乗纵廉【一十八】得一百四十四为隅法乃并方入廉【一千五百四十四】隅【一百四十四】三法共一千六百九十六注实下呼商恰尽得濶四十八步
又同前不知积及置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵廉负隅乗纵减实开平方者
假如一长二濶三和四较长乗得四万七千二百一十二步濶不及长二十八步求濶几何列实推得八长用八乗较得二百二十四为纵廉推得九段用九为负隅又以较为减纵方初商四【即四十】纪右以乗负隅得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法乗减纵
得一万六千三百五
十二为减实注实下
变为三○八六○乃
以初商四呼下法照
常注退位五四得二
十进位三变一 四
八三十二 八上八变六进位○变七进削一 四四一十六 四上六变○进位六变五余实七千五百乃倍方法得【七百二十】并纵廉【二百二十四】共九百四十四为廉法约商得六纪右以乗负隅得五十四为隅法即以隅法乗减纵得一千五百一十二以减实余五九八八以廉隅二法相并得【九百九十八】与次商相乗开之恰尽得濶四十六
开立方法第十六
凡数自乗平列一面为平方更以原数再乗则四面皆方中积充实为立方矣凡立方点段俱隔二超三而首段寻其原数以自乗再乗如适合见数者即为方法开讫如少于见数则挨身减数寻原而以其再乗所得列首段下除之以为方法【若再乗之数反浮见数即非其原】余实三倍其方为廉叧置而以方法进一十【如系一则作一十系二则作二十之类】与相乗得数以较余实约得几何分之几何假如已得二之一者即以二为次商亦以乗廉法得数若干以并前所乗数共若干而以次商数总乗之即得三面之廉复以次商数自乗再乗为隅法并入开尽有不尽者以法命之
依法分为四段先开首位之捌寻原系二乃以二自乗再乗得八恰尽 抹捌右纪二 次开叄陆伍除点上之伍未用且作【六三】开之乃三倍其二为六另置于方法之上试加一为【一二】以六乗之得一百二十六以除原积叄陆其数反浮乃只作○纪格右为【○二】
次求第三位更三倍其【○二】为【○六】置于方法【○二】之上随意加一位且如只加○为 以与【○六】相乗得一万二千以视原积叄陆伍肆贰约得三之一乃商三纪格右为 以乗【○六】得一百八十并前【一万二千】共得一万二千一百八十又以三乗之
得三万六千五百四十又以三自乗再乗得【二十七】为隅法并入恰尽 凡隅法皆以尾位挨本位所点之下尚余尾段三个○再加一○于格右
假如列实一千七百二十八
首位一自乗再乗只得一以一为方法纪右抹壹次倍一为三作廉法另置乃以方法加○为【○一】以乗廉法三得【○三】约得原积【二十七】内二之一矣乃改○作二为次商纪格右以乗廉法三得六并【○三】共得三十六而以次商之【二】乗之得七十二又以二自乗再乗得八为隅法并入是为七百二十八开尽
假如列实三万二千七百六十八数
首位寻原系三以三为方法自乗再乗得【七二】二变五抹叄次倍三作九为廉法加○于方法之右为【○三】以乗九得二百七十以视余实【五千七百六十】为二之一乃商二纪二于三右以二乗九得一十八并前乗共得二百八十八以二总乗得五百七十六符三廉之数又以二自乗再乗得八为隅法并入尽
若次商以方法进位乗廉法而乗得之数适符余实或于余实相近不足二之一及三之一以上者只以一为次商之数
假如列实九千二百六十一数
先开首位玖寻原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖变一以二为方法纪右次倍二得六为廉法另置次以二为【○二】与相乗得一百二十适近本积只以一为次商数以乗所置六仍得六并前乗共得一百二十六又以一自乗再乗为隅依法并入是为一千二百六十一恰尽
广诸乗方法第十七
凡积数若干以平面开之适得自乗之数者为开平方其立方乃开平再乗积也【四面皆方中积满布】三乗方长立方也【如以二自乗起者得两立方以三自乗起者得三立方之类但以平面一边之数为准】四乗方平面立方也【如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方又如长立方系九方数则进作八十一立方之类仿此以至无穷俱系平面】五乗方大立方也【如系二自乗起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乗起者有二十五立方则进并一百二十五方为大方之类】自此推之六乗方视三乗形七乗方视四乗形八乗方视五乗形余乗仿此可至无穷旧法繁碎且仅止于五乗此立捷法由平面至诸乗总一机轴先以诸乗原委布为一图乗母为原乗出之子为开
凡开方列位以点分段者
平方每二位点作一段再
乗方每三位一段三乗方
每四位一段仿此推之至
九乗方则十位一段矣皆
自尾小数起而先以最大
数之首段检上图以寻其
原即以原数开之假如平
方开者检知首段数四十
九即知七是原数用七自
乗可开若首段数系六十
四者即知八是原数用八
自乗可开若系六十三者
不及六十四尚以七数开
之余积另求再乗三乗以
上皆同此法假如再乗首
段系二十七检知其原系
三即以三开之若是六十
三以下亦以三开又假如
七乗方首段系二五六原
数是二以二开之若原数
是六五六不及三数之六
五六一仍以二开之也上
图系乗出之数已得乗出
之数开方之时第以此数
注首段下以除为开
右法已得首位方法余实倍方为廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为【○二】再乗立方有二率为 【○三】三乗方有三率为四十为六百为四千自此以上诸乗仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乗之以乗出之数较余实约得几何母之几何而即以其母为廉法
此图以首行所列
之二为平方三为
立方四为三乗至
十七则十六乗方
也余乗仿此首行
顺列其第二行数
悉承首行上格二
数积之如【三三】为六
【四六】为【○一】之类数穷
则挨加一数如第
二行第五格为【○一】
其第三行第五格
亦为【○一】是也
右格内数以检各乗合用通率而各视其乗法多寡于本位叠加虚○凡平方一乗者用一率为二以加○为【○二】以与方法相乗其立方再乗者用两率为三三而左小数加一○为【○三】右大数加两○为 而以 乗方法若三乗方者则用三率为四六四于末位之四加一○为【○四】进位之六加二○为 首位之四加三○为四千亦以大数乗方法右图只具四六两位而乗法却宜三位则回用右方之四以足三率若并位之数相重如四乗方之连用【○○一一】者回转减其重数竟以首位之五用之末位为五【○○一一】五照前依位增○其数则为五十为一千为一万为五万而以五万乗方法也至六乗方八乗方以上皆然
一乗开平方
假如列实六百七十六万五千二百○一以平方开之初商得二为方法以求廉法立【○二】为通率列中位亦列方法于左位以相乗得【○四】以较余实【七二】约得六之一乃立六为廉法列于右位以自乗得【六三】为隅法附列乃以廉数【六】乗四十得二百四十以并自乗之三十六共二百七十六尽第二段余实五二○一另置通
率并廉入方为【六二】置左位以乗【○二】得数五百二十以较余实得一又以一为廉法置右位自乗仍得一为隅法并入恰尽
若已得廉法而以乗通率反浮余实或廉法相合而隅法又浮余实者皆减其廉法以乗之假如列实二百八十九初商一除实一百余实一百八十九次商以方法乗通率只系【○二】以较余积可用九除实一百八十而乗出隅法八十一则浮原积又试用八除实一百六十而乗出隅法六十四亦浮原积惟再减用七为廉法乗得一十四以除余积尚余四十九而以廉法自乗得四十九为余法并入恰尽凡诸乗所用廉法有浮原积者皆照递减求之
再乗开立方
假如列实二十三万八千三百二十八以立方开之寻原以六为母以六自乗再乗得二一六除积 六上捌变二一上叄变二 进抹贰以六为方法以求廉法凡立方皆用二数为通率为三十为三百自下而上叠位而以方法【六】对【○三】以方法自乗得【六三】对□各列于左
初乗乃以【六三】乗□得一万八百以
视余积约得二之一乃立二为廉
法以对□复以廉法【二】自乗得【四】以对□各列于右又以【二】乗【四】得
【八】为隅法附列于下乃以廉二乗
一万八百得二万一千六百
再乗以六对【○三】乗之得一百八十
又以四乗得七百二十以上二次
乗出数并之得二万二千三百二
十加入隅法之八恰尽
凡方法之乗皆在通率位左以方法数对尾位其乗数自下而上凡廉法之乗皆在通率位右以廉法数对首位其乗数自上而下四乗五乗以上皆仿此
右再乗方法若以还原则以二十六自乗再乗
若初商方法只系一数者通率无乗须并诸率位除之一而净即以一为廉法假如列实一千三百三十一以再乗立方开之初商以一为方法除净首位【一千】次并中位两通率一除可净以一为廉法对通率三百次以自乗仍得一对次通率三十又以再乗亦得一为隅法系其下而以隅法之一并入三千三百恰尽
右式可例其余凡以一为方法者不论几乗方皆以诸位通率并求
三乗方
假如列实一千四百七十七万六千三百三十六以三乗方开之寻原以六为母自乗再乗得一二九六除积 六上防变一 九上防变捌 二上肆变一 一上削壹次以六为初商方法以求廉法凡三乗皆叠用通率三位为
四十为六百为四千先列通率于中位
乃列方法于左尾位自乗【六三】再乗二一
六自下而上对列初乗以二百一十六乗四千得数八十六万四千较原积约二之一以二为廉法列右首位自乗【四】再乗八三乗【六一】聨列乃以【二】乗八十六万四千得数一百七十二万八千再乗以【六三】乗□得数二万一千六百又以右【四】乗之得数八万六千四百三乗以【六】乗【○四】得数二百四十以右八乗之得数一千九百二十乃合三乗数积之并入隅法【六一】共得一百八十一万六千三百三十六恰尽
右三乗方法若以还原则以六十二之数自乗再乗三乗 一法以开平方法所得数更以平方开之
四乗方
假如列实九亿一千六百一十三万二千八百三十二数以四乗方开之寻原六为初商除积七亿七千七百六十万余实一亿三千八百五十三万二千八百三十二以求廉法凡四乗方通率叠用四位为五十为一千为一万为五万中列自下而上而以方法【六】对尾位【○五】列之又自乗再乗三乗四乗亦自下而上对列于左
初乗首位左乗得六千四百八十万
以较余实约得二之一以二为廉法
对首位五万列之亦自乗再乗三乗
自上而下对列又四乗得【二三】为隅法
系于其下而以首位二数乗左乗所
得之数计得一亿二千九百六十万
次乗次位左乗得二百一十六万而
以右【四】乗之得八百六十四万
三乗第三位左乗得三万六千而以
右【八】乗之得二十八万八千
四乗尾位左乗得三百而以右【六一】乗
之得四千八百以上四乗之积并入
右廉四乗所得隅法三十二恰尽
右四乗方若以还原则以六十二数自乗再乗以至四乗
五乗方
假如列实五百六十八亿○○二十三万五千五百八十
四数以五乗方开之寻原六为
初商除积四百六十六亿五千
六百万余积一百一亿四千四
百二十三万五千五百八十四
数以求廉法凡五乗方皆叠用
通率五位为六十为一千五百
为二万为一十五万为六十万
中列自下而上而以方法六对
尾位【○六】列之又自乗再乗三乗
四乗自下而上皆列于左位
初乗首位左乗得四十六亿六
千五百六十万以较余实约得
二之一以二为廉法对首位六
十万列之亦自乗再乗三乗四
乗自上而下对列于右又【五】乗
得【四六】为隅法系下而以首位【二】数乗左乗所得之数共得九十
三亿三千一百二十万
次乗次位左乗得数一亿九千
四百四十万而以右【四】乗之得
七亿七千七百六十万
三乗三位左乗得四百三十二
万而以右【八】乗之得三千四百
五十六万
四乗四位左乗得五万四千而
以右【六一】乗之得八十六万四千
五乗五位左乗得三百六十以
右【二三】乗之得一万一千五百二
十并上五乗积又并右廉所乗
隅法六十四恰尽
右五乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至五乗
六乗方
假如列实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八以六乗方开之寻原六为初商除实二万七千九百九十三亿六千万余实七千二百二十二
亿五千四百六十万六
千二百○八数以求廉
法凡六乗方通率叠用
六位为七十为二千一
百为三万五千为三十
五万为二百一十万为
七百万中列而以方法
【六】对尾位【○七】列之又自
乗再乗三乗四乗五乗
自下而上皆列其左
初乗首位左位得数三
千二百六十五亿九千
二百万以较余积约得
二之一以二为廉法对
首位七百万列之亦自
乗再乗三乗四乗五乗
对列于右又以六乗得
一二八为隅法系下而
以首位【二】数乗左乗所
得之数共得六千五百
三十一亿八千四百万
次乗次位左乗得一百
六十三亿二千九百六十
万以右【四】乗之得六百五
十三亿一千八百四十万
三乗三位左乗得四亿五
千三百六十万以右【八】乗
之得三十六亿二千八百
八十万
四乗四位左乗得七百五
十六万以右【六一】乗之得一
亿二千○九十六万
五乗五位左乗得七万五
千六百以右【二三】乗之得二
百四十一万九千二百
六乗六位左乗得四百二
十以右【四六】乗之得二十六
万八千八百并上六乗之
积又并隅法一百二十八
恰尽
右六乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至六乗
七乗方
假如列实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一数以七乗方开之首位四其原一以一为方法余实三兆五千九百四十九万七千二百九十八亿共求一廉法因方法一数无乗当并下位以较余实而惟首次两数同位为大
数其余小数不足为多寡
且从省只并首次两位开
之【若不相并者以首率八千万较余实试用四为
廉法乗之似可除然次率八乗即浮原数矣试减用
三亦浮原数见后注】此二数并得一
亿○八百万以较余实约
可用三数然缘次乗之六
以乗中列之第二位其数
反浮【初以三乗中首位固可除至次乗六以乗
次位得一亿六千八百万并初乗共四亿有奇反浮
余实】当减用二为廉法自乗
再乗至七乗依式列右凡
乗数多于原数者减法仿
此
初乗以廉二乗八千万得
一亿六千万
再乗以廉再乗数【四】乗二
千八百万得一亿一千二
百万
三乗以廉三乗数【八】乗五
百六十万得四千四百八
十万
四乗以廉四乗数【六一】乗七
十万得一千一百二十万
五乗以廉五乗数【二三】乗五
万六千得一百七十九万
二千
六乗以廉六乗数【四六】乗二
千八百得一十七万九千
二百
七乗以廉七乗数 乗八
十得一万○三百六十八
右并前七乗之积共得三亿二千九百九十八万一千四百四十并入隅法二百五十六以除余积尚剰二千九百五十一万五千六百二亿六千三百五十七万二千一百六十一数再商自首至尾共以一段开之
乃并廉法入方法共一十二为三商之数以对尾位【○八】列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上对列
一 初乗首位左乗得二千八
百六十六万五千四百四
十六亿四千万以较余积
只可一乃以一为廉法乗
无可乗故自乗至七乗皆
只一照式列右其对中末
位之下仍系一为隅法
再乗次位左乗得八十三
万六千○七十五亿五千
二百万
三乗三位左乗得一万三
千九百三十四亿五千九
百二十万
四乗四位左乗得一百四
十五亿一千五百二十万
五乗五位左乗得九千六
百七十六万八千
六乗六位左乗得四十万
三千二百
七乗尾位左乗得九百六
十并七乗之积増入隅法
之一恰尽
右七乗开方若欲还原则以一百二十一数自乗再乗以至七乗
以上开方则例共七乗衍至十乗百乗亦复如是妙在寻原变在通率熟玩自得难以备述
若夫寻原之法固与还原不同还原者依本乗之数以还实积耳寻原者用前列乗图以寻下手方法凡寻原惟平方最易以每段只二位也次则立方亦易以每段只三位也三乗则四位为一段寻原难矣自是而上位置愈多寻原愈难矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法开之得数又以平方法开之得数即原矣若五乗方者先以平方开之得数乃以立方开之或先以立方开之得数乃以平方开之即原矣若六乗方者作四乗方开二次即得其原若七乗方者作开平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方开一次又以四乗方开之或先以四乗方开一次又以平方开之即得其原若十乗方者作四乗开方三次亦得其原错综变化总由自然进退开阖具有定法孰谓开方诸乗迂逺难冀者乎神而明之从积正负带减加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思过半也奇零诸乗开方法第十八
凡开方诸法不惟全数可开即奇零之数亦各有法大都皆以寻原为第一义有母数子数俱有原数可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二为原以三自乗得九再乗得【七二】以二自乗得四再乗得八也又如三乗方【一八】之【六】以三之二为原谓三再乗得【七二】三乗得【一八】谓二再乗得八三乗得【六一】也如五乗方者 之【四六】以三之二为原谓三数以五乗则得 二数以五乗则得【四六】也有二数并列于母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乘法两母乗得三十六两子乗得一十六是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四以四九三十六与夫四四一十六用四为钮数者也有以全数带奇数而亦有原可寻者如有全数二又【七二】之【○一】依化法乃为【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四以三再乗为【七二】四再乗为【四六】归其整数即一零三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开寻原之术数之多者约之以至于寡如【五四】之【○二】必约之为九之四其开平方之原即三之二也如【一八】之【四二】必约之为【七二】之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六无原不可开矣又如【○二】之【一二】者命分数与得分数俱无原不可开矣然则终不可开乎又非也数穷则变变则通虽无原有数之最相近者可借之以为原吾以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥密其原亦弥近也弥近之数或稍多干所求或稍约于所求然而皆可以为原者也
假如以五数为开平方是为无原而任借【○一】为 之原以自乗得一百以五乗得 虽【○一】不为 之原乃其原之最近者有两数其一为 以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四】此近而朒者其一为 以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九】此近而盈者何也试以所借【○一】为命分之母以【二二】为得分之子以【○一】之【二二】自乗【此 整二零 之二】得 之 内除四百为四整数而【四八】为 之【四八】夫四零 之【四八】以视二零【○一】之二犹五百与【二二】之比例也试以所借【○一】为母以【三二】为子以【○一】之【三二】自乗【此系整二零二之三】得 之 内除五百为五整数而【九二】为 之【九二】夫五零 之【九二】以视二零【三二】犹五百与【三二】之比例也故【○一】可以为五借也
假如以九数为开立方亦为无原而任借【○一】为 之原【以自乗再乗故】以九乗得 虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为 以【○二】为原【自乗再乗】此近而朒者一为九二六一以【一二】为原【自乗再乗】此近而盈者则何也试以【○一】为母【○一】之【○二】系整二数以自乗再乗即得【○一】之八试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零【○一】之一以自乗再乗即得九零 之 也【母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十并入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千归元得整九余为一千之二六一】故【○一】可以为九借也
假如列实【○四】以四乗方开之为无原任借一数为【○一】以自乗至四乗得一十万以【○一】乗之得四百万用前法推衍其原之近者有两数其一为【○二】其一为【一二】何也以【○一】为【○二】之母此【○一】之【○二】系整二数以二自乗再乗三乗四乗为【○一】之【二三】以视【○四】其近而朒者以【○一】为【一二】之母此【○一】之【一二】系整二数零【○一】之一以二零【○一】之一自乗再乗【化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乗得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还元得整四十数其零为八四二○一】以视四十其近而盈者故【○一】可以为【○四】借也以上三论姑借【○一】见例若进至百千万数其数弥多其析愈精则原愈近矣
同文算指通编卷八