5.1.1 速度题
“我来了。”泰朵拉说。
午餐时间，我刚从小卖部买了面包回到教室。
“诶？”为什么泰朵拉会出现在高二年级的教室里？
“我借一下这张桌子。”
泰朵拉说着“向后 —— 转！”把空桌子刷地掉了个头，正好跟米尔嘉的桌子面对面。
“我叫她来的。”米尔嘉说。
两个女生在吃午饭，泰朵拉吃盒饭，米尔嘉还是万年不变地只吃巧克力。而我则啃着面包看着她们俩。虽然类型不同，但她们俩都是美女啊……泰朵拉坦率而富有活力，米尔嘉则精明干练。
“你午饭总是吃奇巧威化巧克力吗？”泰朵拉问。
“有时候也吃松露的。”米尔嘉答道。
“那个，我不是这个意思，我的意思是不吃点米饭或者面包什么的？”
“这个嘛，话说没有什么有意思的题吗？”
“有一道适合泰朵拉回答的速度问题。”我说。
“什么什么？什么问题？”泰朵拉张大了眼睛。
“平方等于 -1 的数字是什么呢？”
问题5-1
平方等于 -1 的数字是什么？
“平方等于 -1 的数字……有了有了，我知道了，是 对吧！另外一种叫法是虚数单位 i ！”泰朵拉自信满满地断言道。
“嗯嗯，我就知道你会这么回答。”我说。
米尔嘉闭上眼睛缓缓摇了摇头。
“诶？不对……吗？”
“米尔嘉 —— ”我把问题扔给了米尔嘉。
“±i。”米尔嘉立即回答。
“正负 i……啊，对。平方得 -1 的不是只有 +i，-i 也是……”
解答5-1
平方等于 -1 的数字是 ±i。
泰朵拉一脸不满。
“学长，我感觉你在故意耍我……”
“才没有，我问得很认真啊。”我反驳道。
“就是。”米尔嘉说，“平方等于 -1 的数，就是二次方程 x2 = -1 的解。因为是二次方程，所以该考虑到有两个解。n 次方程的解有 n 个，这是代数学基本定理（但要注意重根）。这哪能说是耍你呢。”米尔嘉咬了一口巧克力。
“+i 和 -i 两个解……这样啊。”泰朵拉开始对她的汉堡肉饼下手。
我们沉默着吃了一会午饭。米尔嘉吃完巧克力，饶有兴趣地看着泰朵拉奇特的筷子盒。不久泰朵拉又开口了。
“i 真是不可思议。总感觉不能接受它的平方等于 -1，该说是有些别扭吗……”
“对你而言平方等于 -1 很别扭？”米尔嘉说。
“-1 吗？不，也不是别扭……”
“喔……那么我们来想想方程式和数字的关系。首先从 x + 1 = 0 开始。”米尔嘉向我伸出了手。
看来是下令让我把笔记本和自动铅笔交出来。
5.1.2 用一次方程定义数字
首先从 x + 1 = 0 开始。试试解这个简单的一次方程。
这下我们就知道了这个方程的解是 x = -1。很简单。
那么，我们在 x ≥ 0 的范围内考虑这个方程式看看。
x + 1 = 0 令 x ≥ 0
现在，假设有个人只知道大于等于 0 的数，这个人觉得 x + 1 = 0 这个方程很别扭。他会想：“因为 0 是最小的数字，所以不可能有加上 1 得 0 的数字，这样的数字不存在。”兴许，他可能要感 慨“加上 1 得 0 的数字好神秘”。
哎呀，泰朵拉笑了。不过我没在开玩笑。大约从 18 世纪开始，人类才能自然地接受 -1 这样的负数。事实上，帕斯卡在 17 世纪还认为 0 减去 4 等于 0。以几千年的数学发展史来看，负数得到运用也是在不久之前的事。18 世纪最伟大的数学家，我们的老师莱昂哈德·欧拉，他第一次明确阐述了数轴向正和负两个方向延伸的概念。
言归正传，对这种只知道大于等于 0 的数字的人，我们试试这么说。
“定义一个数字 m，使得 m 满足方程 x + 1 = 0。”
这种人一定会说“才不存在 m 这样的数字”吧，那我们就这么告诉他。
“m 就是能将等式 m + 1 替换为 0 的一个形式上的数字。”
这个形式上的数字 m 指的是……用普通的话说就是 -1。我们把 m 这个数作为 x + 1 = 0 这个方程式的解“定义”了。也可以说，用方程式的形式表示了 m 应该满足 的“公理”。当然，对我们来说这种做法确实比较繁琐。
到这里一次方程讲完了。
我们用一次方程的解定义了 m 这个数（实际上 m 就等于 -1）。
现在开始，我们要用二次方程了。
我们用二次方程的解定义 i 这个数字。
5.1.3 用二次方程定义数字
思考以下二次方程。
x2 + 1 = 0
在实数范围内，没有能满足这个二次方程式的数。因为如果 x 是实数，x2 一定大于等于 0。在大于等于 0 的数字上加上 1，不可能再等于 0。所以“只知道实数的人”会觉得这个方程式别扭。
要感慨“平方后得 -1 的数字好神秘”吗？不不，我们还是来用方程 x2 + 1 = 0 定义一个新的数字吧。
“定义一个数字 i，使得 i 满足方程 x2 + 1 = 0。”
这和刚才的“定义一个数字 m，使得 m 满足 x + 1 = 0”很像。当然，满足方程 x2 + 1 = 0 的数字有两个。准确地说，我们定义 i 为满足方程 x2 + 1 = 0 的两个数字中的一个。
只知道实数的人肯定会说“才不存在 i 这样的数字”吧。然而，我们会这么回答他。
“i 就是能将 i2 + 1 替换为 0 的一个形式上的数字。”
跟刚才的 m 是一样的。我们把 i 这个数作为 x2 + 1 = 0 这个方程式的解“定义”了，即我们用方程式的形式表示了 i 应该满足的“公理”。
尽管如此，一般人是不会习惯用方程式的解来定义数字这种独特的想法的。因为没法实际用肉眼看到。人类要想把握数字概念，图形是非常重要的。在负数情况下，关键就是“将数轴向负的方向延伸”；而虚数情况下，关键就是“两条数轴”。
第一条是实数的数轴，也就是实轴。
第二条是虚数的数轴，也就是虚轴。
依据由实轴和虚轴这两条数轴形成的平面 —— 复平面，我们就能理解复数了。
要普及复数，就必须从一维空间飞跃到二维空间了。
◎ ◎ ◎
眼看米尔嘉的解说告一段落了，泰朵拉举起了手，手上还拿着筷子……
“米尔嘉，我想问个问题……”
这时下午课的预备铃响了。
“诶？！”泰朵拉遗憾地收拾起盒饭，摆出了她惯用的 1, 1, 2, 3 —— 斐波那契手势就回自己的教室了，“剩下的放学后去图书室说哦！”