一个与代数有关的魔术
小时候，我第一次接触代数是通过我父亲。他说：“孩子，代数与算术没有多大区别，不过是用字母来代替数字。例如，2x + 3x = 5x，3y + 6y = 9y。明白了吗？”我回答说：“好像明白了。”他接着说：“好的，那么5Q + 5Q是多少？”我信心满满地答道：“10Q。”他说：“声音太小了，大点儿声！”于是，我高声答道：“10Q！”结果，父亲回说：“不用谢！”[1]（父亲对双关语、开玩笑和讲故事的兴趣一直都比对数学教学的兴趣大，因此我从一开始就不应该完全相信他说的话！）
我第二次接触代数，是因为我想弄明白下面这个魔术的原理：
第一步：在1到10中选择一个数字（你也可以选择一个大于10的数字）。
第二步：把这个数字加倍。
第三步：加上10。
第四步：除以2。
第五步：减去你一开始选择的那个数字。
我猜你得到的数字一定是5，对吗？
这个魔术背后的奥秘是什么？是代数。我们从第一步开始，把这个魔术再回想一遍。我不知道你一开始时选择的是哪个数字，因此我们用N来表示它。当我们用一个字母来表示未知数时，这个字母就被称为“变量”（variable）。
第二步，你把这个数字加倍，它就变成了2N。（由于字母x经常被用作变量，因此我们通常会省略乘号，以免混淆。）第三步，这个数字变成了2N + 10。第四步，在除以2之后，这个数字变成了N + 5。第五步，减去你一开始选择的那个数字，也就是N。从N + 5中减去N，得数是5。我们可以如下简要地表示这个魔术：
代数的黄金法则
我们先思考一个问题：某个数字加上5之后，和是这个数字的3倍，请找出这个数字。
为了解答这道题，我们把这个未知数设为x。它加上5之后，就是x + 5；最初的3倍，就是3x。这两个量相等，因此我们需要解下面这个方程式：
3x = x + 5
从左右两边各减去x，方程式就变成：
2x = 5
左右两边同时除以2：
x = 5 / 2 = 2.5
由于2.5 + 5 = 7.5，与2.5的3倍正好相等，因此可以证明这个答案是正确的。
延伸阅读
再为大家介绍一个可以利用代数知识来解释个中道理的魔术。写下一个三位数，要求三个数位上的数字逐步减小，例如842或951。然后，彻底颠倒这个三位数的数位次序，并用最初的三位数减去颠倒顺序后得到的三位数。之后，彻底颠倒得数的数位顺序，并与得数相加。我们以853这个数字为例，通过下列算式描述上述步骤：
现在，大家重新选择一个三位数。想好了吗？神奇的事情就要发生了。只要你严格按照上述步骤做，最后的得数一定是1 089！为什么？
代数可以揭开其中的秘密！假设我们选择的三位数是abc，其中a > b > c。我们知道，853 = (8×100) + (5×10) + 3。同理，数字abc=100a + 10b + c。数位完全颠倒之后，数字变成cba，可表示为100c + 10b + a。两个三位数相减之后，就会得到：
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c)
= 99a – 99c = 99 (a – c)
换句话说，两个三位数的差必然是99的倍数。由于三个数位上的数字最初是逐步减小的，因此a – c至少等于2，或者说可能是2、3、4、5、6、7、8或9。那么，两个三位数之差只能是下面这些数字中的一个：
198、297、396、495、594、693、792或891
无论这个差到底是哪个数字，与数位颠倒之后的数字之和都是：
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1 089
由此可以看出，最后的结果必然是1 089。
通过这个例子，我们可以看出代数的一个特点：进行代数运算时，必须对等式左右两边一视同仁。我把这条规则称为代数黄金法则。
例如，假设我们想求解下列方程式：
3 (2x + 10) = 90
我们的目标是解出x。先将方程式两边同时除以3，把方程式简化成：
2x + 10 = 30
再在两边同时减去10，把左边的10消掉。这样，方程式就会变成：
2x = 20
接下来两边同时除以2，结果就一目了然了：
x = 10
每次解完方程式，都要验证答案的准确性。在这个例子中，我们发现当x = 10时，3 (2x + 10) = 3×30=90，方程式成立。这个方程式还有其他解吗？没有了。如果还有其他解，这个x也需要满足方程式，因此我们可以确定x = 10是唯一解。
下面是一个与现实生活密切相关的代数问题，来自2014年某一期的《纽约时报》。该报称，索尼影视娱乐有限公司出品的一部电影投入市场之后，前4天的在线销售与出租的总金额是1 500万美元。索尼没有说明在线销售（单价15美元）与出租（单价6美元）分别贡献了多少销售额，但该公司宣布他们一共完成了200万单交易。为了帮助记者解决这个难题，我们用S代表在线销售交易量，用R代表在线出租交易量。由于总交易量是200万单，因此：
S + R = 2 000 000
我们还知道在线销售的单价是15美元，在线出租的单价是6美元，因此总销售额满足下列方程式：
15S + 6R = 15 000 000
根据第一个方程式，我们知道R = 2 000 000 – S。因此，第二个方程式可以改写成：
15S + 6 (2 000 000 – S) = 15 000 000
现在，方程式中只包含一个变量S，整理后就会得到：
9S + 12 000 000 = 15 000 000
两边同时减去12 000 000：
9S = 3 000 000
因此，S大约是100万的1/3，即S ≈333 333；R = 2 000 000 – S ≈1 666 667。（验证答案：总销售额为15×333 333+ 6×1 666 667≈15 000 000美元。）
本书一直在利用某个规则，它被称为“分配律”（the distributive law）。现在，我们需要对这个规则加以讨论。因为有了分配律之后，乘法和加法就可以密切合作了。分配律指出，对于任意数字a、b、c，都有：
a (b + c) = ab + ac
我们在计算一个两位数与一个一位数的乘积时，就会用到分配律。例如：
7×28 = 7×(20 + 8) =7×20 + 7×8 = 140 + 56 = 196
用统计学方法来思考，我们就会明白其中的道理。假设我有7袋硬币，每袋分别装有20枚金币和8枚银币，那么硬币的总数量是多少呢？从一个方面看，每袋装有28枚硬币，因此硬币总是7×28。从另一个方面看，我们有7×20枚金币和7×8枚银币，因此共有7×20 + 7×8枚硬币。也就是说，7×28 =7×20 +7×8。
我们也可以利用几何图形来理解分配律。如下图所示，请从两个不同的角度观察长方形的面积。
用长方形面积证明分配律：a (b + c) = ab + ac
从一个角度看，长方形的面积是a (b + c)。从另一个角度看，长方形左边部分的面积是ab，右边部分的面积是ac，总面积是ab + ac。这可以证明，只要a、b、c是正数，分配律就是成立的。
顺便告诉大家，我们有时候会在数字与字母并存的情况下应用分配律。例如：
3 (2x + 7) = 6x + 21
从左至右看，这个方程式可以看作2x + 7的3倍。从右至左看，它又可以看作通过从6x和21中提取3的方式对6x + 21进行因式分解。
延伸阅读
负数与负数的乘积是正数，这是为什么？例如，为什么 (–5)×(–7)= 35？针对这个问题，老师们给出了各种各样的解释。有的以抵销债务打比方，有的干脆说“就是这样的，没有什么道理可讲”。但是，真正的原因在于，我们希望分配律不仅适用于正数，而且适用于所有的数字。如果分配律对负数（和零）同样有效，就必须符合上述规则。下面，我来解释其中的道理。
假设我们承认 –5×0 = 0，–5×7 = –35。（我们也可以证明这两个等式是成立的，但是大多数人宁愿把它们作为一种事实来接受。）现在，观察下面这个算式：
–5×(–7 + 7)
它的得数是多少呢？从一个方面看，它等于 –5×0，而且我们已经知道 –5×0=0。从另一个方面看，我们可以利用分配律将它变形为［(–5)×(–7)］+ (–5×7)。因此：
［(–5)×(–7)］+(–5×7) =［(–5)×(–7)］–35 = 0
而且，由于［(–5)×(–7)］–35 = 0，由此可推导出(–5)× (–7)= 35。总之，无论a、b的值是多少，分配律都可以确保 (–a)×(–b) = ab成立。
奇妙的FOIL法则
代数中的FOIL法则是分配律产生的一个重要结果。对于任意变量a、b、c、d，都有：
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL是“First–Outer–Inner–Last”（首—外—内—末）的英文首字母缩写。在上式中，ac是 (a + b) (c + d)的两个首项的乘积，ad是外侧的两项乘积，bc是内部的两项乘积，bd是两个末项的乘积。
下面，我们利用FOIL法则来求两个数字的乘积：
23×45 = (20 + 3)×(40 + 5)
=20×40 + 20×5 + 3×40 + 3×5
= 800 + 100 + 120 + 15
= 1 035
延伸阅读
FOIL法则为什么成立呢？根据分配律（我们把求和的部分写到前面），可以得到：
(a + b) e = ae + be
如果用c + d 代替e，上式就会变成：
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
而且，在最后一步运算中再次应用了分配律。如果大家愿意，也可以利用几何证明法（在a、b、c都是整数时）。请利用两种不同的方法计算如下长方形的面积。
一方面，长方形的面积是 (a + b) (c + d)。另一方面，我们可以将大长方形分成4个小长方形，它们的面积分别是ac、ad、bc和bd。因此，大长方形的面积又等于ac + ad + bc + bd。把这两个面积的表达式放在一起，就得到了FOIL法则。
下面，我向大家介绍FOIL法则的一个奇妙应用。按照下列指示，抛掷两个色子。假设你抛出这两个色子之后，一个色子朝上的一面是6个点，另一个是3个点。它们朝下的一面分别是1个点和4个点。
在这个例子中，最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子，重复上述步骤，最后的得数都是一样的。这是因为，每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此，当色子朝上一面的点数是x和y时，那么朝下一面的点数就必然是7 – x和7 – y。利用代数知识，上述步骤就会变成：
请注意，在第三步我们应用了FOIL法则（还请注意，–x乘以–y得到正的xy）。换一个代数运算较少的方法，最终也能得出49。观察每一步，就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开［x + (7 – x)］［y + (7 – y)］后得到的4项。
在课堂上学习代数时，FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式：
(x + 3) (x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12
我们注意到，在最终的算式中，7［被称作x项的“系数”（coefficient）］正好是数字3和4的和，12［被称作“常数项”（constant term）］则是3和4的乘积。例如，由于5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我们立刻就可以得出：
(x + 5) (x + 7) = x2 + 12x + 35
这个规律对于负数同样有效，下面我列举几例。在第一个例子中，我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
(x + 6) (x – 2) = x2 + 4x – 12
(x + 1) (x – 8) = x2 – 7x – 8
(x – 5) (x – 7) = x2 – 12x + 35
以下是数字相同时的乘法算式实例。
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5) = x2 + 10x + 25
(x – 5)2 = (x – 5) (x – 5) = x2 – 10x + 25
请注意，(x + 5)2 ≠ x2 + 25！代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时，当这些相同数字前面的正负号正好相反时，就会出现一个有趣的现象。例如，由于5 + (– 5) = 0，因此：
(x + 5)(x– 5) = x2 + 5x – 5x – 25 = x2 – 25
总的来说，平方差（difference of squares）公式值得我们背下来：
(x + y)(x – y) = x2 – y2
我们在第1章学习平方数的简便运算时用过这个公式，当时依据的代数知识是：
A2 = (A + d) (A – d) + d2
我们先验证这个公式是否成立。根据平方差公式，我们发现[ (A + d) (A – d )] + d2 =（A2 – d2） + d2 = A2。因此，无论A和d的值是多少，该公式都成立。在实际应用中，A是平方运算的底数，d是该数与其最接近的简便数字之差。例如，在求97的平方数时，我们取d = 3，于是：
972 = (97 + 3)(97 – 3) + 32
= (100×94) + 9
= 9 409
延伸阅读
下面，我们通过图形来验证平方差公式是否成立。从下图可以看出，面积为x2 – y2的几何图形经过切割、拼接之后，可以变成一个面积为(x + y)(x – y)的长方形。
我们在第1章学过计算彼此接近的两个数字乘积的简便方法。当时，我们强调这两个数字都接近100，或者首位数相同。一旦理解了这个算法背后的代数原理，我们就可以进一步扩大它的应用范围。下面，我们讨论就近取整法的代数原理。
(z + a) (z + b) = z (z + a + b) + ab
这个公式之所以成立，是因为(z + a) (z + b) = z2 + zb + za + ab，从前三项中提取z，即可得到上述公式。尽管这些变量取任何值时,该公式都成立，但我们通常会为z选择个位数是0的值。例如，在解43×48这道题时，令z = 40，a = 3，b = 8。于是：
43×48 = (40 + 3) (40 + 8)
= 40 (40 + 3 + 8)+ (3×8)
= 40×51 +3×8
= 2 040 + 24
= 2 064
注意，原题中的两个乘数之和为43 + 48 = 91，而简便计算中的两个乘数之和也是40 + 51 = 91。这并不是巧合，因为根据代数运算的结果，原来的两个乘数之和为(z + a) + (z + b) = 2z + a + b，简便运算中两个乘数z与z + a + b的和也是2z + a + b。根据这个代数原理，我们发现向上取整也可以降低运算的难度。例如，在解43×48这道题时，也可以令z = 50，a = –7，b = –2，把其变成50×41。（只要知道43 + 48 = 91 = 50 + 41，就可以方便地确定41这个数值。）于是：
43×48 = (50 – 7) (50 – 2)
= (50×41) + (–7)×(–2)
= 2 050 + 14
= 2 064
延伸阅读
在第1章中，我们利用这个方法计算两个略大于100的数字的乘积。其实，计算两个略小于100的数字的乘积时，这个方法同样有效。例如：
96×97 = (100 – 4) (100 – 3)
= (100×93) + ( – 4)×( – 3)
= 9 300 + 12
= 9 312
请注意，96 + 97 = 193 = 100 + 93。（在实际应用时，我只看两个数字的末位数，在这个例子中是6 + 7，这表明与100相乘的那个数字的末位数是3，因此我知道这个数字必然是93。）而且，在熟练掌握这个方法之后，我们就无须计算两个负数的乘积，而是直接取它们的正值，再求它们的乘积。例如：
97×87 = (100 – 3) (100 – 13)
= 100×84 + 3×13
= 8 400 + 39
= 8 439
在一个乘数略大于100，而另一个乘数略小于100时，也可以应用这个方法。但在这种情况下，最后一步是减法运算。例如：
109×93 = (100 + 9) (100 – 7)
= 100×102 – 9×7
= 10 200 – 63
= 10 137
同样，其中的102可以通过109 – 7或93 + 9或109 + 93 – 100等方法得到（还可以通过对原来两个乘数的末位数进行加法运算的方式得到：9 + 3告诉我们这个数字的末位数应该是2，有了这个信息，我们就可以做出判断了）。在实践中，我们可以利用这个方法完成任意两个比较接近的数字的乘法运算。下面，我再举两个有一定难度的三位数乘法的例子。注意，在这两个例子中，数字a和b都不是一位数。
218×211 = (200 + 18) (200 + 11)
= 200×229 + 18×11
= 45 800 + 198
= 45 998
985×978 = (1 000 – 15) (1 000 – 22)
= 1 000×963 + 15×12
= 963 000 + 330
= 963 330
求解未知数x
在本章前面部分给出的几个例子里，我们在解某些方程式时应用了代数的黄金规则。如果方程式仅包含一个变量（例如x），且方程式两边都是线性的（仅包含数字和x的倍数，而没有像x2这种比较复杂的项），x的值就比较容易求解。例如，在解方程式9x – 7 = 47时，我们可以在方程式两边同时加上7，得到9x = 54，然后两边同时除以9，算出x = 6。
对于复杂程度稍高的代数问题，例如：
5x + 11 = 2x + 18
我们只需要在方程式两边同时减去2x，再同时减去11（如果你愿意，也可以将这两步合并，即方程式两边同时减去2x + 11），就会得到：
3x = 7
因此，原方程式的解是x = 7 / 3。所有线性方程式最终都可以简化成ax = b（或者ax–b = 0）的形式，从而求解出x = b / a（假设a≠0）。
二次方程式的复杂程度有所提高（因为需要考虑变量x2的问题）。最简单的二次方程式是如下这种：
x2 = 9
该方程式有两个解：x = 3和x = – 3。如果方程式右边不是完全平方数，比如x2 = 10，则该方程式有两个解：x = = 3.16…和x = –= –3.16…。在一般情况下， （n > 0）被称作n的平方根，表示某个二次幂等于n的整数。在n不是完全平方数时，我们通常可以利用计算器计算的值。
延伸阅读
如果x2 = –9呢？迄今为止，我们认为这个方程式无解。的确，任何实数（real numbers）的平方数都不会等于–9。但是，当读到本书第10章时，你会发现这个方程式其实有两个解，即x = 3i和x = –3i，其中i是一个虚数（imaginary numbers），它的平方数等于 –1。如果你觉得这个说法难以理解，甚至荒谬可笑，也没有关系。别忘了，在刚接触负数（negative numbers）时，你也曾觉得不可思议。（怎么可能有比0还小的数呢？）你现在需要做的就是以正确的方式看待这些数字，以后你会慢慢理解它们的含义的。
下面这个方程式：
x2 + 4x = 12
它的难度有所增加，因为多了4x这个项。不过你不用着急，对于这类方程式，我们有好几种解法。同心算一样，方程式也常常有多种解法。
我在遇到这类方程式时，会先尝试因式分解法。第一步是将所有项全部移到等式左边，等式右边只保留一项：0。于是，上述方程式变成：
x2 + 4x – 12 = 0
然后呢？我发现我们的运气还不错，根据FOIL法则，x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2)。于是，这个方程式又可以变形为：
(x + 6) (x – 2)= 0
两个数字的乘积为0，那么这两个数字中至少有一个是0。由此可知x + 6 = 0或x – 2 = 0，即：
x = – 6或x = 2
经检验，它们都是方程式的解。
根据FOIL法则，(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab。因此，二次方程式的因式分解与猜谜语有点儿相似。例如，在解上面那个方程式时，我们必须找出和为4、积为 –12的两个数a、b。找到答案a = 6、b = – 2之后，就可以分解因式了。举一个例子供大家做练习：请分解x2 + 11x + 24。现在的问题是：找出和为11、积为24的两个数。由于数字3、8满足条件，因此我们知道x2 + 11x +24 = (x + 3) (x + 8)。
假设我们遇到像x2 + 9x = –13这样的方程式，就会发现x2 + 9x + 13不容易进行因式分解。但是，我们无须担心！在这种情况下，我们可以求助于二次方程求根公式。这是一个非常有用的公式，它告诉我们方程式ax2 + bx + c = 0的解是：
其中，符号“±”的意思是“加或减”。我们举一个例子，对于方程式
x2 + 4x – 12 = 0
我们知道，a = 1，b = 4，c = –12。
根据二次方程求根公式，我们知道：
所以x = – 2 + 4 = 2或x = – 2 – 4 = –6是原方程式的解。我想，对于这类问题，你肯定认为因式分解法更直观。
延伸阅读
解二次方程式的另一个有意思的方法叫作“配方法”（completing the square）。对于方程式x2 + 4x = 12，在两边同时加上4，把方程式变为：
x2 + 4x + 4 = 16
这样做的目的是让方程式左边变成 (x + 2) (x + 2)。因此，上述方程式变形为：
(x + 2)2 = 16
换句话说，(x + 2)2 = 42。于是：
x + 2 = 4或x + 2 = – 4
也就是说，x = 2或x = – 6。这与我们在前文中的计算结果是一致的。
但是，对于方程式
x2 + 9x + 13 = 0
最好的选择则是采用二次方程求根公式。a = 1，b = 9，c = 13，根据二次方程求根公式，我们算出：
若用前面介绍的其他方法，就很难解出这道方程式。数学领域中需要记忆的公式并不多，但二次方程求根公式毫无疑问是其中之一。只要稍加练习，你就会发现这个公式应用起来实在是太简单了！
延伸阅读
那么，二次方程求根公式为什么成立呢？我们把方程式ax2 + bx + c = 0改写成：
ax2 + bx = – c
两边同时除以a（a不等于0），就会得到：
由于，因此我们可以在上述方程式两边同时加上，对方程式进行配方运算：
两边同时开平方，得到：
它就是我们要求的x的解。
方程式的图像
17世纪的法国数学家费马[2]和笛卡儿[3]在各自的研究中发现，代数方程式可以用图像直观地呈现出来；反之，几何图形也可以用代数方程式表示。他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化。
我们先来看一个简单方程式的图像：
y = 2x + 3
该方程式表明，对于变量x的每一个值，在把它加倍并加上3之后，就可以得到y的值。下表中列出了几组x、y的值，据此我们绘制出这些点，本例中的点有(–3, –3)、(–2, –1)、(–1, 1)等。将这些点连接起来，所得到的就是方程式的图像。下图是方程式y = 2x + 3的图像。
方程式y = 2x + 3的图像
下面，我向大家介绍一些重要的术语。上图中的那条水平线叫作x轴，垂直的那条线叫作y轴。本例中的图像是一条直线，斜率是2，y轴截距是3。斜率表示这条直线的倾斜程度。斜率是2，意味着x每增加1个单位，y就会增加2个单位（从上图可以看出这个特点）。y轴截距表示x = 0时y的值。从几何学的角度看，它表示这条直线与y轴相交的位置。一般而言，方程式y = mx + b的图像是斜率为m、y轴截距为b的一条直线（反之亦然）。通常，我们通过方程式来识别直线，因此我们可以直接说，上图代表的就是直线y = 2x + 3。
下图是直线y = 2x – 2和y = –x + 7的图像。
y = 2x – 2和y = –x + 7的图像在哪里相交？
直线y = 2x – 2的斜率是2，y轴截距是 –2。（该图像与直线 y = 2x + 3平行，将后者垂直向下平移5个单位后即可得到直线y = 2x – 2。）y = –x + 7的图像斜率是 –1，这表示x每增加1个单位，y就会减少1个单位。接下来，我们通过代数运算，找出这两条直线的交点 (x, y)。在这两条直线相交的位置，这两个方程式的x和y值是相同的。因此，我们需要找到y值相同时所对应的x值。换句话说，我们需要求解下面这个方程式：
2x – 2 = – x + 7
方程式左右两边同时加上x再加上2，就可以得到：
3x = 9
因此，x =3。只要知道x的值，我们就可以利用这两个方程式中的任意一个求出y的值。由于 y = 2x – 2，x=3，所以y = 2×3 – 2 = 4。（或者因为y = –x + 7，x=3，所以y = – 3 + 7 = 4。）由此可见，这两条直线的交点是 (3, 4)。
直线的图像是很容易画出来的，因为只要知道直线上的任意两点，就可以画出整条直线。对于二次函数（包含变量x2）而言，要画出它的图像就不那么容易了。图像最简单的二次函数是 y = x2（如下图所示）。二次函数的图像被称为“抛物线”。
y = x2的图像
下图是y = x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2) 的图像。
y = x2 + 4x – 12 = (x + 6) (x – 2) 的图像（y轴的刻度做了调整）
注意，当x = – 6或x = 2时，y = 0。我们从图像上可以看出，抛物线正好与x轴相交于这两个点。抛物线的最低点必然位于这两个点的中间位置，此时x = – 2。点 (– 2, – 16)被称为抛物线的“顶点”。
在日常生活中，我们每天都会与抛物线打交道。一个物体（无论是棒球还是喷泉）被抛出之后，其运动轨迹近似于一条抛物线（如下图所示）。在设计汽车车头灯、望远镜、圆盘式卫星电视天线时，人们也都参考了抛物线的特点。
喷泉示意图（其对应的抛物线为y = –0.03x2 +0.08x + 70）
现在，我需要向大家介绍一些术语了。到目前为止，我们所讨论的都是“多项式”（polynomials），即数字与单个变量（例如x）的组合，其中变量x可以是正整数次幂的形式。最高的幂次被称为多项式的“次数”（degree）。例如，3x + 7是次数为1的（线性）多项式。次数为2的多项式（例如 x2 + 4x – 12）被称为二次多项式（quadratic）。次数为3的多项式（例如5x3– 4x3 –）被称为三次多项式（cubic）。次数为4和5的多项式分别叫作四次多项式（quartic）和五次多项式（quintic）。（我没听说过有哪些专有名词可以表示次数更高的多项式，主要原因是这样的多项式在现实中很少见。7次多项式是不是可以用“septic”这个英文单词来表示呢？有人认为可以，但我觉得并不好。）不含有变量的多项式（例如多项式17）的次数为0，被称为常数多项式。最后，多项式不允许包含无穷多项。例如，1 + x + x2 + x3 + …不是多项式。［它是一个“无穷级数”（infinite series），我将在第12章详细介绍这个概念。］
注意，多项式中变量的次数只能是正整数，而不能是负数或者分数。例如，如果方程式中含有1 / x或者等项，我们就不能称其为多项式，因为我们知道1 / x = x–1，= x1 / 2。
我们把多项式的“根”（roots）定义为当该多项式等于0时x的值。例如，3x + 7有一个根，即x = –7 / 3。x2 + 4x – 12的根是x = 2和x = – 6。有的多项式（例如x2 + 9）没有（实）根。注意，所有的一次多项式（直线）都有且只有一个根，因为这条直线与x轴有且只有一个交点。二次多项式（抛物线）最多有两个根。多项式x2 + 1、x2 和x2 – 1分别有0、1和2个根。
y = x2 + 1和y = x2 – 1的图像（这两个多项式分别有0和2个根。 y = x2 的图像在前文中已经给出，该多项式只有1个根）
下图是三次多项式的图像。我们从图中可以看出，它们最多有3个根。
y = (x3–8) / 10 = (x–2)(x2 + 2x + 4)和y = (x3–7x + 6)/ 2 = (x + 3) (x–1) (x–2)的图像（这两个多项式分别有1和3个根）
在本书第10章，我们将接触到“代数的基本定理”。该定理告诉我们，每个n次多项式最多有n个根，经过因式分解后，可以转变成线性多项式和二次多项式组合的形式。例如：
(x3–7x + 6) / 2 = (x–1) (x–2) (x + 3)
它有3个根（1、2和 –3），而x3 – 8 = (x – 2) (x2 + 2x + 4)只有一个实根，即x = 2。（它还有两个复根，但要到第10章我们才会讲到这些概念。）顺便告诉大家，现在只要在我们常用的搜索引擎中输入方程式，就可以方便地得到大多数函数的图像。例如，输入“y = (x3 –7x + 6) / 2”，就可以得到一个与上图类似的图像。
我们在本章已经学习了如何方便地找到线性和二次多项式的根。事实上，三次和四次多项式也有求根公式，但都极其复杂。这些公式是在16世纪被找到的，在随后200多年的时间里，人们试图找到五次多项式的一般求根公式。众多天才数学家前赴后继地投身于这项研究，结果都徒劳无功。19世纪初，挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）成功地证明了五次以及更高次的多项式不可能有通用的求根公式。他为世人留下了一个只有数学界才能参透其中玄机的谜题：为什么艾萨克·牛顿没有证明五次多项式没有一般求根公式的不可能定理呢？答案是：他不是阿贝尔！[4]我们将在本书第6章讨论如何证明不可能性。
延伸阅读
为什么x–1 = 1 / x呢，例如，5–1 = 1 / 5？请观察下列数字，找出其中的规律：
53 = 125，52 = 25，51 = 5，50 = ?，5–1 = ?，5–2 =?
注意，只要我们认真思考，就会发现：指数减去1，这个数字就要被5除。要让这个规律成立，我们就需要让50 = 1，5–1 = 1 / 5，5–2 = 1 / 25，以此类推。不过，真正的原因是“指数法则”。指数法则指出，xaxb = xa +b。当a、b是正整数时，指数法则不难理解。例如，x2 = x·x，x3 = x·x·x。因此：
x2·x3 = (x·x) (x·x·x) = x5
既然a、b的值为0时，该法则也成立，那么：
xa +0 = xa·x0
由于方程式左边等于xa，因此右边也必须等于xa，这就要求x0 = 1。
由于我们希望指数法则对于负整数同样成立，因此我们必须接受：
x1·x–1 = x1+ (–1) = x0 = 1
方程式两边同时除以x，就会发现x–1 必须等于1 / x。同理，我们可以证明x–2 = 1 / x2，x–3 = 1 / x3，等等。
由于我们希望指数法则对于所有实数也成立，因此我们必须接受：
x1 / 2 ·x1 / 2 = x1 / 2 +1 / 2 = x1 = x
因此，当x1 / 2与自身相乘时就会得到x，也就是说，（当x是正数时，）x1 / 2=。
魔术背后的代数定理
在本章开头，我为大家介绍了一个魔术。在结束本章之前，我再为大家介绍一个基于代数原理的魔术。
第一步：从1到10中选择两个数字。
第二步：把这两个数字相加。
第三步：乘以10。
第四步：加上你最初选择的两个数字中较大的那个。
第五步：减去你最初选择的两个数字中较小的那个。
第六步：告诉我你现在得到的数字，我就可以说出你最初选择的那两个数字分别是几！
无论你是否相信，只要你告诉我最后的数字，我就可以准确地说出你最初选择的那两个数字是什么。例如，如果你告诉我的数字是126，你最初选择的两个数字就是9和3。这个魔术比较神秘，即使你重复表演几次，观众也很难找出其中的奥秘。
下面，我来揭开其中的秘密。要找出其中较大的那个数字，你先取最后得数的末位数（在这个例子中，最后得数的末位数是6），然后与前面数位上的数（12）相加，再除以2。这样，我们就可以找出较大的数字是 (12 + 6) / 2 = 18 / 2 = 9。接下来，你用这个较大的数字（9），减去最后得数的末位数（6），即可得到较小的那个数字。在这个例子中，就是9 – 6 = 3。
再举两个例子。如果最后得数是82，那么较大的数字是 (8 + 2) / 2 = 5，较小的数字是5–2 = 3。如果最后得数是137，那么较大的数字是 (13 + 7) / 2 = 10，较小的数字是10–7 = 3。
这是为什么呢？假设你最初选择的两个数字是X和Y，其中X大于或等于Y。根据魔术的要求以及下表中的代数运算，我们会发现在完成第五步之后，你会得到10(X + Y) + (X – Y)。
知道第五步的结果，有什么用呢？注意，10(X + Y)这个数字的末位数必然是0，而0之前数位上的数字是X + Y。既然X和Y都是从1到10之间的数字，且X大于或等于Y，那么X – Y必然是一位数（介于0到9之间）。因此，最后得数的末位数必然是X – Y。例如，如果你最初选择的两个数字是9和3，那么X = 9，Y = 3。因此，最后得数的前两位数是X + Y = 9 + 3 = 12，末位数是X – Y = 9 – 3 = 6，也就是说，最后得数必然是126。一旦我们知道X + Y和X– Y的值，就可以算出它们的平均数 ［(X + Y) + (X – Y)］/ 2 = X。同时，我们可以通过 ［(X + Y) –(X – Y)］/ 2确定Y的值［在这个例子中，Y= (12 – 6) / 2 = 6 / 2 = 3］。不过，我发现，既然X – (X – Y) = Y，那么我们只需用较大数字减去最后得数的末位数，就可以方便地找到较小数字。
延伸阅读
如果你希望在魔术表演时挑战更大的难度（难度再大，观众都不怕，因为他们可以使用计算器），也可以让观众从1到100中任选两个数字。在这种情况下，你要让他们在第三步乘以100，而不是10。除此之外，其余步骤不变。例如，如果他们最初选择的两个数字是42和17，那么在第五步，他们给出的最后数字就是5 925。你先将这个数字的最后两位与其余数位分开，然后求两个部分的平均值。因此，较大数字是 (59 + 25) / 2 = 84 / 2 = 42。再从较大数字中减去最后得数的后两位，即可得到较小数字，本例中就是42 – 25 = 17。整个过程的原理与前面介绍的大致相仿，只不过在第五步得到的数字是100(X + Y) –(X – Y)，其中X – Y是最后得数的后两位。
再举一例。如果最后得数是15 222（即X + Y = 152，X – Y = 22），那么较大数字是 (152 + 22) / 2 = 174 / 2 = 87，较小数字是87 – 22 = 65。
[1] “10 Q”（ten Q）与“谢谢”（thank you）的发音比较接近。——译者注
[2] 皮埃尔·德·费马（Puerre de Fermat，1601—1665），法国律师和业余数学家，被视为17世纪最伟大的法国数学家之一。——译者注
[3] 勒内·笛卡儿（René Descartes，1596—1650），法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家，被视为解析几何之父。——译者注
[4] 原文“He wasn’t Abel!”的谐音是“He wasn’t able!”（他证明不了！）——译者注