8.2.1 图书室
在这之后的一周，周五放学后。
我像往常一样迈进图书室，这时泰朵拉已经开始学习了。她一个人在笔记本上热衷地写着什么。
“来得真早啊。”
“啊，学长！刚刚米尔嘉学姐也来了一下，不过说是要跟盈盈学姐练习，就回去了。”
“你现在做的是村木老师出的问题？”
“没错。又是三角形的问题呢。”
问题8-1
存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形吗？
“已经想了很久了吗？感觉能解开吗？”我问道。
“我正在举实际例子来验证自己的理解呢！所以麻烦学长不要说话！”泰朵拉把食指放在嘴唇上，做了一个‘嘘’的手势。我不由得心跳了一下。
“那，我在那边算自己的。等会儿咱们一起回去。”
“好。”泰朵拉笑了笑。
我原本打算继续算有限域 ，但不由得被刚刚泰朵拉的问题牵住了心思。
“存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形吗？”
直角三角形……也就是说，三边边长应该能构成勾股数。用变量表示三边边长，再研究它们的条件就能解开了吧？
不过还是先举个实例来验证自己的理解吧。——“示例是理解的试金石”。
假设三边边长分别为 a, b, c（c 为斜边边长），研究一下典型的勾股数吧！
(a, b, c) = (3, 4, 5)
此时，
直角三角形的面积
因为不存在平方后得 6 的整数，所以 6 不是平方数。原来如此！
那再看看别的例子吧。研究一下 (a, b, c) = (5, 12, 13) 的情况。
直角三角形的面积
30 也不是平方数，喔？
我在表上试着总结了几个勾股数。
原来如此……的确面积无法构成平方数。不过我只研究了 5 组，还不能断言“绝对无法构成平方数”。未经证明的话只不过是猜想而已。
好，那么来挑战一下，看能不能证明
“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
整体证明的思路，还是用反证法吧。假定存在一个面积为平方数的直角三角形，然后推导出矛盾。感觉这样会更清楚一些。
要证明的命题：“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
要证明的命题的否定如下，我们假定其成立。
反证法的假设：“存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
接下来，把命题里的重点用数学公式表达出来。
首先是“直角三角形”。假设三边边长为自然数 a, b, c，c 为斜边边长，然后由勾股定理得到
a2 + b2 = c2
这个等式可以表达“直角三角形”的概念。
因为我想以尽可能简单的形式逐步思考，所以我将 a, b 设为两个互质的数字。想得到互质的话，只要除以 a 和 b 的最大公约数就好。把 a 和 b 的最大公约数设为 g，就存在以下自然数 A, B。
a = gA, b = gB, A ⊥ B（A 和 B“互质”）
因为 g 代表了 a 和 b 的所有质因数，所以 A 和 B 已经没有共同的质因数了。也就是说，A 和 B 互质（A ⊥ B）。
把 a = gA, b = gB 代入到勾股定理里试试。
也就是说，c2 是 g2 的倍数。这样一来，c 就是 g 的倍数，那么就存在满足下式的整数 C。
c = gC
好的，继续计算。
由 A ⊥ B 和 A2 + B2 = C2，即可推导出 B ⊥ C, C ⊥ A。这样就可以导入三个两两互质的数字 A, B, C 来替换 a , b, c。(A, B, C) 是基本勾股数。
至此可以说是一路笔直地踏实前行。下面应该走哪边好呢……
嗯。这次 在‘面积是平方数’的条件里代入 A, B 来研究吧。感觉找到状态了……设 d 为某个自然数，写成下面这种形式就可以用数学公式表达“面积是平方数”的概念了。
代入 a = gA, b = gB。
计算得
因为 (A, B, C) 是基本勾股数，所以 A 和 B 中有一方为偶数。也就是说是自然数。因此 d2 是 g2 的倍数，即 d 是 g 的倍数。所以，存在自然数 D 满足 d = gD，代入公式。
去分母，两边同时除以 g2，可得到下式。
至此，就创造出了一个带有附加条件的新问题，条件就是给出的数字之间互质。这个问题是泰朵拉手中卡片的另一个说法。
嗯，进行得很顺利嘛。
不过，还是没能发现关键的矛盾所在。
问题8-2 （问题 8-1 的另一个说法）
存在满足以下式子的自然数 A, B, C, D 吗？
（A ⊥ B 表示的是 A 和 B 互质）
“放学时间到了！”
听到瑞谷老师的声音，我才恍然大悟地抬起头。
天色已经暗了，在钻研数学的过程中，我忘记了时间的流逝，生活在如梦境般的另一个世界之中。会意识到这点，是因为我已经回到了往常的世界。这边的世界 —— 有我，有泰朵拉，有米尔嘉……
“学长？”
泰朵拉站在我面前。
“该回去了吧？”
我看着泰朵拉，沉默地注视了一会儿，她脸颊微红，歪着头问我。
“学长？”
“嗯，回去吧。谢谢你，泰朵拉。”
“诶？谢什么啊？”
“没什么，总觉得该谢谢你，嗯。”
8.2.2 曲曲折折的小路
我们并肩走在回家的路上，穿过住宅区曲曲折折的小路。
“我怎么这么……手忙脚乱呢……”泰朵拉说道，“只要出现一个数学公式，我脑袋就被塞满了，条件都不知道飞到哪儿去了……”
泰朵拉一会儿双拳按头，一会儿双手抱头。
“这么说来，之前你也说过变量一多就感觉难了呢。”
“对对！学长和米尔嘉学姐都能轻轻松松地写出定义方程式。‘设 ’啊‘定义 ’什么的……我最不擅长这个了。”
“虽然定义方程式中变量会增加，不过之后的式子变形会很有趣哦。”
“所以啊！我一直在努力挑战这次的问题，用那个毕达哥拉·榨汁机。”
“嗯？什么意思？”
“就是那个‘用 m 和 n 创造基本勾股数’的方法啊！我想用‘基本勾股数的一般形式’来考虑。”
“啊，原来如此，还有这种方法啊。”
这样啊，确实，只要使用基本勾股数的一般形式，就能用 A, B, C 表示 m 和 n。从这里开始研究的话，能不能引出矛盾呢？
“这主意不错啊。”
“啊，学长你也在想吗？我也不会输的哦！”
泰朵拉一边说着，一边摆出拳击的架势左右挥着拳头。