9.1.1 两张卡片
“学长，有信件！有信件！”
总是精力旺盛的泰朵拉跑过来，手里挥舞着卡片大声嚷道。她的音量也太……
“喂，泰朵拉，这里可是图书室！我们可是高中生！这里需要保持安静。能不能小点声呐！”
“噢，真是不好意思。”她对我点了一下头，然后不好意思地环视了一下四周。
还是和往常一样的图书室，还是和往常一样的放学后，还是和往常一样慌慌张张的小丫头，泰朵拉。
虽然图书室里只有我们几个人，但是太吵的话，惊动图书管理员瑞谷老师就不太好了。
“嗯，这张是学长的。”泰朵拉看了看手中的两张卡片，拿出一张递给我，“这张是我的。”说着，把另一张揣在胸前。
“木村老师的卡片，泰朵拉也拿到了吗？”
“哦，是的。我和木村老师说我正在让学长教我数学，然后老师就把卡片给了我，说一张是我的，另一张是给学长的。我，泰朵拉，今天就是邮递员啦。”
泰朵拉的脸上露出了无忧无虑的笑容。
我的卡片上面写着这样的式子。
我的卡片
泰朵拉的卡片是这样子的。
（泰朵拉的卡片）
“学长，我的卡片，就是研究课题吧？”又认真起来的泰朵拉坐在我的旁边说。
“是的，是研究课题。根据这张卡片自己想问题，自由地思考讨论。木村老师时常会给我们出这种问题……”
泰朵拉双手拿着自己的卡片，认真地看着，在思考式子表示何种意思。
“嗯，但是学长，像 这种方程式，我无论如何也解不出来。”
“泰朵拉，这不是求 x 之类的问题。也就是说，这并不是方程式。”我一笑。
“这难道不是方程式？”
“是的。这不是方程式，而是恒等式。这卡片上的式子就像恒等式一样，即对于所有的 x 都成立。我想这是一个求数列 a0, a1, a2, ... 的问题。”
“哦……学长，能不能提示一下我啊？后面的主干问题我自己来解决，就提示一下最开始的一点点线索好吗？”
泰朵拉的手伸到了看不见的梯子上，通过这梯子，她一定能升到空中去。
一直到达无限的彼岸。
9.1.2 无限次多项式
“那我们来这样设定问题吧。”我一边说，一边在泰朵拉的卡片上开始写。
问题 9-1
假设函数 sin x 能展开成如下所示的幂级数。这时，求数列 的通项公式。
“什么叫幂级数啊？”
“像这张卡片右边那样的无限次多项式就是幂级数。多项式——比如说，关于 x 的 2 次多项式你总知道吧。”
“比如这个式子。”她把笔记本摊开。
二次多项式（？）
“是的。但是严格来讲是错的。必须要添上 a ≠ 0。不然的话，比如 a = 0,b ≠ 0 时，就不是二次多项式了，就变成了一次多项式了。所以要把条件添上。”
“好。”
她马上回应，并记在了笔记本上。很乖。
二次多项式 (a ≠ 0)
“学长，这样说的话，无限次多项式就应该这样写喽。但是，总觉得怪怪的。”
无限次多项式（？）
哦，原来她是这样想的啊……
“不，那是乱来，泰朵拉。无限次多项式要从系数小的项开始写。无限次中的‘无限’可以用 ... 来表现。比较一下下面的式子就清楚了。”
“啊，原来如此呀。先写 x 的指数小的那一项呀。不过想想也是应该这个样子的……但是为什么不用 a, b, c, ... 而是用 a0, a1, a2, ... 呢？”
“因为系数使用 a, b, c, ... , z 的话，那后面的 x 的次数就只能用从 0 到 25 这些数字了。字母只有 26 个呀。而且，要是变量使用 x 的话，系数上就不能再使用 x 了。另外，像 ak 那样使用 k 这个变量，也是出于比较容易写通项的缘故，也就是‘通过引入变量进行一般化’。那么在这里，我们不使用 ，将问题 9-1 的式子改写试试看。”
“到这里就求出了数列 了。”
“不对不对，这还是刚刚的问题 9-1，只是将 具体写出来了而已。以 sin x 的变化为依据求数列 ，这才是问题所在。也就是要找出 a0, a1, a2, ... 的实际的值。”
“实际的值能明白吗？ a0, a1, a2, ... 全部？”
“嗯，全部。把三角函数 sin x 画出来就是这样的曲线，即正弦波。看了图像，马上就能知道 a0 的值了。”我一边绘图一边说道。
“上面图像中的 a0 到底表示什么呢？能不能把 a0 具体等于几说出来呢？”
“啊？我可能不知道哦。”
“你一定知道。你一定能思考出来。加油！再思考一下。”
泰朵拉认真地对比图像，开始探求 a0 的值。
她的表情非常丰富。开心之时，困惑之时，沉思之时，心情都直接反映在了脸上。光看着她这样，我的心情也都要随她一起波动起来。
嗯，大眼睛是她吸引人的地方。会动来动去的瞳孔、夸张的动作也让人感觉很不错。而且最重要的是她直来直去的性格……但是，解析那些东西很是无聊的啊。泰朵拉啊泰朵拉。
过了一会儿，她很高兴地抬起了头。
“学长。真简单，我弄出来了。答案是 0。a0 应该等于 0，对吧？”
“嗯。正确。怎么得出来的呢？”
“因为通过图像可以知道，sin 0 的值等于 0。图像是经过 x = 0，y = 0 这个点的。也就是说，如果 x 是 0 的话，按理来说式子 也应该等于 0，因为它是等于 sin 0 的。然后，如果把 x = 0 代入式子的话，剩下的就只有 a0，因为 a0 以外的各项都由于 x = 0 的关系消去了，所以只剩下 a0，故 a0 的值为 0 ！”
“确实如此，但是不准大声嚷嚷噢！”
“啊，不好意思。”
“那么往下一步进行吧。a0 以外的值，你知道是多少吗？”
泰朵拉自从知道自己想出的 a0 = 0 是正确答案之后，眼睛睁得更大了，全神贯注地看着式子，开始计算。
嗯。平时手忙脚乱的泰朵拉一到关键时候，那种集中注意力的能量还真是令人敬佩。这个也是她吸引人的地方。
泰朵拉开始投入到问题 9-1 的解决之中去了。
我也开始去解决自己卡片上的问题 。打开笔记本，手握自动铅笔。首先从抓住具体的状态开始。
这里是图书室。我们是高中生。在安静的环境中开始学习了。