第5章 冰封之河
时间是流动的吗
在人们所接触过的各种概念中，时间是人们最熟悉但却最难以理解的一个。我们常说时光飞逝，我们也说时间就是金钱，我们总是试图节约时间，虚度光阴便感伤不已。但是，时间究竟是什么呢？按圣·奥古斯丁和波特·斯图尔特大法官16的说法，我们看一眼就知道时间是怎么回事。但是，在这新千年破晓之际，我们对时间的理解势必要深刻一些。事实上在某些方面，我们的确理解得深刻了一些。但在另一些方面，却不是这样。经过几个世纪的困惑和思考，我们已经洞悉到了时间的一些神秘之处，但留给我们的还有许多未解之谜。时间到底来自何方？一个没有时间的宇宙意味着什么呢？时间能像空间那样不只有一个维度吗？我们能够到过去“旅行”吗？如果能的话，我们可以改变某些事情的结局吗？时间有没有绝对意义上最小的量呢？时间是宇宙组成中真正的基本要素呢，还是单单为了协调人类感知而生的一种有用但却无法在写有宇宙的最基本原理的字典中找到的概念呢？时间是不是由某些尚未发现的更基本的概念派生出来的呢？
完备且令人信服的回答这些问题可算是当代科学家最雄心勃勃的目标。但科学家们要回答的并不仅仅是这些大问题。有些最棘手的宇宙学难题甚至来自于日常生活中的时间体验。
时间与体验
狭义相对论与广义相对论粉碎了时间的普适性和唯一性。根据相对论，我们每个人都拥有旧的牛顿体系中的普适时间的一块碎片。它成为我们个人的时钟，无情地把我们从一个时刻推到下一个时刻。相对论令我们震惊，因为当我们每个人的时钟滴滴答答地均匀地前进时，我们大家对时间的直觉感受没问题，但把我们的时钟与其他人的时钟相比时却会发现不同之处。你的时间没必要与我的时间一样。
我们可以把这种思想看做是一种给定条件。但对我而言，时间的真正本质究竟是什么呢？如果一开始就不与其他人的时间体验做比较，那么个人体验和构想的时间的全部特点是什么呢？这些体验有没有准确的反应时间之本性呢？关于实在性的本质，它们又会告诉我们什么呢？
我们的经验告诉我们，显而易见，过去不同于未来。未来代表了许多可能性，而过去则只有一种可能，就是实际发生的情形。我们有能力在一定程度上去影响、去塑造未来，而过去是不可改变的。在过去和未来之间的是现在的概念——每时每刻都在变化的短暂瞬间，就像电影中的画面，当放映机的强光扫过画面时就成为瞬间的现在。时间看起来以一种无休止的、完美又均匀的节奏不断前进，一次次的抵达每个一闪即逝的现在。
我们的体验也告诉我们时间具有很明显的方向性。比如我们没有必要为牛奶洒出而大惊小怪，因为一旦溢出来就不可能再回去了：我们从未见过洒出的牛奶自己汇聚起来，从地板上一跃而起，然后汇集到厨房柜台直立的玻璃杯里。我们的世界就像一支单向的时间之箭，从未偏离固定的模式：事物开始于此而终止于彼，但却不能反过来，开始于彼而终止于此。
因此，我们的经验告诉我们时间的两个特点。第一，时间看起来是可以流动的。这就像我们站在时间之河的岸旁，看着汹涌澎湃的急流奔腾而去，每一朵未来的浪花经过我们的那一刻就成为现在，当急流远去奔向下游时就是过去。如果你觉得这种理解太过被动的话，可以把这个比喻颠倒一下：时间之河载着我们毫不停歇地向前驶去，从现在到下一刻，经过的景色远远褪去之时就成为过去，未来总在下游等待着我们（经验告诉我们，时间这个概念常常激发一些让人多愁善感的比喻）。第二，时间是有方向的。时间之流看起来朝向一个方向而且只能朝一个方向，这就意味着事情的发生只能有一种时间上的顺序。如果某人给你一盒牛奶溢出的胶卷，但胶卷被切割成了单独的几部分，通过查看这堆图像，你可以按正确的顺序重组这些图片，而完全不用胶片制作人给你任何指示或帮助。时间看起来有内在的方向性，从我们所谓的过去指向未来，事物总在变化——牛奶洒出，鸡蛋破碎，蜡烛燃烧，人会变老——普遍来说总是按照这个方向。
时间的这些最易于为人所感受的特点最使人困惑。时间真的会流动吗？如果答案是肯定的话，那么什么才是实际意义上的流动呢？时间这家伙流动得究竟有多快呢？时间真的有方向吗？举个例子来看，空间看起来就没有内在的方向——对于处在宇宙黑暗中的宇航员而言，左右、前后以及上下，都是一样的——那么时间的方向性是从何而来的呢？如果时间有方向的话，它是绝对的吗？或者说事情可以向时间之箭的反向演化吗？
让我们先在经典物理学的背景下，来看看我们对这些问题的理解。在本章其他部分和下一章（我们将会分别讨论时间的流动性和时间之箭）中我们将忽略量子概率和量子的不确定性。不过我们的讨论所得可以直接推广到量子领域，而在第7章中，我们就将从量子的角度来看看这个问题。
时间会流动吗
从有意识的人的角度来看，答案是显然的。当我打出这些字时，清晰地感觉到了时间在流动。每一次按键，都意味着现在将让位于下一刻的到来。当你读这些字，当眼睛从一个字扫到下一个字时，你也一定感觉到了时间的流动。但是，虽然物理学家们努力尝试过，可没有人在物理定律中找到任何令人信服的证据，支持时间可以流动这种直观感受。实际上，对爱因斯坦狭义相对论思想的一些再思考却为时间不会流动提供了证据。
为了便于理解，我们来回忆一下第3章中介绍过的时空的面包片描述。面包条的每一切片是某个观测者的现在；每一片都代表着他或她眼中某一时刻的空间。这些切片一片接一片的按照观测者的体验排列起来的整体，就是一片时空区域。如果我们将这种设想推向极端，将每一片都想象成可以描述观测者眼中某一时刻的全部空间，如果我们再将从古老的过去到遥远的未来间所有可能的切片都考虑进来，这块面包就将代表所有时间内的整个宇宙——整个时空。每一个事件，无论何时何地发生，都可以用面包中的某个点来代表。
如图5.1所示，但这种描述法可能会令你抓狂。站在该图“外面”，我们可以看到整个宇宙，每一时刻的整个空间，这种图外人的角度是一种虚构的有利位置，没有人有过这种体验。我们都处在时空中。你或我曾经拥有的每一次体验都在某一时刻发生于空间的某个位置。因为图5.1描绘了整个时空，它包含了类似的所有体验——你的，我的，以及每个人和每一件事情。如果你能把镜头推近并密切关注地球上所发生的一切，你将会看到亚历山大大帝正在上亚里士多德的课，列奥纳多·达·芬奇在为蒙娜丽莎画上最后的一笔，乔治·华盛顿横渡特拉华河；17你从左到右继续观看，就将看到你的祖母正在跟一个小女孩玩，你父亲在庆祝他的第10个生日以及你在学校的第一天；再往右边远一点的图像看去，你会看到自己正在看这本书，你曾孙女出生了，再远一点，有她成为总统的就职典礼。图5.1的分辨率太过粗糙，实际上你不会看到这些，但你能看到太阳和地球的构造史（图解），从它们诞生于气体凝合到太阳变成了红巨星时的地球灭亡。所有发生的事情都可以看到。
图5.1 所有时间中的全部空间的示意图（当然，图上画的只是一段时间中的部分空间）。图中画出了某些早期星系的形成，太阳和地球的形成，还画出了当太阳终于燃烧殆尽最终成为红巨星时地球的终极命运。我们的未来就在这张图中。
毫无疑问，图5.1是想象出来的，它位于空间和时间之外，没有哪个地方也没有哪个时刻能提供这样的视角。虽然如此——虽然我们实际上无法摆脱时空的限制，遍览宇宙的全貌——图5.1的描述还是为我们提供了一种分析和弄清楚空间和时间基本特性的有力方法。作为主要的例子，在这一框架下，时间流动性的直观感受可以用电影放映机比喻的变体生动地勾画出来。想象有一束光，一片接一片的照亮时间片，使每一时间片短暂地亮一下——使时间片成为瞬间的现在——当光照射到下一个时间片时作为现在的时间片就即刻熄灭。现在，按照这种直观方式思考时间，光照亮了某一切片，而时间片中的你在地球上，正在读这些字；光又照亮了另一切片，而另一时间片中的你还在地球上，正在读这些字。但是，又一次，虽然这种图像看起来与日常经验相一致，科学家们却无法找到适合的物理原理来描述这样一种活动的光。他们仍未找到这样一种物理机制，当其朝着未来不断演化时，能够使某一时刻瞬间变得真实——变成瞬间的现在。
正相反。尽管图5.1的视角是想象出来的，但却有令人信服的证据表明，时空条——整个时空，而不是单个的时空片——是真实的。爱因斯坦的工作中尚未引起普遍重视的一点是，在狭义相对论中，所有的时刻都具有同等的地位。虽然现在的概念在我们的世界观中起着重要的作用，但相对性却要再一次颠覆我们的直觉，它声称我们的宇宙是一个平等的宇宙，每一时刻都是同样真实的。第3章中在狭义相对论的框架下讨论旋转的桶的问题时，我们就曾遇到过这个问题。在那里，通过类似于牛顿式的间接推理，我们得出结论，时空足可以作为加速运动的基准。在这里，我们从另一个角度再来考虑这个问题并进一步深入。我们认为图5.1中的时空条的每一部分与其他部分具有同等地位，这正表明，就像爱因斯坦所相信的那样，过去、现在和未来具有同样的实在性，我们所想象出来的时间之流——时空片一片接一片的变得光亮或黯淡——只是一种幻觉。
过去、现在和未来的持续幻象
为了便于理解爱因斯坦的观点，我们需要实在性的有效定义，如你愿意的话叫做算法也行，以便明确某一给定时刻都存在着哪些事情。现在给出一种通用的办法。当我考虑实在性——在这一时刻存在哪些东西——时，我在头脑中立刻勾画出了一幅快照，此时此刻整个宇宙的静止图像。当我打下这些字时，我对此时此刻存在什么的感觉，对实在性的感觉，可以列很长一张目录——午夜时分厨房时钟的滴答声；我家的猫在地板和窗沿之间攀爬；照亮都柏林清晨的第一缕阳光；东京股票交易所的喧闹声；太阳中两个特殊氢原子的融合；猎户座星云所发射出的光子；垂死的恒星衰变为黑洞的最后一刻——这些就是此刻我头脑中所出现的静止图像。这些就是此时此刻正在发生的事情，因此，它们就是我所宣称的存在于此刻的事物。查理曼大帝现在还在吗？不。尼禄现在还在吗？不。林肯现在还在吗？不。埃尔维斯18现在还在吗？不。他们当中没有一个出现在我现在的目录中。现在有人在2300年或3500年或57000年出生吗？不。他们中没有一个出现在我头脑中的静止画面里，没有一个在我现在的时间片中，因此，也没有任何一个在我目前的现在列表中。因此，我毫不犹豫地说，他们现在不存在。我就是这样定义任一给定时刻的实在性；这是我们当中大多数人思考存在性时，虽然常常是不知不觉中，但常用的一种直观的方法。
在下面的讨论中，我将会用到这样的概念，但仍然要警醒棘手的一点。一张关于现在的目录——用这种方法来思考实在性——是一件很有意思的东西。你此刻所看见的一切事物都不会出现在你的现在的目录里，因为光需要花一段时间才能到达你的眼睛。任何你看到的事情都是已经发生过的了。你现在读到的该页中的文字这事并不是现在发生的；实际上，如果书离你有1英尺（1英尺≈0.3048米）远，你所看到的字是它们十亿分之一秒之前的样子。如果你在房间中四处看看，你所看到的一切都是它们十亿分之一秒或二十亿分之一秒之前的样子；如果你的目光贯穿整个大峡谷19，你所看到的是它万分之一秒之前的样子；当你看月亮时，你看到的是它一秒半之前的情形；当你看太阳时，你看到的是它8分钟之前的情形；对于裸眼可见的恒星而言，你看到的是几十年乃至1万年之前的情形。令人惊奇的是，虽然头脑中的静止图像描述了我们对于实在性的感觉，我们对“那儿有什么”的直观感觉，但它所包括的却是我们此刻不能去体验，或者影响，甚至不能现在就记录的事件。事实上，一张现在的目录只能事后编辑。如果你知道某物距离你有多远，你就能决定现在所看到的光是何时发出的，因而你就能决定它到底属于哪个时间片——上面应当记录着已经过去的时刻的现在目录。不过，这点正是关键，当我们用这些信息去编辑任意给定时刻的现在目录时，我们得根据从更远的源头收集到的光信号不断更新这张目录，上面记录的事情正是我们直觉上相信发生于那一刻的事情。
奇怪的是，这种直截了当的思考方式将会出人意料地扩展实在性的概念。你想，根据牛顿的绝对空间和绝对时间概念，在任一个给定时刻，每个人头脑中的宇宙静态画面都应该包含相同的东西；每个人的现在都是同样的现在，因此所有人在某一时刻的现在目录都是一样的。如果某人或某物在你的某一时刻的现在目录上，那它必然也在我的同一刻的现在目录上。大多数人的直觉仍然是这种思维方式，但是相对论却告诉我们不应当如此。再看一下图3.4。处于相对运动中的两个观测者都有现在——从每一个人的角度来看，都只是某个时间点——但两者的现在却是不同的：两者在时空中按不同的角度切割他们各自的现在时间片。不同的现在意味着不同的现在目录。相对于彼此运动的观测者对于某一时刻存在什么有不同的概念，因而他们对于实在性有不同的概念。
在日常生活的速度水平下，两个观测者的现在时间片之间的角度差异是十分微小的；而这就是为什么我们在日常生活中感受不到我们所定义的现在和别人所定义的现在有什么区别。由于这个原因，大多数狭义相对论的探讨都集中在如果我们以非常大的速度——接近于光速的速度——运动时将会发生什么上，因为这样的运动将会显著地放大相对论的效应。不过，将两个观测者对现在的定义之间的差别放大，还有另外一种方法，在我看来，这种方法会对解决关于实在性的问题有独到的启迪。这种方法建立在下列的简单事实上：假如你我以略微不同的角度切开一块普通的面包，则剩下的面包片将不会受到多大影响。但如果面包非常巨大，结果就全然不同了。就像一把巨大的剪刀，只要稍稍张开一点，它所展现的刀锋就将极其巨大；要是面包条足够巨大的话，两个切片的角度只要差一点点，它们彼此之间的差别就将极其巨大。参见图5.2。
对于时空而言也是一样的。在日常速度下，对于处于相对运动状态的两个观测者而言，描述现在的时间片的方向之间只有一个微小的角度。如果两个观测者距离很近，几乎不会产生什么影响。但是，就像长条面包一样，即便角度很小，可如果要探讨的是非常大的距离的话，切片之间也会产生巨大的差距。对于时空片而言，不同片之间的巨大偏离就意味着不同观测者对现在发生的事件的认识存在着巨大的差异。如图5.3和图5.4所示，这就意味着相对于彼此运动的个人，即使是以普通的日常速度运动，但只要空间上相隔很远，也会有不同的现在概念。
图5.2 （a）：以略微不同的角度切开一块普通的面包，切片之间将不会分离多少。（b）：对于大面包而言就不一样了，虽然还是以相同的角度切开，但面包越大，切片之间的偏离就越大。
为了使讨论更加具体，想象一下丘巴卡20。他在一个非常非常遥远的行星上——距离地球大概有100亿光年——他正懒散地坐在他的卧室里。再进一步假设你（只是静静地坐着在读这本书）和丘巴卡相对于彼此静止（简单起见，忽略行星的运动、宇宙的膨胀、引力效应，等等）。由于你和丘巴卡相对于彼此静止，因此在时间和空间问题上，你们将达成一致：你们两人将以类似的方式切割时空条，也就是说你们的现在目录将会彼此吻合。过一小会儿，丘巴卡站起来去散步——非常放松的漫步——但朝着远离你的方向。丘巴卡运动状态的变化意味着他的现在概念，他的时空切片，都将发生轻微的旋转（参见图5.3）。这种角度上的微小变化在丘巴卡附近不会产生什么明显的效应：他新定义的现在概念，同在他的卧室里的其他人的现在概念之间的差异非常小。但是如果相距100亿光年的话，丘巴卡的现在概念上的这种微小变化将会被放大[如图5.3（a）和图5.3（b）所述，但是如果所要讨论的两个点距离很远，则这两个点现在的微小改变将被清楚地放大]。虽然在丘巴卡静坐时，他的现在和你的现在是一样的，但由于丘巴卡的轻度运动，你们两人的现在变得完全不一样了。
图5.3 （a）：两个相对于彼此静止的人对于现在有相同的概念，因此就会有相同的时间片。如果一个观察者远离他们的时间片——每个观察者眼中的现在——相对于彼此则发生了旋转；如图所示，对于运动的观察者而言，变黑的现在的时间片旋转到静止的观察者的过去的时间片中。（b）：观察者之间偏离得越远，时间片产生的偏离就越大——他们对于现在的概念偏离就越大。
图5.3和图5.4用图示的方法阐释了关键思想，但运用狭义相对论的方程，我们可以计算出你们的现在差别到底有多大。1如果丘巴卡以每小时10英里的速度远离你而去（是的，丘巴卡大步流星地走着），那么在他的新的现在目录里地球上所发生的事情，对你而言，其实是150年前发生的。依照他的现在概念——他的概念与你的概念同样有效，并且就在刚才你们俩对于现在的概念还完全一致——你还没有出生。如果他以相同的速度朝你走来，如图5.4所示的那样，角度变化的方向相反，那么他所谓的现在对你而言，将是未来150年后！这样看来，按照他所谓的现在，你不再是这个世界的一部分。假如，丘巴卡不是走，而是跳进了千年帝国之鹰飞船21以每小时1000英里的速度（比协和式超音速客机22的速度慢一点）飞行，如果他的方向是离你而去，那么他所谓的现在对你而言，将是15000年前地球上发生的事情，反之则是未来15000年后所发生的事情。如果方向、运动速度合适的话，猫王、尼禄、查理曼大帝、林肯或某个未来才出生的人，都有可能出现在他的现在目录上。
图5.4 （a）和图5.3（a）的唯一区别在于，当一个观察者朝另一个观察者运动时，她的现在片会转到另一个观测者的未来，而非过去。（b）同图5.3（a）一样——在同样的相对速度下，更大的间隔意味着现在概念上更大的分歧——只不过转动指向未来而不是过去。
尽管令人惊讶，但却不会产生任何矛盾，就像我们前面所解释的，某物距离你越远，接受它所发散出的光就需要越长的时间，从而决定它应该属于哪个现在目录也需要花更长的时间。举个例子来说，即便正在前往福特大剧院总统包厢的约翰·维尔克斯·布思23在丘巴卡新的现在目录上（此时丘巴卡正站起来，以每小时9.3英里的速度远离地球而去2），丘巴卡也无法采取任何行动来拯救总统林肯。这么遥远的距离，将需要许多时间来接收和交换信息，因此，实际上只有丘巴卡几十亿年后的后裔，才会接收到有关那一夜的华盛顿的光。问题在于，当他的后裔用这个信息来更新过去的现在目录时，他们将会发现林肯的暗杀与丘巴卡站起来远离地球而去都在相同的现在目录上。而且，他们也将发现在丘巴卡站起来前一瞬间，他的现在目录也包含了21世纪的你正坐在那儿读这段话。3
类似的，有一些关于未来的事情，比如谁将赢得2100年的美国总统大选，看起来是完全开放的：此次竞选的候选人很有可能还没有出生，更不用说决定竞选了。但是如果丘巴卡从椅子上站起来以每小时6.4英里的速度朝地球走来，他的现在目录——他对于现在存在什么，发生了什么的认识——将包括22世纪第一届总统的选举。对于我们而言还未决定的一些事情，在他看来却已经发生了。又一次，丘巴卡再过很多亿年才能知道选举结果，因为得花那么长时间，我们才能把信号传递给他。但是当丘巴卡的后裔收到选举结果用来更新丘巴卡的历史册页，更新他过去的现在目录时，他们发现选举结果居然和丘巴卡站起来开始走向地球的时刻记录在同一张现在目录上，丘巴卡的后裔注意到，比这张现在目录早了一点点的现在目录中，记录着你在21世纪的某一天看完这段文字的事件。
这个例子有两点非常重要。第一，虽然对于接近光速时相对论效应会变得非常明显这一事实，我们已经习以为常；但还需要知道，对于低速运动，如果空间上能够相距很远，那么相对论效应也会得以放大。第二，这个例子对下面的问题很有启发性，即时空（面包条）究竟是真的实体还是只是一种抽象的概念，一种空间的现在和它的历史以及所谓未来所组成的抽象整体。
你看，丘巴卡关于实在性的观点，他头脑中定格的画面，他对于现在存在何物的概念与我们的实在性观念是一样真实的。因此，在评价实在性的构成时，如果我们不考虑他的观点，那就未免太狭隘了。对于牛顿而言，这样一种平等主义的做法并不会有多大的不同，因为，在一个有绝对空间和绝对时间的宇宙里，所有人的现在时间片都是一致的。但在相对论的宇宙里，也就是我们的宇宙里，这样的平等主义就会带来很大的不同。尽管我们熟悉的关于现在存在何物的概念只相当于单独的一片现在时间片——我们通常把过去看做已经逝去的，未来是还没有发生的——我们却不得不将丘巴卡的现在切片一起考虑来扩大我们的认识，就如上文中所讨论的，他的现在切片与我们的有很大的不同。此外，由于丘巴卡最初的位置和他移动的速度是任意的，我们必须得将与所有可能性有关的现在时间片都包括进来。这些现在时间片，正如我们上文中所讨论的，将以丘巴卡——或者其他或真实或假设的观测者——在空间中的初始位置为中心，根据给定速度的不同而旋转一定的角度。（唯一的限制是光速的限制，在尾注中将进一步解释，根据图示，光速的限制相当于旋转角度最大为45度，顺时针或逆时针均可。）正如你在图5.5中所看到的，所有的现在时间片充斥于整个时空条。事实上，如果空间是无限的——如果现在时间片能向无限远处扩展——那么旋转的现在时间片可以任意远为中心，因此它们的集合可以遍布于时空中的每一点。24
图5.5 一个不同观测者（不管是真实的还是假想中的）的现在片的例子，这些观测者距离地球不同远近，速度也各异。
因此，如果你认为实在性由你现在头脑中定格的事情组成，如果你同意你的现在概念与位于远方空间中可以自由移动的某人的现在概念一样有效，那么实在性将涵盖时空中所有事件。整个面包都存在。就像我们视所有空间都真实的存在一样，我们也把所有时间（包括过去、现在和未来）视为真实的存在。过去、现在和未来显然是有区别的。但是，就像爱因斯坦曾经说的“对于我们这些充满信心的物理学家而言，过去、现在和未来之间的区别只是一种幻觉，虽然它总是存在的”。5唯一真实的事物就是整个时空。
体验和时间的流动
以这种方式来思考问题的话，虽然从不同的视角来看事件发生的时间不同，但它们总是存在的。它们永远占据了时空中的某一点。它们并没有流动。如果你在1999年新年除夕的午夜度过了非常愉快的时光，你一直都会拥有它们，因为那是时空中不可变的一个点。接受这种说法有些困难，因为我们的世界观对过去、未来和现在有着截然不同的看法。如果我们固执于熟悉的时间观念，就会发现它将在现代物理冷酷的事实面前碰壁，它所能有的唯一的安身之处就是人类的意识。
不可否认，我们的意识体验似乎遍布于整个时空切片。打个比方来说，我们的思想就好比先前提到过的放映机的光，当时间的某时刻被意识的力量照亮时，它们就成为鲜活的画面了。从某一刻到下一刻的流动感源于我们的思想、感觉和认知在意识上的改变。改变的结果将会导致持续的运动；它会发展成前后一致的故事。但是——不依靠任何心理学或神经生物学的借口——我们可以想象一下我们是如何感受时间的流动，即使实际上并没有这样的事情发生也没关系。为了便于理解我的意思，想象一下现在有一台有点毛病的DVD播放器，它会随意的前进或后退，我们用它来播放电影《飘》：屏幕上刚才还放映某一刻的画面，但下一刻立刻就切换成了完全无关的画面。当你观看这种跳跃性的画面时，你可能很难弄清楚到底在演什么。但对于郝思嘉和白瑞德来说没有问题。在每一帧画面中，他们做他们在那一帧画面中总会做的事情。如果你把DVD停在某个特殊的画面，问他们相关的想法和记忆，他们给你的答案将与DVD功能正常时他们会给你的答案一模一样。如果你问他们是否因南北战争的混乱顺序而迷惑，他们将会疑惑地看着你，认为你一定是喝了太多的冰镇薄荷酒。在任意给定的画面里，他们将会有画面那一刻的思想和回忆——特别是，那些想法和记忆给他们的感觉是时间像平常一样平稳而连贯地逝去。
类似的，时空中的每个时刻——每个时间片——就好比一部电影中的某一帧静止画面。画面的存在与否取决于是否有光照亮它。就像郝斯嘉和白瑞德一样，对于正处于任何这样时刻的你来说，这就是现在，“现在”就是你当时感受到的那一刻。并且“现在”永远都是你正在感受到的那一刻。而且，在每一个独立的时间片里，你的思想和记忆都足以使你产生时间在不断地流向下一刻的感觉。这种感觉，这种时间正在流动的意识并不需要之前的时刻——之前的画面——来“连续放映”。6
稍稍想一下，你就会意识到这是一件非常好的事情，由于另外的更为基本层面的原因，放映机所发出的光有序地将时间激活的概念有非常严重的问题。假如放映机正常地放映着某一瞬间的画面——比如说1999年新年夜的午夜敲钟场面——突然画面暗了下来，意味着什么呢？如果某一时刻已被点亮，那么处于照亮状态就是那一时刻的特性之一，该特性也应该像发生在那一时刻的其他事情一样永恒而无变化。历经照亮——“活”起来，成为此时，成为现在——然后再回归黑暗——“休眠”，变成过去——就是经历变化。但变化的概念与单独的时刻无关。变化将不得不通过时间来发生，变化标志着时间的流逝，但时间的概念究竟是什么呢？从定义上看，时刻并不包括时间的流逝——至少不是我们所说的时间——因为时刻是时间的原材料，并不会变化。某个特殊时刻不再变化就像空间中某个特殊位置一样：如果某位置变化，它就是空间中的另一个位置了；同理，如果某时刻变化，它就是另一个时刻了。放映机的光激活每一个新的现在这样的直观图像经不起仔细的推敲。换句话说，每一时刻都被照亮，每一时刻都会保持其被照亮的状态。每一时刻都是这样。仔细想来，时间的河流更像是一块巨大的冰块，每一时刻都永远的冰冻在它自己的位置上。7
这样的时间概念与我们的内在感受非常不同。虽然这种概念源于爱因斯坦的洞察力，可他本人也很难完全接受这种观念上的深刻转变。鲁道夫·卡那夫8叙述了他和爱因斯坦之间就这个问题展开的精彩对话：“爱因斯坦说有关现在的问题困扰着他。他解释说有关现在的体验对人类来说意味着某种特殊的东西，一种从本质上不同于过去和未来的东西，但这种重要的不同却不会也不能出现在物理中。这种无法被科学理解的体验似乎让他很头疼但却不得不顺从。”
这种顺从就给我们提出了一个关键问题：究竟是科学不能像解释肺可以吸入空气那样，轻易地解释存在于人们意识中的时间的基本特性呢？还是人类意识强加给时间一种人为的特性，因而无法用物理定律来解释呢？如果你在工作日问我这个问题，我将赞成后一种观点，但夜幕降临，当重要的思想都变为日常生活惯例时，就很难完全抵制前一种观点了。时间是一门深奥的科目，我们还远远没有理解它。很可能未来的某一天，某个聪明的人发现了一种新的看待时间的方式，揭示了流动的时间的真正物理学基础。以上建立在逻辑和相对性基础上的讨论，可能就是故事的全部。当然，时间流动的感觉在我们的生活体验里根深蒂固，并且遍布于我们的思想和语言中。我们已经而且将继续误入用习惯性的口语描述时间的流动这样的歧途。但不要把语言和实在性搞混淆了。比起深刻的物理定律，人类语言更善于描述人们的体验。
第6章 偶然和箭头
时间有方向吗
即使时间并不流动，探究时间是否有方向——事物在时间中的发展演变是否有一个可以用物理原理来辨认的方向——仍然自有其意义。这个问题等于是在问，事件在时空中的分布是否存在某种固有的顺序？事件按时间顺序发生与逆着时间顺序发生会有什么不同？就像我们每个人所知道的那样，两者之间一定存在着巨大的不同；正是由于这种不同，生活才会既充满希望，又令人痛苦不堪。但是，我们将会看到，解释过去和未来之间的不同之处比你想象的还要困难。而更令人惊讶的则是，我们将要解答的问题与宇宙起源时的具体条件有着密切的联系。
谜团
每一天中，我们都有成百上千次的机会看出顺着时间方向发生的事件和逆着时间方向发生的事件之间的巨大区别。滚烫的比萨从烤箱中拿出的过程中会冷却下来，但我们从未看到过比萨从烤箱中拿出后会变得比以前更热。放进咖啡中的奶油搅匀后会变成均质的棕褐色液体，但我们却从未看到一杯淡咖啡不经搅拌，自己会分离出白色奶油和黑色咖啡。鸡蛋坠落、打碎并破碎出来，但我们却从未看到破碎的鸡蛋和鸡蛋壳自己聚集起来，形成未破碎的鸡蛋。当我们拧开可乐瓶时，压缩的二氧化碳气体会跑出来，但我们却从未看见过分散的二氧化碳聚集起来并嗖的一声返回瓶中。室温环境中的杯子里的冰块会融化，但我们却从未看到杯子里的水珠会在室温下凝结成冰。这些习以为常的事件，连同数不胜数的其他事件，只沿一个时间方向发生。它们从不会逆着时间方向发生，因此它们为我们带来了先和后的概念——它们给我们带来了稳定可靠且具有普适性的过去和未来的概念。这些现象使我们确信，从外部（如图5.1所示）观测整个时空的话，我们将看到时间轴具有明显的不对称性。鸡蛋已经破碎的那个世界在时间轴的一端——传统上我们将其称之为未来——而对应着的另一端就是鸡蛋尚未破碎的世界。
或许最显而易见的例子是，我们的意识可以存储被我们称之为过去的许多事情——这就是所谓的记忆——但却没人能够记住被我们称之为未来的事情。因此，很显然，过去和未来之间存在着很大的不同。各种各样的事情在时间的长河中总是沿着确定的方向发生。我们能回忆起的事情（过去）和不能回忆起的事情（未来）之间有着明显的区别。这就是为什么我们会说时间具有方向性或有一个箭头。1
物理学和广义上的科学，都以规律为基础。科学家们研究自然，发现规律，并用自然定律来解密这些规律。因而，你可能会认为，使我们清楚地感受到时间之箭的各种各样难以计数的规律性，意味着存在这样一条基本的自然定律。构建这样一条定律最笨的办法就是引进溢出牛奶定律或破碎鸡蛋定律，前者说的是从牛奶溢出来就不会自己再汇聚起来，后者则是鸡蛋破碎出来就不可能再自己聚集起来形成一个完整的鸡蛋。但这样的定律对我们毫无用处：它只是描述性的，只是简单的说明观测到发生了什么，而无法提供任何解释。但我们期盼着物理学最深奥的领域中存在着某种不这么傻的定律，我们可以用它来描述组成比萨、牛奶、鸡蛋、咖啡、人和星球的粒子——组成一切事物的基本成分——的运动和性质，这个定律将会告诉我们事物为什么会按照某种特定的顺序演化而不能反过来。该定律将给予我们所观测到的时间之箭一个基本解释。
但令人头疼的是没有人发现这样的定律。而且，从牛顿到麦克斯韦，到爱因斯坦，他们所发现的物理定律，以及今天的所有物理定律，都显示出过去和未来之间存在着一种完美的对称性。25我们并未在这些定律中发现只可沿着时间轴的某个方向应用该定律的限制条款。这些定律应用于时间轴的不同方向时不会有什么区别。过去和未来在这些定律下看来都是一样的。即使我们的经验一次又一次告诉我们，事件如何随时间发展存在一定的方向性，但这样的时间之箭却不存在于基本的物理定律中。
过去、未来和基本物理定律
怎么会这样？物理定律没有提供用以区分过去和未来的基础吗？为什么会没有物理定律能够解释事件只能按这种顺序发展而不能逆过来呢？
这种情况更为令人迷惑。众所周知的物理定律实际上声明——与我们的生活经验相反——奶油咖啡可以分离成黑色的咖啡和白色的奶油；破碎的蛋黄和破碎的蛋壳能自己聚集起来形成一个完美光滑的鸡蛋；室温下水杯中融化的冰水可以重新形成冰；你打开苏打水时放出来的气体可以自己返回瓶中。我们现今所知的所有物理定律都完全支持所谓的时间反演对称性。这种对称性说的是，如果事件可以按照某种时间顺序发展（奶油和咖啡混合，鸡蛋打碎，气体溢出），那么这些事件也可以按照相反的方向发展（奶油和咖啡分离，鸡蛋完好如初，溢出的气体回到瓶子里）。简短地用一句话来总结就是，物理定律不仅没有告诉我们事件只能按某种方向发展，而且还从理论上告诉我们事件可以向相反的方向发展。26
但重要的问题是，为什么我们从没有看到这样的事情发生呢？我敢打赌一定没有人亲眼看见打碎的鸡蛋聚集起来恢复成原样。但是如果物理定律允许这种情况存在，而且这些定律平等地对待打碎的鸡蛋和未打碎的鸡蛋的话，为什么一种情况从未发生而另一种情况总是发生呢？
时间反演对称性
解决上述谜团的第一步需要我们更为扎实的理解已知物理定律为什么满足时间反演对称性。为了这个目的，这样想象一下：现在是25世纪，你与你的搭档库斯托克·威廉姆斯在新的星际联盟打网球。由于不太习惯金星上较低的引力，库斯托克用力过猛，一个反手球将球打到了深不可测的漆黑星空中。一架正在经过的太空飞船拍摄到了飞驰而过的球，并把胶片送到了CNN（星际新闻网）27播出。这儿有一个问题：如果CNN的技术人员犯了错误，把这段网球的片段反过来放映，人们是否能看出来呢？如果你知道拍摄时摄像机的朝向，你可能会指出他们的错误。但是，如果没有任何其他信息，只看底片的话，你能挑出他们的错误吗？答案是否定的。如果顺着时间方向，底片将显示球从右飞向左，如果反过来就会变成球从左飞向右。当然，从经典物理学定律的角度来看，网球朝左或朝右运动都是可以的。因此无论片子是顺着时间的方向还是逆着时间的方向放映，你所看到的运动与物理定律完全一致。
上文中，我们一直在使用这样一个假设，即，没有力作用于网球，因而网球是匀速运动的。现在我们把力加进去考虑一些更普遍的情况。根据牛顿定律，力的作用将会改变物体的速度：力意味着加速度。做了上述的假设后，我们再来看看网球的情况：网球在空中飞行时，由于受到木星引力的作用，向下加速运动，朝着木星表面向右划出一段美丽的弧线，如图6.1（a）和图6.1（b）所示。如果你逆着放这段运动的底片的话，网球将向上加速运动，因而会朝远离木星的方向划出一道弧线，如图6.1（c）所示。现在有了个新问题：底片所描述的逆向打网球的运动——实际上所拍摄到的运动的时间反演运动——是经典物理学定律所允许的吗？这种运动会在真实的世界中发生吗？乍看之下，答案显然是肯定的：网球的运动轨迹既可以是向右下的弧线，又可以是向左上的弧线，或者是数不清的其他轨迹。那么，困难之处到底在哪？这个嘛，虽然答案确实是肯定的，但推演过于草率而忽略了问题的真正内涵。
当逆向放映片子时，你会看到当网球撞击到木星时，会以相同的速度（但以完全相反的方向）远离木星，朝左上的方向运动。片子的最初部分显然与物理定律相一致：举个例子来说，我们想象一下，某人在木星表面以该速度击出网球就符合这种情形。关键的问题在于，逆向运动的其余部分是否与物理定律相一致。以该初速度击出的网球——在受到木星向下的引力的作用下——实际上会沿着片子其余部分中所描述的逆向运动的轨迹运动吗？运动反过来之后，它会顺着原始的向下的轨迹运动吗？
图6.1 （a）：从金星飞到木星的一个网球。（b）：特写。（C）：在撞到木星之前，网球的速度反向，新的运动轨迹。
这些更为精炼的问题的答案是肯定的。为了避免混淆，我们先把它讲清楚。图6.1（a）中，在木星的引力产生有效作用之前，网球是纯向右运动的。图6.1（b）中木星的引力有效地作用于网球，产生一个将它拉向地心的力——正如你在图中所看到的，引力的方向大部分是竖直向下的，不过也有一部分是向右的。这就意味着，当网球接近于木星表面时，它向右的速度将会略微有所增加，而它向下的速度将会增加得非常多。因此，在逆向放映的片子中，从木星表面击出的网球会略微向左主要向上运动，如图6.1（c）所示。木星的引力将对网球向上的速度产生重要影响，使它越来越慢，同时也会减慢球向左的速度，只是没有那么夸张而已。随着球向上的速度的迅速减少，它速度的方向将主要向左，进而使得向上的弧线的运动轨迹偏左。接近弧线的末端，网球向上的速度和在下降过程中因木星引力而产生的额外的向右的分速度，将在引力作用下变为零，此时球以原始大小的速度向左运动。
上述论证都可以定量研究，但值得注意的关键之处在于，该运动轨迹恰与网球初始的运动轨迹相反。如图6.1（c）所示，简单的逆转球的速度——速度相等，但方向完全相反——我们可以使它完全沿着原来的轨迹运动，只是方向相反而已。我们再回到片子的讨论上，我们所看到的向上偏左的弧形轨迹——我们用以计算轨迹的是牛顿的运动定律——正是我们将片子逆过来放映所看到的。因此，逆向放映的片子所描述的网球的时间反演运动，和时间上正向运动一样，都遵守物理学定律。逆向放映电影时我们所看到的运动，在真实世界中可以实际发生。
虽然上述讨论中有一些细节被我放到了注释里，但其结论仍然具有普适性。2所有已知和广为接受的有关运动的定律——从刚才讨论过的牛顿的经典力学，到麦克斯韦的电磁理论，再到爱因斯坦的狭义和广义相对论（记住，我们将在下一章讨论量子力学）——都具有时间反演对称性：按时间轴正向发生的运动同样也可以逆着时间轴发生。由于术语有点混乱，我再来强调一下，不是把时间反过来。时间仍然保持原样。我们的结论是，要想使一个物体的运动轨迹逆转，只要在其路径上任意一点逆转其速度即可。同样的，相同的程序——在其路径上任意一点逆转其速度——将使物体按我们在反向放映的片子中所看到的方式运动。
网球和破碎的鸡蛋
观察网球在金星和木星之间运动——无论朝向哪个方向——并非十分有趣。但既然我们所得出的结论可以广泛应用，我们现在就来看一些更加有趣的地方吧，比如说你的厨房。把一个鸡蛋放在厨房的餐桌上，让它沿着桌边滚动，然后掉到地上摔碎。可以肯定的是，在这一系列事件中存在许多运动。鸡蛋掉下来，蛋壳摔碎了，蛋黄溅得到处都是，地板震颤，周围的空气中形成漩涡。摩擦产生热量，使鸡蛋、地板以及空气中的原子和分子运动得更快。但是，正如物理定律告诉我们的，如何才能使网球丝毫不差地逆着原来的轨迹运动；同样的定律也会告诉我们如何才能使每一片蛋壳碎片，每一滴蛋黄，每一块地板，每一团空气精确的逆着原来的轨迹运动。我们所需做的“全部”只是将碎鸡蛋每一块碎片的速度反过来。更准确地说，我们在网球问题上的分析告诉我们，只要我们能把与鸡蛋破碎直接或间接相关的每一个分子和原子的速度都同时逆转过来，那么整个鸡蛋破碎的运动就会反过来进行。
再强调一次，就像网球运动一样，如果我们能成功逆转所有的速度，我们所看到的就像一部反向放映的电影。但是，不同于网球之处在于，鸡蛋破碎的逆运动将给人留下极其深刻的印象。厨房各处空气分子碰撞和微小的地板震动所产生的波汇集在碰撞的位置，造成每一片碎蛋壳和每一滴蛋黄都朝着发生碰撞的位置运动。每一种成分都以最初鸡蛋破碎过程中的速度运动，只是方向都相反而已。无数滴蛋黄都飞回形成一个球，就像无数片碎蛋壳完美的排列在一起形成一个光滑的卵形容器。空气和地板的震动与结合在一起的蛋黄和蛋壳碎片的运动配合得非常完美，形成一个重新组合的鸡蛋，恰好反弹离开地板，向上飞到厨房的餐桌上，轻巧地落在餐桌边缘，然后滚动几英寸（1英寸≈2.54厘米）优雅地回到远处。如果我们逆转全程中每一样东西的速度，就将发生上述的事情。3
因此，不管一件事情简单，比如网球的运动弧线，还是更为复杂，比如一颗鸡蛋的破碎，物理定律都告诉我们，在一个时间方向上发生的事情，至少从理论上来看，是可以反过来发生的。
原理和实践
网球运动和鸡蛋的故事告诉我们的不只是自然定律具有时间反演对称性，这些故事还告诉我们，为什么我们在真实的经验世界里看到的许多事情只能朝一个方向发生，反过来则不行。让网球逆着其轨迹运动并不难。拿着它，并以相同大小的速度朝相反方向将其掷出，就这样即可。但使鸡蛋所有的混乱碎片逆着原来的轨迹运动就要困难到不可想象了。我们需要抓住每一片鸡蛋碎片，以相同速度但朝相反的方向同时发送回去。很显然，那远非我们（或者聚齐所有人力物力）所能做到的。
我们找到了我们一直寻求的答案了吗？鸡蛋打碎却无法重新复原（即便两种运动都是物理定律所认可的）的原因是因为其中一种可实现而另一种无法实现吗？答案就是那么简单，就是因为鸡蛋打碎容易——使鸡蛋从桌上滚下去——而使鸡蛋复原难吗？
如果答案是这样的，相信我，我将不会在这里大费周折地讲这么半天了。困难与否确实也是答案的一个重要部分，但整个答案更加奥妙和令人惊奇。在以后的章节中我们将解释这个问题，但这里我们首先需要对这一小节进行更加深入地讨论和了解。为了达到这一目的我们不得不引进熵的概念。
熵
在维也纳中央公墓，贝多芬、勃拉姆斯、舒伯特和斯特劳斯的墓穴旁树立着一个刻有s=klogW方程的墓碑，这一方程就是熵这个强有力的概念的数学公式。这个墓碑的主人就是生活在19世纪、20世纪之交的路德维格·玻尔兹曼，最具洞察力的物理学家之一。1906年，由于糟糕的健康状况和低沉的心情，玻尔兹曼在和妻女在意大利度假时自杀了。具有讽刺意味的是，就在他离世的几个月之后，有实验证实了玻尔兹曼为之毕生热烈维护的思想是正确的。
熵的概念最初是由工业革命时期的科学家们在考虑锅炉和蒸汽机时所提出的，熵的概念促进了热力学领域的发展。通过多年的研究，尤其是在玻尔兹曼的辛勤钻研之后，熵的基本观点被进一步完善起来。玻尔兹曼版本的熵，可用其墓碑上的方程准确的表述，利用统计学原理将构成物理系统的单独组分的数目与系统的整体性质之间联系起来了。4
为了感受一下他的思想，想象拆开一本《战争与和平》，将其693页双面纸都高高抛向空中，然后把所有的纸页收集到一堆。5当你检查那一堆纸时，你会发现页码混乱的纸张远远比整齐排序的要多。原因是显而易见的。纸张混乱的方式有许多种，而按序排列的方式只有一种。要整齐有序，页码就必须精确排列成1、2、3、4、5、6；一直到1385、1386。其他的排列方式都是无序的。一个简单而又基本的事实是，所有排列方式都是平等的，某件事情发生的方式越多，它发生的可能性就越大。如果某件事情有无数多种的发生方式，就像落地页码的错误排列一样，该事情发生的可能性就有极其大。直观上，我们都可以很好地理解这个问题。如果你买一张彩票，你中奖的方式就只有一种。如果你买了一百万张不同号码的彩票，你就有一百万种中奖的方式，这样你走运的机会就提高了一百万倍。
熵这个概念其实就是该观点的一种具体表述，可以通过数清在物理定律制约下，实现任意给定物理条件的方式的数目来确定相应物理系统的熵的大小。熵越高就意味着实现该物理条件的方式越多，熵越少就意味着方式越少。如果《战争与和平》的页码是按照正确的数字顺序来排列的，则是低熵组合，因为满足标准的只有一种排列方式。如果页码是无序排列，那就是一个高熵组合，很简单的计算就可以告诉我们共有1245521984537783433660029353704988291633611012463890451368876912646868955918529845043773940692947439507941893387518765276567140592866271513670747391295713823538000161081264653018234205620571473206172029382902912502131702278211913473582655881541071360143119322157534159733855428467298691398151599251190858672609934810561430341343830563771367151105704786941333912934192440961051428879847790853609508954014012593285063290603410951314946638983905267676104278041667301549455228188610250246338662603601508886647010142970854584815141598392546876231295293347829518681237077459652243214888735167928448340300078717063668462384353624245167362286109198539391815030760468904664912978940625033265186858373227136370247390401891094064988139838026545111487686489581649140342644411087191184416428090275713773809067258708430215795015899162320458130129508343865379081918237777385214375363122531641598589268105976528144801387748697026525462643937189392730592179674716916697815519856976926924946738364227827733457767180733162404336369527711836741042844934722347792234027225630721193853912472880929072034271692377936207650190457109788774453544358680331916095924987744319498699770033324946307324375535322906744817657953956218403295168144271042227608124289048716428664872403070364864934832509996672897344642531034930062662201460431205110109328239624925119689782833061921508282708143936599873268490479941668396577478902124562796195600187060805768778947870098610692265944872693410000872699876339900302559168582063973485103562967646116002251592001137227412733180748295472481928076532664070230832754286312646671501355905966429773337131834654748547607012423301287213532123732873272187482526403991104970017214756470049929226458643522650111999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999——约为101878——种不同的无序排列方式。6如果你把这些纸张扔向空中，然后再收集成一叠，可以肯定它们将处于无序排列的状态，因为这种排列方式比唯一的有序排列拥有更高的熵——达到无序排列的方式有很多种。
理论上讲，我们可以运用经典物理学定律来计算将整沓纸扔向空中后每一页所将降落的位置。而且，理论上讲，我们也可以精确预测这些页码的最终排列方式，因而（在量子力学中，情况将有所不同，而那是我们在下一章要讨论的内容）看似没必要依靠诸如此类哪种结果更有可能出现的概率概念。但是统计学确实是强有力且非常有用的工具。如果《战争与和平》只是一本只有几页的小册子的话，我们很快就能成功地完成计算，但是对于真正的《战争与和平》8这么做就不可能了。这693张纸随着温和的风飘荡，相互摩擦、滑落、碰撞，最后落到地上，想要追踪这693张纸的精确运动将是一项非常艰辛的工作，远远超出了当今世上最强有力的超级计算机的运算能力。
而且——这点非常关键——即使得出确切的答案也没有什么用处。当你查看这叠纸时，你不会在乎每一页碰巧在哪儿，你感兴趣的是整体效果——它们是否正确排列。如果它们是，那非常好。你可以坐下来像往常一样继续阅读安娜·帕夫洛夫娜和尼古拉·罗斯托夫。但是如果你发现书页的排列乱七八糟，那么你不会在乎这种错误排列具体是怎样的。如果你看到了一种错误的排序方式，你就相当于看到了所有的错误排序方式。除非出于某种古怪的原因，你需要追究每一页的具体下落，否则你甚至都不会注意到是否有人把你那已经混乱的页码搞得更乱。最初的一堆纸就是混乱排列的，即便进一步弄乱也还是混乱的。因此，并不仅仅因为统计学讨论比较容易进行，还因为利用统计学所能得到的结果——混乱或者不混乱——更与我们所真正关心的和需要记下来的事情有关。
这种全局式的思考方式是利用熵来考虑问题的统计学基础的核心。就像任何一张彩票都有中奖的机会一样，《战争与和平》被多次颠倒顺序后，任何一种排列方式都有可能发生。使统计学变得有用武之地的原因在于，我们感兴趣的页码排列方式只是两类：有序和无序。前一类只有一种（页码正确的排列为1，2，3，4；等等），而后一类则有多种（除正确顺序之外的每一种可能的排列方式）。这两种分类是便于应用的合理分类，因为，就像上文所述，利用这种分类你可以对任何一种页码的排列方式做出全局性的评价。
即便如此，你仍然可能建议对这两种分类进行进一步的区分，比如，只有少数几十页的排列是混乱的，只有第1章的页码排列无序，等等。事实上，考虑这些中间状态的分类有时是很有用的。然而，每一种亚分类中的可能的页码排列方式总数与所有的混乱排列方式总数相比是非常小的。比如说，《战争与和平》第一部分排列混乱的方式总数只不过是所有混乱排列方式总数的百分之一的10-178。所以，尽管开始的时候，未装订书所导致的无序页码排列方式可能只属于某种中间状态，而非完全混乱状态，但可以肯定，如果你再三颠倒页码，页码排列顺序最终将展现不出一点规律性。页码排列总是趋向于演变为完全混乱排列的状态，因为这类型的排列方式确实太多了。
《战争与和平》这个例子点出了熵的两个最显著特征。首先，熵是物理系统中无序度的量度。高熵意味着构成系统的组分的许多排列方式毫不起眼，这就相当于说系统处于高度无序状态（当《战争与和平》的页码处于混乱状态时，进一步的颠倒页码顺序几乎不会被大家注意到，因为页码本身就已经处于混乱状态，再颠倒页码也不会产生什么重要影响）。低熵就意味着只有少数一些排列方式显得不起眼，也就相当于说系统处于高度有序状态（当《战争与和平》的页码排列有序时，你很容易就注意到对其顺序所做的任何改动）。第二，由许多组分构成的物理系统（比如说，很多页处于混乱状态的书），有自然演化成更为无序状态的趋向，因为相比于达到有序状态，达到无序状态的方式更多。用熵的语言来说，物理系统倾向于向着高熵状态演化。
当然，要想使熵的概念准确且具有普适性，其物理定义就不能是在使其不变的情况下数清这本或那本书页码的重新排列数目。事实上，熵的物理定义需要在保持物理系统整体上、大局上不变的情况下，数清其基本组成成分——原子，亚原子粒子，等等——的可能有的排列组合数目。比如在《战争与和平》的例子中，低熵就意味着几乎没有哪次重新排列会不被注意到，因此该系统就处于高度有序状态；而高熵就意味着大量的重排都会显得不起眼，换句话说，整个系统处于无序状态。28
让我们来看一个不错的便于说明问题的物理例子，想想先前提到的可口可乐瓶。当气体，比如最初被密封进瓶子里的二氧化碳，传播到房间的每一个角落时，单个分子可能有许多种重排方式，但是这些重排没有什么显著区别。比如说，当你挥动胳膊时，二氧化碳分子将会来回穿梭，迅速改变位置和速度。但从整体上看，分子的调整不会带来整体性质上的变化。在你挥动胳膊之前分子是均匀分布的，挥动胳膊之后仍然是均匀分布的。气体的这种均匀分布状态对于分子的大量重排方式是不敏感的，这正是所谓的高熵状态。相比而言，如果气体分布在较小的空间内，比如说瓶子内，或被障碍物密封在房间墙角，就会出现有意义的低熵状态。原因很简单。正如一本薄薄的书的页码只可能有几种排列方式，小地方只能为分子的排列提供一点点空间，因而也就只会产生很少的排列方式。
但当你拧开瓶盖或是挪开障碍物时，你就为气体分子打开了一个全新的世界，它们开始运动、碰撞，很快播散到房间的各个角落。为什么呢？这和《战争与和平》问题中的统计学推演是一样的。毫无疑问，一些分子经过碰撞将会离开最初的气体团或使一些刚刚离开的气体分子又被撞回来。但因为房间的体积远远超过了最初的气体团，如果它们分散开来，分子将会有更多种的排列方式。因此，气体从最初的低熵状态——气体聚集在一个小区域内，自然演化到高熵状态——气体均匀地分布在更大的空间内。一旦气体达到这种均匀状态，将一直维持高熵状态：运动和碰撞会使分子四处移动，从而造成一种又一种的重排方式，但大部分重排方式都不会影响气体的全局性的、整体性质。而这就意味此时处于高熵状态。9
理论上，就像《战争与和平》的页码一样，我们能用经典物理学定律来精确确定在某一特定时刻每一个二氧化碳分子的位置。但由于二氧化碳的分子数目太大了——一个可乐瓶里大约有1024个——进行这样的计算事实上是根本不可能的。但不管通过什么方式，即使我们做到了，手里拿着一张记有亿亿亿个粒子的速度和位置的单子，对于我们了解分子是如何分布的并没有多大的意义。把焦点集中在全局性的统计特点上——气体四散分布或集中在一起，也就是说，气体处于高熵状态还是低熵状态——才更富有启发性。