夜晚。
家里人都已进入梦乡。我独自在书桌前思考数学。旁边空无一人，无人与我搭话。这是我一天中非常宝贵的时间。
听课是为了刺激自己学数学，读书也是为了研究数学。但是如果不留出时间充分开动脑筋，动手实践，听课和读书就完全没有意义了。
今天就沉下心来思考泰朵拉的问题吧。
“存在无数个基本勾股数吗？”
首先，试着列表总结一下基本勾股数，看看能不能发现什么。
2.5.1 调查奇偶性
我注意到 c 肯定为奇数，于是就试着把表里所有的奇数都圈上了圆圈。
在奇数上圈上圆圈
咦？ a 和 b 之中似乎总有一个是奇数。不过这是偶然？还是一般现象？我把心中的疑问记了下来。
问题2-3
存在 a 和 b 皆为偶数的基本勾股数（a, b, c）吗？
我认真地思考着。
嗯，这个问题不难。绝对不存在 a, b 都是偶数的情况。因为如果假设 a, b 都为偶数，这样由 a2 + b2 = c2 这个关系式可知，c 也会是偶数。因为 a, b 都是偶数的话，a2 和 b2 都是偶数，两个偶数的和 a2 + b2 也是偶数。又因为 c2 就等于 a2 + b2，所以 c2 也是偶数。平方为偶数的数字只能是偶数，所以 c 是偶数。
也就是说，a, b 如果都是偶数，c 自然而然就为偶数。然而这违背了基本勾股数的定义：a, b, c 的最大公约数为 1。因为 a, b, c 全是偶数的话，a, b, c 的最大公约数就会大于等于 2。
由此可以说“a 和 b 不能皆为偶数”。虽然不知道这能否成为解开泰朵拉卡片上问题的重要线索，不过这的确是一个重要的事实。
我徘徊在数学公式的森林中，对于我而言，重要的事实犹如用来做标记的丝带。“a 和 b 不能皆为偶数”这个事实也是一条丝带。为了不时之需还是先绑在树枝上吧。说不定在探寻森林出口时就能派上用场。
解答2-3
不存在 a 和 b 皆为偶数的基本勾股数(a, b, c)。
2.5.2 使用数学公式
嗯……基本勾股数中，a, b 不会皆为偶数，那么是否存在“皆为奇数”的情况呢？
问题2-4
存在 a 和 b 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c) 吗？
现在假定 a 和 b 都是奇数，然后跟刚才一样调查奇偶性。
a 是奇数，则 a2 也为奇数。b 是奇数，则 b2 也是奇数。a2 + b2 = 奇数 + 奇数 = 偶数。由 a2 + b2 = c2 可知，c2 为偶数。c2 为偶数的话，c 也是偶数。也就是说，c 是 2 的倍数。2 的倍数的平方是 4 的倍数，因此可以得知 c2 是 4 的倍数。嗯，这想法有戏。然后，然后……这之后能推断出什么呢？
好吧，用数学公式吧。
假定 a, b 皆为奇数，如下所示，分别用自然数 J, K 来表示 a, b。
将其代入勾股定理。
在这个式子左边的 4(J 2 - J + K2 - K) + 2 中，因为后面的 +2 是用 4 除不尽的，所以整个式子用 4 除不尽。
另一方面，右边的 c2 是 4 的倍数，也就是说可以被 4 整除。
左边用 4 除不尽，右边可以被 4 整除。这就构成了矛盾。
根据反证法，假定的“a, b 皆为奇数”不成立，因此 a, b 不能皆为奇数。
解答 2-4
不存在 a 和 b 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c)。
结果表明，a 和 b 其中一方为奇数，另一方为偶数。换言之，a 和 b 的奇偶性不一致。也就是说，只能存在“a 为奇数，b 为偶数”或“a 为偶数，b 为奇数”的情况。在此假设“a 为奇数，b 为偶数”。因为 a 和 b 的奇偶性刚好相反，所以想求“a 为偶数，a 为奇数”的情况时，只需要交换 a 和 b 的位置即可。
好了，继续吧！—— 话说，肚子有点饿了呢。
2.5.3 向着乘积的形式进发
我走到厨房，拿了一块妈妈珍藏的 GODIVA 巧克力。
说起巧克力，之前还从米尔嘉那拿了一块奇巧威化巧克力。我想起了当时她说的话。
“整数的结构，是由质因数表示的。”
确实，分解质因数就能明白整数的结构。但是怎么把 a2 + b2 = c2 分解质因数呢？嗯……不用质因数的乘积，只用“乘积的形式”表示行不行？
嗯。这下得到了 (c + a)(c - a) 的“乘积的形式”。但是 c + a 和 c - a 都不一定是质数，所以这不能称为分解质因数。这条路走不通吗……
嗯……啊，我太傻了，又不是“总忘记条件的泰朵拉”，怎么把条件给丢了呢。计算前不是已经假定 a 为奇数，b 为偶数了吗。因为 a 为奇数，b 为偶数，所以 c 就为奇数。这样 c 和 a 都是奇数，c + a 就是偶数， c - a 也是偶数。因为奇偶数之间普遍存在着以下关系。
奇数 + 奇数 = 偶数奇数 - 奇数 = 偶数
因为 c 和 a 都是奇数，所以下述式子成立。
c + a = 偶数c - a = 偶数
c + a 和 c - a 皆为偶数，b 也是偶数……。好，用数学公式把“偶数”表现出来看看。将 A, B, C 设为自然数，可写成如下形式。
等一下，这样 A 会不会变成负数呢？不，不会的。因为 a, b, c 是直角三角形的三条边，斜边 c 肯定长于直角边 a，也就是说 c > a。所 以 c - a > 0, 2A > 0。那么，来研究一下 A, B, C 吧。
这下就把勾股定理中自然数 a, b, c 的“和的形式”变换成了自然数 A, B, C 的“乘积的形式”。只调查一下 a, b, c 的奇偶性，就迈出了一大步。但是，还不知道这条路走得对不对。
B2 = AC 的左边是平方数，右边是乘积的形式。虽然化成了乘积的形式，不过下一步应该从哪边着手呢？
2.5.4 互质
B2 = AC 这个式子到底能说明什么呢？
我绕着房间来回转圈，冥思苦想，环视书架，突然脑中浮现出尤里踮着脚尖张望的背影。这时我耳边响起自己说过的那句话。
“就算是明摆着的事，最好也要认真总结下来哦。”
那么，总结一下明摆着的事吧。
c - a = 2A。
b = 2B。
c + a = 2C。
B2 = AC。
a 和 c 是互质的……
等等，a 和 c 是互质的吗？根据基本勾股数的定义可知，a, b, c 的最大公约数为 1。然而就算三个数的最大公约数为 1，其中两个数的最大公约数也不一定为 1。比方说 3, 6, 7 这三个数的最大公约数为 1，但是把 3 和 6 单拿出来，它们的最大公约数是 3……
不，不对。因为存在 a2 + b2 = c2 这个关系式，所以在基本勾股数的情况下，可以说“a 和 c 的最大公约数是 1”。
现在假设 a 和 c 的最大公约数为 g，且 g 大于 1，那么存在自然数 J, K 使得 a = gJ, c = gK。然后……
这样 b2 就是 g2 的倍数，所以 b 是 g 的倍数。也就是说，a, b, c 这三个数都是 g 的倍数。然而这不符合 a, b, c 三个数互质这一条件， 所以 a 和 c 的最大公约数 g 大于 1 这个假设不成立，所以 a 和 c 的最大公约数是 1，a 和 c 是互质的。
同理可证 a 和 b，b 和 c 之间也是互质的。
现在已知 a 和 c 互质。嗯……话说回来，此时 A 和 C 呢？ A 和 C 也是互质的吗？
问题2-5
a 和 c 互质，当 c - a = 2A，c + a = 2C 时，可以说 A 与 C 互质吗？
我认为可以说 A 与 C 互质。但是说“认为”太主观，必须证明才行。
这个命题，用反证法马上就能证明了啊。
反证法 —— 假定原命题不成立，从而推导出矛盾的方法。
要证明的命题是“A 和 C 互质”，所以反过来假设“A 和 C 不互质”。此时 A 和 C 的最大公约数不为 1，即大于等于 2。把 A 和 C 的最大公约数设为 d (d ≥ 2)。d 是 A 和 C 的最大公约数，所以既是 A 的约数，也是 C 的约数。反过来说，A 和 C 都是 d 的倍数，因此存在满足以下关系式的自然数 A', C' 。
另一方面，下式是成立的。
那么就用 A' 和 C' 来表示 a 和 c。
这次我来消去 c。
由 a = d(C' - A') 可知“a 是 d 的倍数”。
因为 a 和 c 都是 d 的倍数，所以 d ≥ 2 是 a 和 c 的公约数。换言之，即“a 与 c 的最大公约数大于等于 2”。然而问题中给出的条件是 a 与 c 互质，所以“a 与 c 的最大公约数应该为 1”。好，这样就引出了矛盾。
出现矛盾，是因为最初假设了“A 和 C 不互质”。因此，“A 和 C 不互质”是不正确的，根据反证法可知“A 和 C 互质”。
解答2-5
a 与 c 互质，当 c - a = 2A，c + a = 2C 时，可以说 A 与 C 互质。
至此已经求得“A 与 C 互质”，这也是个重要的事实，是第二条标记用的丝带。
我将第二条丝带绑在树上，深呼吸。虽然有点累，不过还能在林中走一阵子。接下来，往哪儿走呢？
刚刚考虑的式子 B2 = AC 难不成相当于“平方数”等于“互质的两个整数的乘积”？这难道是路标吗？
2.5.5 分解质因数
现在舞台已经从 a, b, c 转向了 A, B, C。
问题 2-6
A, B, C 是自然数。
B2 = AC 是成立的。
A 和 C 互质。
此时，就没有什么有趣的东西吗。
“有趣的东西”是指什么啊，我忍不住吐槽自己。
好像我已经从原本的问题——“存在无数个基本勾股数吗”跑偏到外星球去了。
我又想起了米尔嘉的歌。
“整数的结构，是由质因数表示的。”
这样啊……将 A, B, C 分解质因数，会变成什么形式呢？以下这种形式吗？
把以上式子代入关系式 B2 = AC 观察一下。
喔？将 B2 分解质因数时，质因数 bk 全变成了 这种平方的形式。
原来是这样。将平方数分解质因数，就会发现里面包含偶数个质因数。
例如 182 这个平方数，分解得 182 = (2 × 3 × 3)2 = 22 × 34，里面包含质因数 2 和 3，2 和 3 的个数都是偶数。想想就觉得理应如此。
根据质因数分解的唯一分解定理 —— 分解质因数的方法是唯一的 —— 可知，B2 = AC 的左边和右边，质因数列是完全一致的。左边出现的质因数应该也会在右边的某处出现。也就是说——
啊，我明白了！
在此，第二条丝带——“A 与 C 互质”这个条件有用了。A 与 C 互质，也就是说 A 与 C 的最大公约数为 1，换言之就是 A 和 C 没有共同的质因数。考虑 B 的质因数 bk，则任意一个质因数 bk 不包含在 A 中，就包含在 C 中！
沿用刚才的例子 22 × 34，这个数可以表示为互质的两个自然数 A 与 C 的乘积。如果有 1 个质因数 2 包含在 A 的质因数分解中，则所有的 22 都应该包含在 A 的质因数分解中。如果有 1 个质因数 3 包含在 A 的质因数分解中，则所有的 34 都应该包含在 A 的质因数分解中。某个质因数不能同时放在 A 和 C 中。拿 22 × 34 来说，只能出现如下四种拆分方法。
A 和 C 中不能出现相同的质因数。而且质因数的个数是偶数……这也就意味着，A 和 C 都是平方数。
解答2-6
A, B, C 是自然数。
B2 = AC 是成立的。
A 和 C 互质。
此时，A 和 C 是平方数
厉害厉害，因为 A 和 C 是平方数，所以可以用自然数 m, n 来表示，如下所示。
变量太多了很头痛，不过还可以前进。弄错了方向的话，再回头看看笔记就好。
因为 A 和 C 没有共同的质因数，所以毫无疑问，m 和 n 也是互质的。到头来 a, b, c 都可以用互质的 m 和 n 来表示了！
首先，因为 a = C - A，所以
因为 a > 0，所以 m > n。又因为 a 是奇数，所以 m 和 n 的奇偶性应该是不一致的。
接下来，因为 c = C + A，所以下式是成立的。
然后又因为 b = 2B，所以……这里需要计算一下。
因此，可知下式是成立的。
最后，a, b, c 就可以用互质的 m 和 n 来表示。
反过来，像上面这样用 m 和 n 的形式表示的一组数 (a, b, c) 肯定是基本勾股数。这个只要计算一下就能确定。
a, b, c 的互质关系也可以通过简单的计算得到。
研究奇偶性，留意着互质这个条件分解质因数……我得到了基本勾股数的一般形式。
基本勾股数的一般形式
互质的一组自然数(a, b, c)，当满足关系式 时，可全部用以下形式表示（可以交换 a, b 的位置）。
m 和 n 互质
满足条件 m > n
m, n 有一个是偶数，另一个是奇数
这下，隐藏在基本勾股数中的结构就浮现出来了。只要明确到这一步，泰朵拉的问题自然也就迎刃而解了。
不同的质数之间是互质的，所以使用质数列，就应该可以创造出无数个基本勾股数。例如设 n = 2，m 为大于等于 3 的质数。把 m 依次定为 3, 5, 7, 11, 13 的话，从 m 和 n 的组合中可以创造出不同的 (a, b , c)。因为质数有无数个，所以可以创造出无数个基本勾股数。
路途很漫长，不过没有行差踏错。
解答2-1
存在无数个基本勾股数。