高二那年秋天，某天放学后，我在图书室教泰朵拉数学，是很简单的公式展开。
我将 展开成 给她看后，跟她说只要记住“两数之和与两数之差的积是这两个数平方的差”即可。她说：“我明白了。听了学长所说的，我觉得自己将以前支离破碎的知识点归纳到了一起。”
这时米尔嘉来了。她径直走向我们，猛地朝泰朵拉的椅子踢了一脚。“哐”的一声响得可怕，图书室里的学生都不约而同地看向我们这里。泰朵拉吓得从位子上跳了起来，狠狠地瞪了米尔嘉一眼便走出了图书室。我杵在那里，什么话也说不出来，只能目送着泰朵拉离开。
米尔嘉像什么事情都没有发生过似的把椅子摆好，然后若无其事地坐下看我的练习本，再后来便是气呼呼地拉我的袖子。她等我坐下后问：“这是公式的展开？”
我回答说，因为学妹问我题目所以刚才教了她。
“这样啊。”米尔嘉说着，拿过我手中的自动铅笔，开始转起笔来。随后她说，“喂，我们一起来找规律吧。”
4.1.1 找规律
喂，我们一起来找规律吧。从 的展开式出发，这正好是 的特殊情况。
接着，我们用 代替式子 中的 (1 + x)。
规律很明显吧。式子只剩最左端和最右端的部分，推导过程中正负项相互 抵消。如果用竖式计算，规律更是显而易见。比如说将 写成以下形式。你很快就能发现最后只剩下两端的数字。
令 n 是 0 以上的整数，我们来写出一般形式。
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……原来如此，我想，但是这也没什么特别好玩的。这是常见的展开式的一般化。先暂且不想这些，不知道刚才被米尔嘉踢飞椅子的泰朵拉现在怎样了。
“到此为止都是很常见的式子吧。”米尔嘉又开始往下说。
4.1.2 等比数列的和
到此为止都是很常见的式子吧。接下去说什么好呢？——再写一下刚才的式子吧。
这里如果两边同时除以 1 - x，为了不使分母为 0，我们假设 1 - x 不等于 0。
到现在为止算的都是类似“求积公式”的式子，现在这个式子看上去像“求和公式”。其实，这个是等比数列的求和公式。确切地说，这是首项为 1、公比为 x 的等比数列。也就是说，求 这个数列从首项第 0 项到第 n 项的和。
那么，接下来要说什么呢？
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我对米尔嘉说：“接下来说说等比数列的无穷级数是很自然的吧。”我们不该在计算到第 n 项的有限和时就停下，而是应该求无限和。
米尔嘉微笑着回答说：“是啊。”
4.1.3 向无穷级数进军
对，我们该考虑无穷级数。
我们先将无穷级数定义为 ，是等比数列的部分和的极限。
x 的绝对值比 1 小时，也就是说 |x| < 1 时，如果 n 趋向于无穷大的话，那么 趋向于 0，以下式子也就成立了。
这样就能求出无穷级数了。|x| < 1 这个条件是 n 趋向于无穷大时， 趋向于 0 的必要条件。
等比数列的无穷级数（等比级数公式）
假设首项第 0 项为 1，公比为 x，|x| < 1。
喂，你不觉得很有趣吗？左边是无限延续的数列的和，有无限个项，不可能把每一项都明确地写出来；而右边则只有一个分数。只用一个分数来表示无限个项的和，这种浓缩的表达方式真好。
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窗外，天已经黑了。图书室里也只剩下我和米尔嘉了。米尔嘉似乎精神特别好，还没等我回应就直接说：“我们再接着讨论一下生成函数。”
4.1.4 向生成函数进军
我们再接着讨论一下生成函数。
从这里开始我们不讨论无限接近于某个数值的情况。首先，让我们把刚才讨论的等比数列的无穷级数想象成关于 x 的函数。
现在，为了让大家能够好好观察这个函数中 x 的 n 次方前面的系数，我们将这些系数明确地写出来。
就像这样，各系数形成了 的无穷数列。于是，我们可以想到以下的对应情况。
也就是说，可将 这一数列和函数 一视同仁。因为 ，所以也可以改写成以下形式。
这样的数列和函数的对应关系可以变形为以下这种一般形式。
像这样与数列相对应的函数叫作生成函数。这是将原先七零八落的无数个项用一个函数归纳出来的式子。我们将生成函数定义为 x 的幂的无限和，也就是幂级数。
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突然米尔嘉停下不说话了。她沉默着，闭上眼，眉毛紧锁，慢慢地吸气呼气，好像在深思着什么。
我怕打扰米尔嘉，在一旁静静地看着她，她那漂亮的唇形，和数列相对应的函数，金边眼镜，等比数列的无穷级数……还有生成函数。
正看着，米尔嘉睁开了眼睛。
“刚才我们考虑了与数列相对应的生成函数对吧？”米尔嘉温柔地问，“如果要求生成函数的有限项代数式的话，那么这个有限项代数式也和数列一一对应。”
“然后，我简单想了下……”米尔嘉说着声音便渐渐小了下来。她好像不想让别人听见似的，把头凑过来，就好像要告诉我一个宝藏所藏的地方那样神秘。我又闻到那股淡淡的橘子香。
“接下来，我们就在这两个王国里漫步吧。”米尔嘉小声嘀咕着。
我竖起耳朵仔细倾听那秘密的话语，生怕自己漏听一句。两个王国？
“我想彻底掌握数列。但是直接抓住其要害实在太难了。这时，应该先暂且从‘数列王国’过渡到‘生成函数王国’。然后再穿过‘生成函数王国’回到‘数列王国’。这样的话，就能抓住解数列题的关键了吧。”她说。
“放学时间到了！”
米尔嘉正说着，突然一个人大声说道，把我们都吓了一跳。正沉浸在讨论中的我们一点都没有察觉到图书管理员就站在我们身后。
数列和生成函数的对应