10.2.1 问题
吃完饭后，我们开始倾听米尔嘉的解说。
“17 世纪的数学家费马，在他一直研究的《算术》这本书的空白处留下了一个问题，就是所谓的‘费马大定理’。”
费马大定理
当 n ≥ 3 时，以下方程式不存在自然数解。
“他以书面形式表达了和这个数学公式同样的内容，并在空白处写下了一句著名的话。”
我确信已发现了一种美妙的证法，
可惜这里空白的地方太小，写不下。
“然后，费马并没有写出证明方法。”米尔嘉说道，“既然他都这么暗示了，当然也就有很多数学爱好者跃跃欲试。话说回来，为什么后人会知道费马在书中空白处写下的私人笔记？”
“这么一说，也是啊。”泰朵拉歪着头，满脸写着不可思议四个大字。
“这要归功于费马的儿子山缪。”米尔嘉说道，“他重印了带有费马笔记的《算术》，让险些消失的‘费马大定理’复活了。写这本《算术》的是 3 世纪左右的数学家丢番图。17 世纪的巴歇将这本书翻译成了希腊语和拉丁语。费马学习了巴歇版的《算术》，并写下了笔记。山缪重印的是丢番图著，巴歇译，写有费马笔记的《算术》。”
“这样啊……”我说，“从 3 世纪的丢番图，到巴歇，再到 17 世纪的费马，然后通过山缪传到更远的未来。数学穿越时空流传后世啊……”
“然后，再传给现代的我们。简直就像数学的接力呢。”泰朵拉做了一个接住接力棒的手势。
“然后数学家们就开始了长达三个半世纪的挑战。”米尔嘉开始缓慢地讲述历史，“首先是 17 世纪。”
10.2.2 初等数论的时代
17 世纪是初等数论的时代。因为费马大定理是一个涉及“所有的 n”的命题，所以想一次证明出来太难了。因此数学家们想就个别的 n 进行证明。
最初，费马自己证明了 FLT(4)，使用的工具是无穷递降法。这么说来，之前我们也 用“面积不构成平方数的直角三角形定理”证明过 FLT(4) 呢。
进入 18 世纪。欧拉老师证明了 FLT(3)。
在 19 世纪，狄利克雷证明了 FLT(5)，勒让德补充了狄利克雷的证明。然而拉梅证明了 FLT(7) 以后，就后继无人了。因为证明过程太过复杂了。
那个时代人们使用的武器有倍数、约数、最大公约数、质数、互质，还有无穷递降法。
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“先从具体例子开始解啊……”泰朵拉说道。
“跟我们解题的时候一样，按照‘从特殊到一般’的顺序。”
“原来如此。”
“新时代是从……”米尔嘉继续往下说道，“苏菲·姬曼开始的。那是在 19 世纪。”
10.2.3 代数数论时代
19 世纪是代数数论时代。1825 年，苏菲·姬曼在 FLT 的通解上取得了成果。她证明了“如果 p 和 2p + 1 都为奇质数，则 xp + yp = zp 不存在自然数解。此时 ”这个定理。
1847 年，拉梅和柯西开始竞相证明“费马大定理”。当时关键在于粉碎 xp + yp = zp，在复数领域进行因式分解。
在此 α 是 这个复数。因为由欧拉的公式可知 ，所以 α 的绝对值是 1，幅角是 。也就是说，α 是 1 的 p 次方根之一。根据整数和 α，用一般的加法和乘法创造出的环 就是一种整数环。
他们想在整数环 的基础上将 xp + yp 分解质因数，使因子 (x + αky) 之间互质，各因子是“p 次方数”，带进无穷递降法里。然而他们失败了。因为——
整数环中不一定满足“质因数分解的唯一分解定理”这个条件。
如果不满足质因数分解的唯一分解定理，那么即使 p 次方数的各因子互质，各因子也不一定是 p 次方数。库默尔指出了这一点，争论得以结束。整数环中，“质因数分解的唯一分解定理”就此消亡。
为了打破这个僵局，库默尔提出了理想数这个概念，戴德金以集合的形式将其整理为“理想”概念。“理想”概念有“理想”公理，就像数字一样，其计算得到了定义。“理想”具有的最重要的性质 —— 当然是质因数分解的唯一分解定理。根据“理想”，“质因数分解的唯一分解定理”复活了。库默尔证明了对于“正规质数”，费马大定理是成立的。
19 世纪结束。自费马写下那段话后，已经过去了 250 年。
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“费马大定理就是这样被证明的啊！”泰朵拉在胸前握紧双拳说道。
“然而，并不是。”
“诶？诶诶诶？”
“库默尔的代数数论结出了丰硕的果实。”米尔嘉说道，“怀尔斯的证明中，代数数论还是基本的工具。然而由于代数数论的直接扩张，费马大定理没有得到证明。我们继续讲几何数论时代吧。那是在 20 世纪，在日本。”
10.2.4 几何数论时代
那是在 20 世纪，在日本。1955 年，也就是第二次世界大战结束十年后，数学国际会议于日本召开。谷山 - 志村猜想也是在那个时候诞生的。渐渐地，谷山 - 志村猜想成为了连接“椭圆曲线”和“自守形式”（模形式）两个世界的巨大桥梁。如何将这个猜想转变为定理成为了数论领域的重要课题。但很明显，这是一个巨大的难题。但是谁都没注意到，这个数论领域的重要课题于费马大定理也是一个重要课题。
1985 年，弗赖提出了一个让人眼前一亮的观点。假设“费马大定理不成立”，就能创造出一个跟谷山 - 志村猜想相矛盾的反例。这样就在费马大定理与谷山 - 志村猜想间建立了联系。话虽这么说，这也只是把一个难题归结到另一个难题上，问题并没有变简单。
而挑战了这个难题的人是怀尔斯。他在自己家中独自一人进行了长达七年的研究。其间他一直在大学授课，但没人知道他一直在挑战费马大定理。
1993 年，怀尔斯声明他证明了费马大定理。然而证明有缺陷，但他继续挑战，终于在 1994 年跟泰勒一起修正了缺陷，完全证明了费马大定理。
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米尔嘉很快地结束了讲解。讲历史的话题很让她心急吧。
“我想谈谈数学。”米尔嘉看着我。
“现在，拿出笔记本。”
我拿出了笔记本和自动铅笔，尤里小声说道：
“人家能先回去吗？光听历史我脑子就已经装不下了。”
米尔嘉听到这两句嘀咕，说道：
“好……我知道了，那我出个尤里你能解开的问题吧。”