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《数学女孩》9.5 代数学基本定理

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“你知道代数学基本定理吗?”

早晨,刚进入教室,米尔嘉突然用手指着我问道。

米尔嘉是我的同班同学。她很擅长数学,她的水平已经完全超过了学校所教的水平,爱看自己喜欢的书,寻找问题,然后解决。我虽然也不是不擅长数学,但仍不是米尔嘉的对手,不过我也没有因此而感到自卑。只是,我也想看看她正在看的世界。

数学的美、伟大、深奥,我只是刚刚体会到了一点点而已。当我站在书店里数学类的书架前时,就会发现自己还有大半的书都不能理解。与此同时,我也会想到她。米尔嘉的知识究竟有多少呢?

于是,我开始迷失自我。正在思考数学?正在思考自我?正在思考她?……我为我自己的幼稚而烦恼。她干什么看上去都好像很潇洒的样子。与她相比,我每天只是在摆弄一些式子,感觉慢了好几百步的样子。

不,不,想这些东西也没有用,也像泰朵拉那样说声“加油”吧。

“米尔嘉,代数学基本定理?是不是就是 n 次方程就有 n 个解?”

“嗯,大致 OK。复系数的 n 次方程就有 n 个复数解,重根按重数计算。”

“好长啊。”

“高斯老师发现了它。令人惊奇的是,那个时候高斯老师才 22 岁,而且他是在学位论文中证明的。用学位论文来证明这个根本的定理真是了不起啊!”

米尔嘉好像已经开启了话唠模式。在我来之前,她好像正在对着都宫侃侃而谈。我一来,都宫就立刻回到自己的座位上了,好像在说:“还是你来听才女米尔嘉的讲话吧”。

米尔嘉把我拉到黑板前,开始“上课”。

“其实,真正的代数学基本定理就是‘任意复系数的 n 次方程至少有 1 个解’。如果至少拥有 1 个解 α 的话,用 x - α 这个因式来除 n 次多项式就行了。现在开始证明 n 次方程 至少有 1 个解。首先来考虑函数 ,然后算一下这个函数的绝对值 |f(x)| 能变成多小。因为要是最小值为 0 的话,它就拥有解。在这之前,先复习一下有关复数的知识吧。好吗?”

米尔嘉写板书的速度很快,她把高斯的证明写给我看。我一边听她“讲课”,一边感慨自己对复数的理解还不够。虽然听是大致听懂了,但是事后自己不展开做一遍还是会有想不通的地方。必须要自己证明一下,做到不看证明过程自己也能证出来。像米尔嘉那样能够当场讲给别人听,则是下一个阶段了。

我一边想着这些,一边看着米尔嘉写下来的式子。米尔嘉已经讲完了代数学基本定理和因式定理,开始进入使用解来进行 n 次多项式的因式分解的内容了。

“具体地写一下。假设 n 次方程 有 n 个解 α1, α2, ... , αn,左边的 n 次多项式可以这样因式分解。”米尔嘉一边这样说一边写在了黑板上。

“也就是说,求方程的解和因式分解是相关的。这个式子中,右边第一项有 an,这个和最高次 xn 的系数合起来考虑的话比较容易明白。如果从一开始就两边同时除以 an,使 n 次方的系数变成 1 就好了。因为是 n 次多项式,所以 ,用 an 来除是没有问题的。”

就在那时,教室门口有人叫了我一声。

“喂,传说中的学妹来找!那个‘急吼吼小妹妹’!”

看到学妹来找我,我的同班同学都冲进教室里来看热闹,泰朵拉脸变得通红,拿出了我画图像用的纸。

“学长……真不好意思,打扰您了,我是来把这个还给您的。”

之后,她别别扭扭地说:“学长……我,我看起来真的那么急吼吼的吗?被他们这么说我真的是很吃惊啊!这是什么意思啊?下次我可要称呼您哥哥啦。”

“啊……不……”

“哥哥一定很高兴吧。”米尔嘉面朝黑板继续写着式子,朝这里看也不看地说。

不知不觉中,二个人步调一致起来了,真奇怪。

“哇……这块黑板写着满满的式子?是米尔嘉写的吗?”

“这样说来,泰朵拉是知道‘代数学基本定理’的吧?”

米尔嘉背对着泰朵拉,快速地写着代数学基本定理、因式定理,还有“ n 次方程式中解与系数的关系”。

“假设二次方程式 的解是 αβ, 就成立。求方程式的解和因式分解有关。解与系数的关系如下。”米尔嘉说道。

“同理,三次方程式 的解如果是 αβγ 的话……”

“一般地,n 次方程 的解如果是 α1, α2, ... , αn 的话……”

“嗯,这个就是 n 次方程的解与系数的关系。”

此时,预备铃响了。活力少女也疲倦地说“脑子好像被数学式子灌满了”,然后摇摇摆摆地回到了高一年级教室。

“真是个可爱的孩子呢,是吧,哥哥。”

米尔嘉这么说着,甩了甩刘海,中指摁了下眼镜。她用手指优雅地在空中描了下波浪线,我的眼睛便不由得追随着她的手指。

说到曲线,她脸颊的曲线我也很喜欢。还有那漂亮的嘴唇,以及从中发出来的美妙的声音,总是让我不由得想去倾听。如果比作乐器的话……

“是 ζ。”她说道。

“嗯?”

“上次村木老师的问题是 ζ 吧?”米尔嘉向我出示了卡片。

(米尔嘉的卡片)

果然。

前些日子也是那样。求调和数的时候,因为米尔嘉手中的卡片是关于 ζ 的,所以我想这次应该是 ζ(2)。原来村木老师在向我们展示一个问题的两种姿态啊。但是泰朵拉的卡片却不同。

“已经解决了吗?米尔嘉。”

“嗯……因为我记着巴塞尔问题的答案,所以当我拿到卡片的时候立即就做了出来。”

“巴塞尔问题?你记着它的答案?”

“嗯。巴塞尔问题。就是求 ζ(2) 的问题。我说了答案后,村木老师苦笑着说他并不是想要答案。如果已经知道答案的话,就要从这个式子中找出有趣的问题来。”米尔嘉耸耸肩。

“嗯……是如此有名的问题吗?”

“巴塞尔问题打倒了 18 世纪初的所有数学家,是当时的超级难题。在欧拉老师出现之前,没有一个人能做出正确答案。欧拉老师解决这个巴塞尔问题后,一举成名。”

“请稍等。如此难的问题,我们这些人怎么会有能力解决呢?”

“能解决。”

米尔嘉露出了一副认真的面孔。

“虽然这个问题在 18 世纪初很难,但现在我们的手中已经有很多武器啦。每天我们都在磨练自己的武器。”

“但是,米尔嘉记着那个答案不是吗?”

“那单单是靠记忆力而已。既然老师特意给了卡片,我想思考一下别的问题。把 x 看作是 z,将问题扩展到复数的范围。”

“嗯……但是,巴塞尔问题来着?这个 ζ(2) 是发散的吧?”

“你想知道吗?”米尔嘉吃惊地看着我。一瞬间,她的眼睛发光了。

“不,不,刚才失言了。我也还只是在思考中而已,希望你先不要说。”我急忙回答。

我在卡片的最后写下了“巴塞尔问题”。

问题 9-2

若下面的无穷级数收敛,求它的值。若不收敛,请证明。

(巴塞尔问题)