学说之间冲突，并不是灾害，是机会。
——怀特海（Alfred North Whitehead）
《科学与现代世界》
即使最顽固的怀疑者，经过上面这一趟科学之旅，也该相信不可逆动力学的力量了。我们用了基于时间之箭的分析，对一大批现象，从生命的出现到豹皮花纹的产生，提供了不得不接受的解释。如果我们说时间之箭是幻觉，把它放在一边，那我们得到的所有见解，都得放弃了。这牺牲可太大了；而我们换得了什么呢？一个充满各种荒诞无稽现象的世界观——碗里的汤自动热起来，台球神秘地从球袋里蹦出来。时间之箭的客观存在是一个不可否定的概念。如果这需要我们对某些习用的科学概念进行翻修，那也只好这样做。本章是全书最后的主要一章，这里把上面所遇到的、时间之箭是真实的各种暗示，汇集在一起。我们将把这些暗示跟近来对混沌的想法相结合，这样一做，我们将揭示时间的确具有一个能统一我们个人经验和科学经验的方向。
需要的是另一种描述，其中未来不是被现在或过去唯一地固定下来。严格的决定性论必须推翻；取而代之的是如下一个世界观：它和我们对世界的经验是一致的，它里面的未来是开放的，那个未来具有真正的演化和创新，能产生我们在大自然中看到的各种美丽图案，从黏菌的蠕动到错综复杂的全球天气系统，乃至宇宙本身由以产生的过程。此新观点真正地综合两个相反的、不可或缺的概念——机遇（概率）和必然（决定性）。此观点赋予时间之箭十足的客观存在，使我们能理解实际世界中，不管是我们看得到的还是看不到的，已经发生、正在发生、将要发生的成千上万的过程。严格决定式图像摒弃以后，拉普拉斯式的机械宇宙与自由意志之间的冲突也同时丢掉。此看法要求完全接受热力学第二定律，承认它是时间有向性的一个表达，把它从头就放在我们的描述里面。现在先让我们回顾一下我们的出发点。
时间的问题
在我们寻找时间之箭的过程中，我们调查了现代科学中所有的主要学说。我们看到，牛顿力学、爱因斯坦力学、量子力学这些所谓“基本”理论，都否定了时间具有方向。我们看到，决定论和因果论与这些理论的可逆性紧密相连。爱因斯坦建造他十分成功的引力的几何描述，动机其实就是出于他对因果关系的第一位置持有根深蒂固的信仰。可是在这种决定性的理论中，时间被降到次要地位：不管时间朝哪个方向走，整个的未来，整个的过去，都包含在现在之中——这三者在某种意义下，只是同一整体的几个不同方面而已。
因为这些方程没有内在的时间箭头，没有理由取一个方向而不取和它相反的方向。但是情况比这还更差：时间不仅无向，它必须循环，“历史”必须按照庞加莱回归重复不已。就像圆是没有尽头的，这永恒的回返不允许时间有起点或终点。既然时间没有任何一点是和其他点不同的，平衡——热力学用以描述所有过程辗转而停止的时间演化终点，这观念也就站不住脚了。的确，如果这些理论正确，我们就得向热力学所有的概念告别，包括熵在内，而熵是科学中唯一出现的、对我们所感觉到的时间给出一个中肯描述的量。
如果我们追随一些理论物理学家，说世界根本是遵守决定性的、可逆性的定律，那我们就得说，我们自身的存在和我们所有的行动都可以追溯到产生宇宙的初始条件或边界条件。在时间的黎明，这些条件就规定好了，未来行为应该遵从牛顿定律的这一指令，也已执行过了。或许是上帝选择了这些条件——他老人家亲自安排了大爆炸，使得生命和人类能够出现。在有些方面，剑桥前数学物理学家泊尔金洪（John Polk-inghorne）还要更进一步。按照他的看法，上帝不仅点燃导火线，然后站开；他老人家的任务是存在于宇宙万物之中，每个时刻，都是他老人家在保证自然规律的有效，在保证这些规律永不变质，在使台上的戏唱下去。即使如此，时间的实际方向不能用时间对称的力学来解释：它仍是上帝的、或者某个别的初始条件选择者的另外一个选择。初始条件预先就已假定了时间有方向。初始条件是额外的选择，与采用它们的理论的性质无关。本章结束以前我们将指出，牛顿决定论这水晶球破裂得很严重：这些条件，即使原则上也不能严格得知。因此，我们必须对力学中演化的意义重新加以考虑。
所有这些“无时间的”理论中，量子力学最为神秘：对它的理解和差不多所有我们对世界公认的看法都背道而驰。然而对理论物理学家来说，它是一个上好的工具，因为它对原子或更小尺度上的实验给出了预言其结果的数学方法。量子力学这我们现有的最好的物质理论，只要不想知道它的意义，完全可以轻松地赏玩。但想理解这理论是困难的，然而就是这些困难含有关于时间箭头的一个重要暗示。量子力学的中心难点在于测量，在于微观的原子分子世界和宏观世界碰头、测量器指针颤动、荧光屏闪光那个时刻。这研究世界必需的基本操作是不可逆的。上面第四章描述过，按照正统哥本哈根解释，一个诸如原子的微观系统，正是记录它行为这一操作，使其波函数坍缩，从而产生一个特定的结果（波函数是包含所有有关该系统信息的量子力学量）。这坍缩是不可逆的：它处于可逆薛定谔方程的框架之外。
前面曾经提过，彭罗斯正在追求宇宙学中的“圣杯”之一——在一个完全量子化的引力理论里面，把爱因斯坦的相对论和量子力学统一起来。理论物理学家多数认为彭罗斯的做法很不寻常，因为他承认了把时间不对称性包括在宇宙基本特性之中的重要性。彭罗斯式的统一将有几个额外的好处：它将显含一个宇宙时间箭头，从而说明不可逆的波函数坍缩；它将清除广义相对论中令人为难的奇点；它将说明大爆炸的几率极小的初始条件（这样，不用初始条件来解释时间之箭，而反过来用时间之箭来解释这些初始条件）。这做法，一如其他宇宙诞生于无的尝试性想法，或许不需要什么神来开动万物。不过量子力学和相对论一个自洽的融合至今仍是未中之的。
在短期间内，物理学家最好还是放弃这些主意——别的方法可能更实惠些。实际上，物理学家都是实用主义者，绝大多数根本不管时间提出的问题。他们都乐于采取兰姆（Charles Lamb）的观点：“时间和空间比什么都更使我烦恼；它们比什么都更不使我烦恼，因为我从来不想这些玩意儿。”天文学家巴罗在他《世界里面的世界》一书的结尾，写了他对这种态度的不满：“对如何理解量子力学这问题，一个通常的反应是物理学家的反应，说量子力学行就可以了，别的就甭管了；说量子力学究竟是什么意思，我们搞物理的不必去伤脑筋。可是这种态度，用在别处，是不受欢迎的。如果一个学生问二次方程怎么解，说他只要知道给出解的公式，不想知道其所以然是怎么得到的，我们对这学生的印象一定不会太好。要知道科学研究就是基于‘行就可以’这态度的否定。”
在少许对时间方向有兴趣的物理学家之中，我们看到许多人为了克服量子力学的测量困难，说波函数坍缩实际上并不发生。他们说做测量时，只是我们的见识在起变化。波函数的变形并不是指真实世界而是指我们的意念：不可逆性是出于我们对程序的干预。这样，“误解”、“主观性”便成为对此问题有限答案中常见的托词。许多科学研究者不承认这是发展新而有益的学说的机会，反而退到主观主义的说法，说不可逆性是幻觉。类似地，热力学第二定律被看做是麻烦，而不是自然界一个不可违背的事实。第五章讲到过，有人想用粗粒化把第二定律引入然后把它巧辩过去，可是这里往往有不对的地方。另一个典型的循环论证的说法是：只是因为宇宙的初始状态具有变化的潜在能力，所以才存在有第二定律。
“时间之箭是幻觉”这论调引出一串高度毁灭性的推理。热力学——尤其是第二定律只是一个近似，只是我们自身的不足或“错误”的后果。再进一步，像生死这种明明是单向的过程，它们看上去的不可逆，只是因为我们无知，没有看到真正的时间对称的缘故。主观主义学派的知识论推到极点就是唯我论——自我存在是唯一的真实。这立场逻辑上是没有争论余地的，有少许科学家采取这个立场，大概就是为了避免不可逆性、测量等问题。考虑到科学为一个“外在”的客观存在所搜集的大量证据，看上去唯我论不太可能是正确的。再说，唯我主义者往往并不勇于坚持自己的信仰：他们一有了孩子，还是照样搞人寿保险。
事实上，就如上两章已经强调过的，时间箭头是增广知识的工具，不是用以掩饰无知的手法。我们周围看到的图案，从松果的朴素几何到猫身上的华丽花纹，原则上都可以从嵌有时间箭头的方程得到解释。对于远离热力平衡的场合，第二定律中祀奉的不可逆性原则将导致自组织过程，从这些过程我们可以理解自然界的各种有序结构。的确，如果没有热力学第二定律所坚持的不可逆性，预期生命就不会在地球上出现，也不会有表征活东西特性的各种时间上和空间的行为。只是因为有不可逆过程，我们才懂得我们自己的存在。
潜伏在不可逆性佯谬之中的大革命，感觉到它萌动的科学家为数极少，这或许不足为奇。学术界有越来越强的压力，要大家做专门研究，发表文章，从树林中找出个别的树，结果是科学文献指数式地增长，理解逐渐被牺牲在计算圣坛上。我们的前面其实是一片广阔的处女地，无数丰富多彩的可能性，仍待我们去探索。法国数学家、费尔德奖获得者汤姆在他《结构稳定性与形态发生学》一书中，如下呼吁：在这世界上如此多的学者忙于计算的时候，是不是也应该让能做梦的人做做梦？
时间新颖的可能性开始有人探讨了，特别是布鲁塞尔的普里高津学派。他们问：如何把时间各种各样的意义关联起来——动力学中运动的时间；热力学中不可逆性的时间；历史，生物学，社会学中的时间。普里高津写道：“这明显不是易事。然而我们生活在单一宇宙之中。为了对我们为其一部分的世界取得一个首尾一贯的看法，必须找出从一种描述转到另一种描述的办法。”我们无须对第二定律与可逆式动力学的对垒局面感到无能为力而袖手旁观。我们可以采取另种观点，它并不难以置信，它把第二定律不当为近似，而把它当做基础。普里高津与其小组提倡的这个途径，是基于对微观世界一个彻底的重新估价，它来自近来的一个认识，即动力学混沌除了最理想化的情况以外，其实到处都是。虽然动力学与第二定律永远不会彼此归化，它们看上去都像是自然界的内禀元素，它们之间的关系使人想到量子力学里的波-粒子二重性。
决定论放手了
在我们对时间箭头的搜寻中，我们先找一下牛顿，采用第二章所述的他对微观世界的描述。当然，这样做对寻找我们的对象不是有利的。牛顿定律说，信息如果充足，就可以决定任何系统的过去和未来。好比说，在一个罐子里不停碰撞的成亿成万的分子，如果它们在某个时刻的位置和速度完全知道，就可以预言、倒算它们在整个时间上的行为。庞加莱进一步又证明了这些分子将要在漫长的时期中不断重复它们的运动。在罐中分子乱动的运动之中，时间之箭丢失了。根据拍摄这分子运动的影片，即使运动可以看得见，谁也无法说气体是否达到了平衡。可是世界并非如此简单：牛顿力学的缺陷可以用来帮助我们揭示时间在微观层次中的方向。
在早期，当牛顿一给出他的运动方程，人们都以为预测苹果或行星的运动，不过只是应用数学中的练习。要知道月球如何绕地运行，只要把适当的数据放进牛顿的微分方程——月球在某个时刻的位置和速度，经过一番计算结果就自动掉出来。此后200年，聪明的数学家和理论物理学家就一直把精力花在把这方程应用到越来越复杂的场合，然后寻找这方程的严格解。
碰来碰去的台球，沿着无摩擦力钟摆滑下的老鼠，要用牛顿方程来发现它们的过去未来，就得找出所谓的运动积分。这数学程序成功与否，当时人们以为全看是否能为台球或老鼠写出数学表达式。人们以为所有机械式描述都是可积分的，也就是说，都是能（从运动积分）得到严格解的。从来没有人停下来想一想，或许不可能严格地解这些方程。直到庞加莱出场。
庞加莱眼睛近视，心不在焉，举止笨拙。他同时代的人和他开玩笑，说他是两只手同样灵巧的人，因为实际上他右手跟他左手同样不灵活。的确，他在学校的成绩以绘画得零分而有名。可是，他的数学本领远远补偿了这些短处。1872年他学校的老师利尔德（Elliotl Liard）写道：“我南塞班上有个数学怪物，叫亨利·庞加莱。”
次年，这怪物发表了他第一篇论文，登在《数学新年报》上，当时他19岁。到他1913年去世的时候，他一共写了30多本书，500篇专业论文。他大概是数学史上最后的多面手大师，在学城索朋教学时，从一个科目跳到另个科目。对光学、电、弹性、热力学、量子论、相对论、宇宙学，庞加莱都做了贡献。他的一个同事说他是个“征服者”，不是个“殖民者”，因为随便他研究什么，他总引入新的思想。庞加莱也是科学普及大师。在他《科学的价值》一书中，他说：“如果大自然不美，那它就不值得认识，而大自然如果不值得认识，生命也就不值得了。”他被荣选为法国研究所文学部成员。
1889年，庞加莱震惊了科学界。因为他证明了，连只有三个成员的系统，例如太阳、地球和月球组成的系统，分析它们的运动，都会发现是个根本不可积分的系统。这是用术语的说法，其实就是指数学分析无法给出一个精确解。多过三个成员，更不用说一个气体中成亿成兆的分子，要描述它们的运动，更是困难。这是牛顿水晶球的第一个裂缝。这限制有力地提醒我们，简并派想把一切尽可能地化简是危险的。如果把注意力全部集中在过度简化、能被数学征服的模型，便会有忽略真实世界整个丰富内涵的危险；特别是剥去一层层以为是模糊的现象而揭露内中的“基本”性质，这做法会使我们失掉时间真正的精华。
追求单纯是科学家一再堕入的陷井。牛顿写道：“大自然喜爱单纯，不爱过多因素的繁华。”可是对想象中最简单的情况，庞加莱把牛顿的数学已弄得无能为力。庞加莱写道：“一个世纪以前，有人在光天化日之下宣布了大自然喜爱单纯，可是此后不止一次，我们发现大自然并非如此。”在另一学科中，热力学的伟大先驱吉布斯坚持道：“对任何一门学问，理论研究的目的之一在于寻找一个观点，从那里整个学科看上去最为简单。”如果把吉布斯发展的平衡态热力学和他所忽略的、本质上更复杂的、跟实际关系大得多的非平衡热力学对比一下，我们就可以看出，吉布斯要求的“简单”是有缺点的。在所有情况之下，我们应该牢记剑桥哲学家兼数学家惠特海德的训诫，“追求单纯，怀疑单纯。”
遍历性
庞加莱在牛顿力学路途上插上“此路不通”的牌子，热力学的创始人没有加以理会，他们继续苦干自己选定的工作。他们声明过的目的就是从原子分子方面表达世界的行为。玻耳兹曼和吉布斯与庞加莱毫无关系地设计了一个漂亮的方法来强调不同的两种系统，一种是行为可预测的简单系统，另一种是具有众多分子、与日常物体更为接近的复杂系统。
为了想象无数分子的行为，他们把这行为画在一个“相空间”里面。这绘画式方法在此学科整个专门讨论中扮演了主要角色。相空间中的行为肖像，信息量极为丰富，它们对其中运动的显示就和从笔触辨识画家一样可靠。它们也有助于揭示时间之箭。
对在一个盒子里运动的一个台球，要画它相空间肖像，我们必须说它的位置是什么，速度是什么。位置用3个坐标表示，习惯上用x、y、z代表左右、上下、前后3个方向，速度也用这3个相互垂直方向的分量表示。这样一共要6个坐标来画这台球的行为；2个台球，就要12个坐标；3个球，18个坐标；等等。N个球，要6N个位置速度坐标：这6N维度组成我们相空间肖像的布局。这N个球在某个时刻的状态就由这6N维的相空间的一个点来代表。虽然不可能想象任何大于三维的空间，我们至少直觉上可以理解，100万个分子，用一个600万维相空间中的一个点表示，比用平常三维空间中100万个运动的点，更为方便。这些球按照牛顿的方程跳来跳去，那代表点在相空间就描出一个相应的轨道。
我们现在考虑一个完美的、来回摆动不已的钟摆的相空间肖像。每次来回，钟摆对其摆动终点的势能和它速度达到最大时的动能进行交换。如果摆动幅度不大，钟摆就是个可积分系统，相应的牛顿方程就能有精密解。这时候钟摆的相空间肖像是一个点，沿着一个环永远不停地循环[图30（a）]。每循环一次相当于钟摆的一个摆动周期。如果我们把这理想化系统拍成电影，然后既顺放又倒放这电影，那就无法判断哪个是肖像实际进行的方向——两种运动都是允许的。这里时间箭头很明显地被遗留在外面了。而这里的轨道是个闭合的环，这事实鲜明地说明了庞加莱的循环时间和永远的回归。用我们的比喻来说，画这幅肖像的画家可以说是来自可预测、可积分系统画派。
现在我们把这幅肖像和描绘一个气体分子行为更复杂的肖像加以比较。这里上亿的分子不像钟锤受着牵连，并且它们是不断在相互碰撞，在和容器的墙壁碰撞。每碰撞一次，气体的相空间坐标就做快速而重要的改变。玻耳兹曼和吉布斯经过推究，认为如果分子足够多，时间足够长，整个的相空间每一点都会经过。直观上我们可以合理地预期，一个单独的分子，随着时间的流逝，将会造访容器中每一点。他们把这性质叫做“遍历性”。一个长生不老的遍历性猴子，在一架打字机上随意乱打，经过长远到难以想象的时间以后，将会打出莎士比亚全集（以及狄更斯全集，乃至所有其他人的所有作品）。一个像孤立的、盛有气体的罐子那样的系统如果是个遍历性系统，气体分子就会探讨相空间所有准许的地方[图30（b）]。和钟摆比起来，这里飘忽不定的轨道显示着气体分子的随机性运动。
玻耳兹曼、吉布斯和麦克斯韦认为气体行为只受一个约束——能量的约束（他们考虑的是孤立系统，所以能量应该守恒）：“为了直接证明热力学平衡问题，唯一需要的假设就是：如果对在某个实际运动状态之下的系统，我们听其自然，它迟早将会经历每个与能量方程相容的相点。”难道这些遍历性系统含有了解时间之箭的秘诀？
钟摆是一个可积分系统，一群分子被假设是个遍历性的系统，它们迥然不同的相空间肖像是区别这两种不同行为极有价值的直观教具。
在20世纪30年代，数学家诸如纽曼、贝克霍夫、霍普夫、哈尔末斯（P.R.Halmos）等，为遍历性系统的理论处理，建立了一个数学上非常严格的框架，叫遍历理论。该理论此后发展成为一个完整的纯数学学科。一群（前）苏联数学家，最初经由辛钦（Aleksandr Khinchine）的启发，后来在柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）、阿诺索夫（D.V.Anosov）、阿尔诺耳德（Vladimir Arnold）、西奈伊（Yasha Sinai）等人的领导下，逐渐把持了这领域。
图30 (a)小振幅钟摆的相空间肖像。这是一个可积分的动力学系统。其轨道被限制在相空间很小的一个区域。（b）一个气体中分子群体的相空间肖像。这里的轨道将经过相空间的每一个部分——运动是遍历性的。
他们的工作揭示了，遍历系统中存在有不同层次的行为——有的简单，有的复杂，有的很奇妙：简单同时又复杂，它们不同的相空间肖像需要用整个一个画廊来装。就如艺术史专家把绘画分成“经典派”，“印象派”，“立体派”，“现代派”等等，这些肖像的分类可以揭露其中动力学不稳定性的特征——这和混沌有密切关系，对时间箭头在原子分子层次上的了解极为重要。
有个问题必须解决，我们才能找到时间箭头——因为即使在遍历性系统中，庞加莱回归的阴魂仍然不散。一个系统如果被锁在永远回归的循环之中，它就不可能有时间箭头。正如庞加莱所指出，一个动力学系统，不管多么复杂，如果注定它行为重复，就不会存在有伴随不可逆性的、永不回头的熵增。把庞加莱回归和无时间宇宙割开的是两个字：混沌。
宇宙尽头的电子
报道一场板球比赛的新闻记者，打电话到他办公室说：“史密斯把球打过外场员，赢得三分。”（Smith hit the ball over the slips and into the deep for three.）第二天，报纸上登的是：“史密斯把球打过悬岩，掉进蓝色大海。”（Smith hit the ball over the cliffs and into the deep blue sea.）同一体裁更熟悉的例子是指挥官下的命令：“派后援来，我们要进攻了。”（Send re info rce ment, we're going to advance.）这命令经过战壕里的口传，最后变成：“寄三毛五来，我们要去舞会了。”（Send three-and-four pence, we're going to adance.）
这两个笑话告诉我们，一句话稍微变一变，意思就完全两样。动力学混沌与此类似：初始条件稍微变一点儿，时间上的演化就迥然不同。动力学混沌这词有别于随机性混沌，后者是来自外界影响的真正偶然性的行为，本章不再予以讨论（这两种混沌的区别，第六、第七章已详叙过）。在能量可以损失的耗散系统的情况之下，我们已经提到过洛伦兹用以解释天气变化无常的蝴蝶效应。它强调我们现在离开拉普拉斯式决定论的梦想世界是大有一段距离了。
“宇宙尽头的电子”是洛伦兹蝴蝶效应的宇宙版本（但这里应用到一个能量不损失的守恒经典动力系统），是英国布里斯托尔大学的贝瑞（Mi chae l B erry）将它普及的。设想我们要追踪在屋中一个很小区域疯狂运动的一个氧分子。要这样做非常不简单，因为这个氧分子要遇到成万上亿别的分子，要和它们碰撞。碰撞使它转向，每次转的角度，原则上可以算出。为简单起见，我们假设分子是像台球一样地行动。但是对这分子初始位置速度的知识，只要有一点点微小的不确定，就会很快导致对偏转角度很大的不确定。这分子也许就碰不到本来应该碰到的另一分子，这样就大大地改变了它的轨道。假设我们像上帝，精确地知道它的初始条件。即使在这种情况，如果仅仅忽略小如这分子和位于宇宙“边缘”的一个电子之间的引力作用，我们也就再没有希望预言那分子的去向了。
我们并不需要考虑宇宙边缘的电子，我们甚至连实验室几尺外的电子也都不必管，除非我们在做极其敏感的实验。想预测这个氧分子的古怪行径，不管这些，已经够麻烦的了。贝瑞的故事之有效力，在于他假定在某个特定时刻我们已经精确地知道那个氧分子的状态。可是我们将要强调，即使在牛顿动力学，它的状态也不会被知道；和此内禀的不确定相比，宇宙尽头的电子的影响是微不足道的。
混沌粉碎了决定论
混沌存在的场合对初始条件是极端敏感的。牛顿方程能作短期预言，不能作长期预言，除非初始条件精确地知道。真实世界的这个特点，便被用来作为同时打发决定论和庞加莱回归论的武器。在上面的例子中，气体初始条件一个小小的改变就意味着本来要碰撞的分子不再碰撞，本来不会碰撞的分子却要碰撞。相空间代表所有分子的代表点，其轨道就要有很快的变化。这样，虽然牛顿方程应该能描述这气体的行为，但是要从这决定性运动方程中对未来做准确的预言，初始条件（所有亿兆个数值）必须以无穷高的精度得知才行。这工作即使原则上能做，也不是任何人脑、任何容量小于无穷的计算机能做的。说精度追求将是无穷，就是说这工作一直做下去，永远做不完。只有进入宗教的领域，决定论才存在。千真万确，事实上，也只有全能如上帝者，才能处理无穷多的信息。
气体是非稳定动力系统的一个例子：初始条件中微小的变化导致它长期行为中巨大的变化。类似地，不管弹球迷怎么想尽方法把钢球打得跟上次一样，结果总是不同。一个动力系统，如果是高度的不稳定，它便叫做混沌式：在此情况，初始条件很靠近的两个轨道很快地（指数式）分离。然而描述时间上演化这问题，还不仅是搜集必须放入牛顿运动方程的数据这项实际困难。假设射人弹球台的弹球的初始速度——初始条件之一，是一个介于0和1之间的数（也可以是介于1和100，或者两个任意数之间，道理一样）。这听上去很平常，其实却蕴藏着一个基本问题。因为我们用来描述这初始条件的任何数都是特殊的，都是非典型的。这是因为我们只能用所谓的有理数，它们由两个整数的商定义，可是数学揭示了众多的无理数，它们要讨厌、麻烦得多，描述一个无理数得用一个无穷长度的随机数字系列。对决定论的打击是由于，虽然在O与1之间有无穷多个有理数，无理数比有理数还更多，更无穷地多。我们只能处理有理数，而无理数必须用有理数近似。这样，我们能处理的数其实是一个极不正常的选择。当钢球开始运动时，它的速度是个无理数的概率远远（无穷远）地大于是有理数的概率。我们永远不能精密地描述它在弹球台的行动。这是原则问题，不仅是实用问题。即使有理数也会很长，甚至需要无穷个数字来表达。例如1/3是0.3333333……一直到无穷，作数字计算时必须截断，好比说，0.333。可是任何截断将会很快地导致与用“精确”初始条件完全两样的钢球轨道，产生完全不同的一场游戏。初始条件多少总是不确定的，这事实我们躲避不了，必须正面对付。
只是最近人们才注意到，问世已3个世纪的牛顿运动方程所描述的经典系统是不稳定的，也才意识到牛顿式决定论是有缺点的。一度是传统学科的流体力学的权威，赖特希尔爵士（Sir James Lighthill），最近代表几世纪来梦想实现决定论的众多科学家，做了一个感人的公开忏悔：“今天我们都深刻地感到，我们的前辈对牛顿力学惊人成就的崇拜，使它们在可预言性这领域中做了些推广，这些推广我们在1960年以前都倾向于认可，但现在我们知道是错误的。我们以前曾向知识界宣传过，满足牛顿运动方程的系统是决定性的，这在1960年后的今天，已被证明为不正确。我们在此集体向知识界道歉。”赖特希尔本人的专业，从前是工程师和应用数学家独占的地盘，现在经由对动力系统的新处理方法，已成为数学物理中新颖而硕果累累的一门学科。
无数考卷叫学生把牛顿方程应用在圆球的碰撞或行星整齐的轨道运行上，要知道这些问题都是例外，不是普遍现象。认为“正规”教育是和“现实”脱节的人，大可以用此作为武器。虽然用来处理这些问题的方程很简单，混沌这概念的妙处就在于，从同一个源，也能产生复杂的行为。
经过遍历理论的发展，相空间中的复杂性和时间箭头变得容易想象（图30）。混沌的手法可由相空间肖像显示。我们上面看到，初始条件，即使对一场弹球游戏来说，一般也是不能精密地确定。考虑到此点，相空间肖像不应该再用单独一点，而应该用个一小团。这小团包含所有与初始条件不确定性相容的轨道（气体分子的也好，弹球游戏中钢球的也好）：这小团包含可能性的范围。这小团在时间上将如何运动？游戏规则很简单：小团按照刘维方程演化（刘维方程，第五章讲非平衡统计力学时已讨论过），小团的体积必须守恒，形状不一定守恒。体积守恒的理由可以用容器中气体来说明。不管气体有多少种分配给诸多分子的方式，气体处于容器中的概率总是一样，总是等于一。气体总不会不翼而飞。这样，这小团可以看为一滴不可压缩液体，永远保持体积不变——因此保持总能量不变，但可以变化形状（相空间中整体形状标志运动是如何分配在分子中的）。
现在让我们来浏览一下相空间肖像画廊（这些肖像都不是用“一点”而是用“一小团”画的），看看是否能看出不同画家的手法（图31）。图31（a）是主考老师的得意之作，简单美感的曲线说明这是个可积分（非遍历性）的系统，这里的小团做周期性的旋转，只经历整个相空间（“布局”）的一小部分，并且保持它的形状。此画派肯定也影响了图31（b），那是一个遍历性系统，处于小团中所有的轨道仍然始终彼此靠近（不然小团就变模糊了），但是小团经历整个相空间。肖像（a）和肖像（b）代表稳定的（或规则的，或非混沌的）动态，因为初始条件中微小的不确定性，在长时间以后的系统状态中导致的不确定性，仍是同样地微小。
肖像（c）揭示的是可能更有兴趣的情况。它的狂舞，像一幅贾克逊·泊罗克（Jackson Pollock）的画：这运动经历整个的相空间，因此是遍历性的。可是小团的体积总是不变，它的形状却变成越来越长、越来越细的细丝，变成像掉进水里的一滴墨汁，放进咖啡里的一团奶油。到了它最后渗入布局的每个部分之后，它就不再演化了。这点具有重要意义，因为它告诉我们，在概率分布函数（小团）的层次上，可以达到平衡，时间演化可以有个终点。因为这种肖像和不同液体的扩散混合颇有相似之处，所以它叫做混合式遍历流。霍普夫第一个研究了这种时间演化的数学细节，虽然这种行为吉布斯已经想到过。
图31 相空间概率密度的时间演化；（a）非遍历性；（b）遍历性；（c）混合式。[录自巴力斯古《平衡统计力学与非平衡统计力学》，第718页。]
混沌的作用可以在图32中看到。这里显示的是肖像中“笔法”的细节，在初始条件小团中邻近两点之间距离随时间的变化。
图32 混合式流动的动力学不稳定性。（a）初始相空间概率分布中相聚d的两点。不管d是多小，这两点将随时间指数式地分离，如（b）所示。比较图31（c）。[录自柯文尼，《研究》第20卷，第190页（1989）。]
不管两点最初靠得多么近，它们总随时间指数式地分离。在很短时期内，这样两点的行为差别不大。但过了一段时间以后，它们的长期轨道就完全不同，它们各自经历相空间中完全不同的区域。这正是我们所谓混沌式时间演化的意义，因为只有我们能无穷精确地得知初始条件，我们才能利用牛顿的决定性方程来计算未来的行为。用相空问绘画语言来说，如果开始是单一的一个点，我们就可以求助于牛顿。但是对混沌系统，初始时刻不会没有的不确定性意味着牛顿物理的基石——可预言性——瓦解粉碎了。
对于这种混合型流动，一丝不苟的决定性必须退位给概率陈述。这就是说，我们必须一开始就放弃决定性的轨道，而只运用概率——这正是统计力学的办法。此结论对时间箭头颇具意义，科学家们，尤其是玻耳兹曼，想用分子运动来说明不可逆的热力学第二定律，既然他们用的主要方法之一就是统计力学，因此我们刚得到的结论，对时间箭头颇有意义。要注意：我们达到这结论，并没有引用任何主观论证。
这混合型肖像只是整个混沌肖像“族”里的成员之一。如果把遍历性系统按照不稳定程度即混沌程度排列，混合型流动是居中的。比它更混沌的行为发生在所谓K型流动中。这里，K代表柯尔莫哥洛夫，他和西奈伊研究了这种流动的性质。K型流动的行为处于完全不可预言性的极端，尽管“内中的”运动方程仍然是决定性的。K型流动具有如下令人注目的性质：初始即使有无穷多个测量，也不能预言下次测量的结果——除非初始测量是无限准确的，物理上那当然不可能。这种流动本质上是随机性的。
所有这几种行为可能听起来都有点太抽象。遍历性系统跟实际世界之间究竟有多少共同之处？事实上，直到西奈伊的创始性T作出现以前，很多人已经开始怀疑，现实与嵌在遍历性理论中抽象数学之间，是否有任何关系。但1962年，西奈伊宣布，他证明了一个只盛有两个或多个按照牛顿方程运动的台球的盒子，也具有图31（c）所示的混合性质。西奈伊的结果是对决定论又一个打击。仅仅两个球的运动，虽然比较理想化，确也具有有统计力学所研究的行为的性质。而直到那时为止，人们普遍以为，遍历性（更不用说更强的混合性了）只是巨大数目的原子或分子（例如一个气体中成亿成兆的分子）才有的性质。西奈伊指出，如果盒子里的球不止两个，那么动态就更退化一步，成为K型流动。这样，即使一场台球游戏其实也是混沌式的，也是不可预测的。球杆碰球的情况，稍微有点变动，球的长期位置就完全不确定了。幸亏对台球球迷来说，这不可预测性只是在击球完毕很长时间以后才能察觉到，并且是在不存在摩擦力的情况之下才行。
西奈伊创始性工作以后，许多别的理想化的情况，其中有的涉及台球彼此之间碰撞和台球与凸面边界碰撞，也都被证明具有混合式流动甚至K型流动的性质。从理论观点看来，缺点是建立遍历性性质极其困难，一个典型的严格证明长达数十页。已证明具有遍历性性质的情况都比较“奇异”，例如台球式的相互作用不能作为分子作用的典型，因为台球直到碰撞以前，根本不管彼此的存在。真实世界里的相互作用总是更平滑些。不过，很多人认为这只是一个技术性的困难，认为真实系统大多可以用遍历性的K型流动来模拟。
混沌与时间之箭
对于相空间肖像画廊如何跟时间配合这问题，现在让我们来试图给出一个更坚实的理解。我们已经看到，一个混沌式混合型系统（例如盒子里的气体），它的概率分布开始是一个小团，然后逐渐生出越来越细的卷须。这种卷须的成长和探触标志着气体分子对多得令人头晕的可能性进行调查。用单独一点的一定轨道来代表气体所有分子的运动是无意义的。我们唯一能说的是：气体分子，开始如果是在相空间某个小体积中某一点，现在就可能处于肖像中某条卷须中的任何一点。这里存在有巨大的可选择性。这也许就是微观层次的时间箭头，因为小团具有一个毫不留情的倾向，把自己变得越来越模糊，最后达到平衡的死亡状态，那时整个相空间布满细丝——变成了一团概率均匀的棉絮。
我们一旦放弃基于轨道的决定性描述，我们其实就已经根据对甚至是最简单的情况的了解，彻底进行了理论上、哲学上的再估价。我们不再有一个僵硬的决定性框架和固定的预言本领，我们被“降级”到统计层次，那里不存在决定性，那里的未来行为只是在一种概率意义上可预测。
以前没有不可逆性的场合，现在可以为不可逆性腾出地方来了，并且做法完全是客观的。它和动力学不稳定性密切相关，而这不稳定性是系统中的一个内禀性质，一个客观性质。因此即使在只有少数几个台球或分子的情况下，也运用概率并且承认这是基本做法是有道理的。这做法是基于系统的内禀性质，而和我们的干预、粗粒化方法以及其他“主观”行动无关。
以前认为是不允许的东西，经过运用概率理论对非稳定遍历性系统的描述，变为可能了——其中包括不可逆性，从而包括时间之箭。可是庞加莱的回归论不再来捣乱了吗？它不是说谁也逃不过永恒的回归吗？量子芝诺徉谬（见第五章）发明者米斯拉证明了：当我们放弃用个别点子画成的肖像，而采用基于小团的肖像，用基于概率的图像代替基于轨道的图像，庞加莱回归就不再成立。
关键是：只有采用概率途径，而不是用牛顿的决定性方程，我们才可以合法地寻找一个量，它类似于熵，从它能得到第二定律的时间箭头。米斯拉在1978年的一篇重要论文里，证明了对于K型流动可以找到这样一种熵。上面我们看到，K型流动包括台球和理想气体，一般认为在大自然中很是普遍（这点尚未被证明），尤其是牵涉到宏观系统的场合。就像热力学的熵一样，米斯拉的熵也是在平衡态时达到最大，那时概率分布停止演化。
借助动力学非平衡熵，我们把牛顿学说的盖子揭开了，发现它里面的情况其实是和平衡这热力学概念相容的。这对我们在微观层次上寻找时间方向是一个紧要的发现。这是因为，就如第二定律所示，平衡状态其实就是时间之箭的箭靶。至于这箭头指向“前”，还是指向“后”，是另一个问题。回忆一下，作为此分析基础的经典力学是时间对称的：理论上可能有两个不同的时间演化，一是朝着未来的热力学平衡，一是朝着过去的平衡。
这两种演化应该选哪个，这问题对我们现有的基本原则来说太深奥了，是无法解决的。答案很可能归根到宇宙学上去。也许根据彭罗斯的建议，我们在第五章考虑宇宙学时间箭头时曾讨论过这建议，不过这还是属于臆测。我们采取的做法是：把第二定律当做自然界一个唯象事实，用它根据观测来选择朝向未来的演化。我们采取这简单而意义重大的步骤以后，就能把第二定律的时间箭头加进动力学的结构之中，从而使后者彻底变质。在此解决不可逆性佯谬的办法之中，第二定律和力学的地位相等，这办法和简并派不成功的方法迥然不同，历史悠久的简并派总想用力学来说明热力学。
这办法从米斯拉后来和普里高津、库尔巴伊（Maurice Courbage）的合作中得到更多的支持。他们证明了如果存在一个类熵量，那么可逆性的轨道便不能用。他们并且还发现了与不可逆性相容的时间模式，叫做“内在时间”，它标志着一个动力系统的年龄。这年龄反映着系统的热力学情况，而牛顿方程中的描述则表达纯粹动力学可逆性的特征。
自从不可逆性佯谬问世以来，人们100多年来把力学和热力学放在敌对位置。而布鲁塞尔小组在两者之间建立了一个令人注目的关联。海森伯的不确定性原理（见第四章）所表示的、玻尔对量子力学的解释所强调的量子力学中观测量的互不相容，我们在这里发现一个和它很类似的情况：一个系统的热力学性质（即系统的不可逆年龄）如果完全知道，可逆性动力学描述就失去意义；反过来，动力学描述如果完全确定，热力学观点就立不住脚。对此情形，普里高津做如下说明：“世界之丰富多彩，不是一种语言可以尽括的。音乐不能完全归纳在从古典作曲家巴哈到近代作曲家希恩堡的各种风格之中。我们经验的各种不同方面，同样地不能用单一的描述一言而尽。”
分别以动力学和热力学描述的可逆性和不可逆性，看上去是同一个硬币的两面。就如我们在量子力学中发现的情况一样，世界整个结构太丰富了，我们的语言说不完，我们的头脑懂不全。对时间这新的看法具有两个紧要而互补的方面，它们之间对比之强烈，犹如天堂和地狱。统治天堂的是动力学方程，它们是可逆的，是“无时间”的，它们的单纯保证着永远无穷的稳定。地狱则像是实际世界的近亲，其统治者是起伏、不定、混沌的。这是个不稳定的，朝着死亡与平衡衰退的世界。
KAM来到
这样，在经典物理学的核心中发现了能描述年龄概念的一种新时间；它和随时间增大的一种熵联系着。这样一来，不可逆性和熵看来都是充分不稳定的动力系统的基本性质，即使系统只含有两三个相互碰撞的物体。我们难道在热力学时间箭头与统治微观世界的可逆性方程之间，得出了一个普遍的联系吗？还没有完全这样：别忘记我们还没有考虑相空间肖像画廊中所有各种运动，我们只考虑了可积分系统和遍历性系统两种。要知道此外还有牵涉到三个或更多个物体的情况，这些都是不可积分的，这是庞加莱首先发现的，本章上面已经提过。
我们处理过的相空间肖像是两种极端情况——极端“简单”与极端“复杂”的。遍历性系统，特别是混合型流动或K型流动，属于“复杂”系统，因为即使是两个或三个台球在一个盒子中的运动，相空间肖像是毛发状的，表示整个的相空间都将被经历。另一方面，一个理想化的钟摆或者一颗绕日运行的行星是简单（可积分的）系统的例子，意即它们的运动受着高度限制，没有碰撞，可预测，因而是非遍历性的；它们的行动单调无味，有规有矩。这些可积分系统的相空间肖像是由受限制的（非遍历性）轨道组成，这些轨道周期性地重复咬自己的尾巴。这定性上和我们自己对简单系统的经验相符，“咬自己的尾巴”相当于地球重新开始一个绕太阳的循环，钟摆下一次的摆动。
这看来颇令人不解，尽管一个稳定的地球轨道让我们非常放心。从我们上面得到的认识，地球的绕日运动似乎具有一个随便乱来的混沌系统所具有的因素：它应该不是一个可积分的“二体问题”，因为还有月球和其他行星的引力作用。天体的运动其实是多体作用的结果（天体其实不止两个），因此，按照庞加莱的理论，这运动应该是不可积分的。而我们不是已经看到了除掉最简单的情况以外总应该出现混沌？
幸好我们仍可指望太阳每天升起，亏的是一个以柯尔莫哥洛夫-阿尔诺耳德-摩塞（KAM）命名的定理。此定理出于柯尔莫哥洛夫1954年开始的关于庞加莱回归的工作，这工作随后在20世纪60年代初期由他的同事阿尔诺耳德加以发展。摩塞（Jrgen Moser）同时先后在德国和美国用类似的方法做了同一工作。他们的研究证明了庞加莱的这种系统属于完全规则和完全混沌之间的一种中介情况。
这种行为半明半暗的区域，可以从在简单情况里加一剂新配料以后达到。在我们地球绕日运动的模型中，这新配料就是我们引入的一个或多个代表月球或其他行星的小小的力。人们起先以为这种摄动肯定会把非遍历性转化为遍历性，把一个简单的相空间肖像，例如描述钟摆的环，改变成一个复杂的肖像，例如我们已经遇到过的“毛茸茸”的混合型流动。
可是KAM定理表明，这不一定发生：这小摄动在布局的不同部分，作用不同。布局有些部分仍旧是规则的，就和未加摄动以前一样，有些部分就出现了很不规则的、混沌的行为。前者的初始条件小团仍旧被限制在比较简单的闭合环体里面，而后者的小团则伸出细长的卷。图33示意一个简化过的例子。规则区域相当于稳定的运动，相当于物体之间没有碰撞；混沌区域相当于物体经受了碰撞的随机化作用。看来好像这幅肖像是两个画家画的，每个画家画了不同的部分。这两部分一般很复杂地彼此缠绕着。
图33 一个不可积分系统相空间行为的简化图。规则行为区域和无规则行为区域同时存在。参见图31。
许多不同的因素支配着布局应该如何分成规则和无规则的两种区域。假设开始的摄动很小。我们逐渐增大输入系统的能量，我们将观测到一个所谓“随机跃迁”：本来主要是很规则的运动变成主要是很不规则的运动。原因是：能量越大，碰撞越有机会破坏和平的规则运动。此外，外加摄动的增大如果超过某个值，所有的动力学运动，由于同一缘故，都要变成混沌式运动。
天体力学界的天体物理学家听到KAM定理的消息以后都非常兴奋，因为它为证明行星运动是稳定的这尚未解决的问题大大向前走了一步。行星运动如果是不稳定的，那么像地球这样一个行星就会一声不响地掉入深渊。生命也许从来就没有出现过。即使出现了，天空中的混沌行为也不会给古人什么宇宙“内在规律性”的线索了。在第二章我们看到了，这种鼓励对发展智力思考（以及可逆性时间）曾起过极大作用，没有这种鼓励，牛顿科学本身也许不会升到统治地位。
图34 KAM定律对热力学第二定理的挑战。[录自《新物理》（P.C.W.Davies编辑）中福特的论文的图12.14。]
就如KAM定理所预言，在相空间，某些部分运动是无规的，在太阳系中我们的确能找到一些粒子。状若土豆的土星第七卫星，它的运动就是混沌式运动。它围绕土星的轨道大致是规则的，但它同时不规则地、不可预测地打筋斗，就像一个土豆在地上打滚一样。冥王星的轨道中也有类似的行为。火星与木星之间的小行星带中的空隙，混沌动力学也给了解释。
对于日夜在力学中寻找时间箭头的人，KAM定理乍看上去不是好事。他们才刚以为终于能把时间的描述放在动力学不稳定性和随机性的基础上，KAM定理又来捣乱，说复杂系统能在相空间某些部分呈现简单、无时间性的行为，和时间之箭能在相空间另外一些部分出现一样地肯定。然而，重要的计算机模拟工作（特别是亚特兰大的乔治亚工业学院的福特与其合作者所做的）表明，在“物体数目充分大”的情况下——具有成亿成兆分子的宏观层次是肯定满足这条件的——所有关于规则周期运动的行迹都会被淹没掉。那时，KAM定理将失去作用，遍历性、不稳定性、从而不可逆性再次主宰一切。虽然我们应该说明，这些话还没有给予严格的数学证明，时间之箭看来经过计算机的数字啃嚼而复活。这和我们自己的经验相符：正是在日常物体、事件（例如在融化的雪人）的层次上，我们最感觉到时间的箭头。
可是，这里看来好像也有一个截止点和粗粒化中的差不多。第五章介绍了那里的截止点，它说当我们从原子尺度移到苹果尺度的过程中，时间之箭会神秘地出现，因此我们将粗粒化轻率地打发掉。现在当我们从少许几个原子移到“数目充分大”的情况的过程中，时间箭头的出现是否也具有某些随意性？统计力学启示我们利用“热力学极限”办法来处理这问题。我们不要设想一个任意大的分子集合，让我们考虑如下的系统：它的分子数目N和它的体积V都趋向无穷，但分子的密度（N除以V）一直保持为有限。热力学极限避免了时间箭头在某个随意尺度上的出现。这是统计力学不可缺少的一手，应用很广，例如固体转化为液体时熔点温度的理论计算。在热力学极限下，KAM定理失效；任何“无时间性’的规则行为都被冲走，只有无规则的混沌式运动留下来。这样，时间之箭就显露出来了。
相对论混沌
关于相对论力学中的混沌只有少许认识。第三章提到，广义相对论中，运动是沿着两点之间距离最短的测地线进行的。法国数学家哈达马（Jacques Hadamard）在19世纪末证明了，在一个曲率为负常数的面上，测地运动是高度不稳定的。此后又证明这运动是一个遍历性K型流动。在某些宇宙学场合，可以证明这种测地运动是的确发生的，于是在这些场合中可以建立内在时间和年龄的观念。此外，甚至相对论不变场——用以描述电磁现象的那种，看来也有K型流动的性质，因此也具有内禀的不可逆性。可是在有引力相互作用的场合中，证明诸如动力学熵、动力学年龄的存在，殊非易事，至今尚无答案。
量子论与不可逆性
至此为止，我们所考虑的是：当我们用牛顿的观点来处理微观层次上的事件时，不可逆性会以何种形式登上舞台。可是近代的证据（第四章讨论过）是说：要正确地描述微观物质，必须运用量子力学的语言，尽管这样做有许多困难。因此，我们应该设法把不可逆性的讨论建筑在量子理论上。这样做和用经典理论有许多相似之处。
在量子力学中，一个系统的状态由波函数描述，而对于嵌置其中的可观测量（诸如位置、速度），测不准原理保证它们总有些内在的不准确性。然而，被薛定谔方程决定的波函数的演化是可逆的，就像牛顿力学中的轨道一样。因此，很自然的一个问题是：是否存在一种波函数的动力学不稳定性与经典力学中的混沌类似。这样一来，我们必须把第五章提到的量子力学密度矩阵拿来取代波函数，作为考虑的基本对象，就如在动力学不稳定的系统的经典力学中，几率分布函数是它的基本对象一样。
尽管多年来许多人的认真努力，在小的量子系统中，我们（至今）还没有找到与混沌类似的现象。这和量子理论中存在一种强形式的庞加莱回归有关，它说：所有有限的、隔离的量子系统。比如放置薛定谔的猫的装置都是周期性的——它们都要永恒地回返。薛定谔的猫将永远陷在既活又死的暖昧状态之中。这样，量子力学中似乎没有一条趋向平衡的单向通途。然而，只要承认存在具有巨大数目分子的宏观物体，就可以把一种熵引入量子力学。办法是采用热力学极限，就像经典力学对大的、不可积分的庞加莱系统的处理一样。当然，和上面那种情形相同，只是在考虑宏观系统而不是考虑微观系统的时候，不可逆性才可以这样出现。
对于量子力学的主要困难之一——第四章讨论的测量问题，这一结论颇为重要。虽然量子力学的实际应用已成惯例，但是对它应该如何理解仍有可争论之处。为了事件在真实世界中发生，波函数在测量时必须坍缩，这时信息是如何从理论中提取出来，这便是最大的难处。量子力学在微观层次上是非常成功的，那么现在大惊小怪些什么？
贝尔（John Bell）是欧洲粒子物理中心（CERN）的一位理论物理学家，他对量子力学的内在问题做过深刻的思考。他采取的是“悄悄地”态度。他认为：“量子力学里基本性的含糊并没能阻止我们进步。我们的理论学者在那含糊中迈步前进……已取得的成果是极为动人的。如说这是患梦游病的人做的，我们难道要把他叫醒吗？我觉得是不叫为宜。因此我现在把声音放低，悄悄地说话了。”
如果一个人喜欢在微观世界中生活，那也就不妨梦游梦游。可是从第四章得出的结论是：量子力学用来描述我们自己的世界时，发现它在宏观层次上是有问题的。困难可以用像薛定谔的猫那样的量子佯谬来说明，其中“量子实际”需得用“又死又活的猫”这类暖昧状态来描述。对此情形，贝尔概括如下：“世界究竟应该如何划分为我们可言的仪器和我们非可言的量子系统？通常的理论中的数学要求这样一个划分，但不告诉我们如何划分。”
他继续说道：“难道亿万年来，世界波函数一直在等一个单细胞生物的出现，然后才跃迁（坍缩）?还是它还得多等一会儿直到出现了一个有资格的——有博士学位的观测者？如果这个理论不是仅仅只能用在理想化的实验室过程，我们不是就得承认，差不多每个时刻，差不多每个地方，都在进行差不多的‘类测量’过程？这样一来，难道还有某个时刻是没有跃迁的、是薛定谔方程能适用的？”
一般看法认为：每做一次测量，波函数就不可逆地、完全不能预定地、随机地坍缩——因为这坍缩到底是在薛定谔方程的范围之外。可是，正如玻尔与其学生罗森菲尔德（Leon Rosenfeld）一再强调过的，测量这过程是用一个宏观的仪器，在宏观世界与微观世界的“交界处”进行的。按照上述办法把熵和不可逆性引入量子理论框架，对于这个疑难问题，可以得到一些认识。如果可以找到一个类熵的量，可逆的波函数就可以被一个概率手段所取代，就像牛顿方程被刘维方程所取代一样。不可逆性一旦被承认，波函数坍缩就失去它先前那种神秘性。从这个观点来看，测量过程根本没有什么东西令人注目——它就是与热力学第二定律相符的一个不可逆过程的典型例子。
在量子理论中引入内禀不可逆性很富有吸引力，它把热力学第二定律从开始就包含进去，并且解释了测量过程。然而，由我们看来，这仍旧是一套不完备的理论，可逆的量子定律和不可逆的热力学仍旧是以某种特殊方式连接起来的。我们同意贝尔的看法，即在这方面某些基本措施仍待发现：“观察事物的新方法将牵涉到某种想象跃进，这跃进将使我们惊讶。无论如何，量子力学的描述将被取代。在这方面，它和其他人为的理论一样。但在更大的程度上，从它的内部结构中可以看到它的末日命运。它本身就载有自我毁灭的种子。”也许彭罗斯的猜想，即一个令人满意的、未来的量子引力理论中的时间是不对称的，能提供所需的“彻底的意识更新”。这样一套理论，如果成功，可以期望拿掉广义相对论中的奇点，说明热力学第二定律，解释波函数坍缩。不过这项工作属于未来。
时间与豹斑
这对于前几章用以描述豹子如何得到身上的花纹、黏菌如何聚合的方程，有何意义？那些含有时间箭头的非线性“运动”方程，它们的动力学来源是什么？
物理学成功地运用了这些方程——其中包括第五章提到的著名的玻耳兹曼方程来描述诸如黏滞性、扩散、热传导的运输过程。我们熟悉的不可逆过程——扩散，在它里面的是物质从高密度区流进低密度区。类似的，黏滞性来自一种液体的摩擦，由于这种摩擦，流体中的有序的机械能耗散为热能，热能相当于分子的随机运动。
可测的量，比如一个液体的黏滞性和热导率，大多数人认为是物质的“客观”性质。但是绝对坚持原子简并论的人，却认为这些日常现象是“幻觉”，应该予以摒弃。难道这些像黏滞性的性质，真是一个基本上无视时间的宇宙里面，我们目空一切的想象中的虚构？为了解释周围的世界，我们难道还得向主观因素求助？幸好我们有理由相信，答案是否定的。这是因为现在有一个可说是普遍的方法，可以用来导出这些运动方程，这方法看来和不可逆性的来源有深奥的关系。尽管这普遍方法有不少数学上的困难，它看来能够阐明时间箭头问题。特别是：20世纪60年代晚期至70年代早期，乔治（C laud e George）与何宁（Fran oise Henin），在与普里高津密切合作之下证明了，一个大的耗散系统的时间演化，可以唯一地分成为两个完全独立的、叫做“亚动力学”的成分。
一个是“运动”成分，它描述系统的长期演化，含有到达热力学平衡态的途径。另一个是“非运动”成分，它描述初始条件开始以后不久的短暂行为，这种行为随演化而消失。我们还不太清楚，这两种行为究竟如何划分，究竟在哪个时刻分子就不记得初始条件了，就在时间之箭的影响之下奔向平衡态了。对此问题，活跃的研究仍在进行。动力学不稳定性（混沌）是一定需要的。有件事是肯定的：这种行为如能从微观动力学导出，主宰运动成分的将是一个高度普适性的、时间不对称的运动方程。这样，我们终于揭露了统计力学中的时间箭头。
亚动力学这园地，丰饶多产。它使新的和老的运动方程可以系统地导出，并来描述一大批不同的现象。巴力司古（Radu Balescu），巴黎南边丰特乃玫瑰镇CEA（欧洲原子协会）的米斯基齐（J.H.Misguich），贝尔格莱德物理研究所的西卡尔卡（Vladimir Shkarka）和本书作者之一柯文尼将此分析扩展，他们研究其演化的系统受着一个时间上有变化的外在场的支配，例如由激光产生的电磁场。这对于探求可控聚变发电是一个颇有兴趣的课题，因为后者就是把由电离原子组成的等离子体限制在一个磁场里面，希望载有正电荷的原子核彼此碰撞，从而释放大量的核能。这种等离子体的时间演化可以用非线性运动方程精确地描述，而这些方程可以用亚动力学手段得出。此外，在空间时间都变化的电磁场的情况之下，描述几种特定等离子体的演化的方程，也可以用同一手段来解。
在避免用主观的方法把不可逆的运动方程从力学中推导出来的努力中，如果说布鲁塞尔小组是孤军奋战，那就错了。别人也试图用过另一些同样是微观的、客观的方法。加州大学伯克利分校的一位数学家兰弗德（Oscar E.Lanford Ⅲ）在1975年对玻耳兹曼方程做了至今为止最严格的数学推导。可是，他只能证明他的推导只是在很短时期内有效，而我们预期它应该最适宜描述对稀薄气体的长期行为。其他一些人发展了基于“定标”技术的方法，这些人中包括慕尼黑大学的斯庖恩（Herbert Spohn）。不过这些方法有与兰弗德的方法同样的缺点。这些手段的优点是高度的数学严格性，但是它们没有布鲁塞尔小组所发展的那么多的科学内容。
熵与创生
不可逆性与熵看来和所有事件中最重大的事件——时间、宇宙本身的诞生无可避免地连在一起。这启动所有事件的事件——宇宙的无中生有和熵的产生不可解脱地结合在一起，因此是不可逆的。第三章讲过这个熵，它无所不在：彭齐亚斯和威尔逊在1965年发现的来自全天的微波黑体辐射，相信是大爆炸的一个遗迹。这个黑体辐射由低能光子“稀粥”组成，遍布全宇宙，它是一个丰富的熵源。
可惜的是，这个熵不可能跟描述宇宙大尺度结构的爱因斯坦相对论方程挂钩。这些方程只能描述可逆过程，因此无法解释这个熵从何而来，除非用我们已经遇到过的、定义模糊的粗粒化。如果我们因为这办法是特殊的而不加采用，那么问题仍然存在：熵是如何产生的？
均兹格（Edgar Gunzig）、戈呵纽（Geheniau）、普里高津在1987年对此问题提出的一个解答，虽属臆测，却具有魅力。这个答案建筑在另外一些宇宙学家的想法之上，其中包括，除均兹格外，有布柔特（Robert Brout）和恩格勒尔特（Fran ois Englert），他们的宇宙无中生有，在上面第四章中曾有讨论。
让我们来回想一下他们的看法：最初，时空是一无所有的，是平直的——根据爱因斯坦对引力的解释，那时没有物质使时空弯曲。海森伯的不确定性原理允许在短期间内可以免费借能量来创造宇宙。根据爱因斯坦的物质-能量关系，这能量产生物质（以黑洞形式），物质又引起时空的弯曲——也就是我们所谓的引力。从“无”，我们得到相当多的“有”；尽管如此，产生宇宙所需的总能量等于零，因为宇宙中所有引力的能量是负的，它和产生的质量的（正）能量恰好抵消。
本章前面我们试图用原子分子的语言来表达第二定律时，我们看到，混沌和动力学不稳定性这些概念与热力学不可逆性相容。这里的建议是：平直（“闵可夫斯基”）时空量子真空的不稳定性与不可预测性，经过种下充满物质的宇宙的创生的种子，导致出不可逆性。这样，物质形成的过程被认为是在宇宙学尺度上不可逆的，并且黑体辐射中的熵就是这个原始过程产生的。时间的诞生于是变为一个无可避免的单向过程。它是时间之箭的最终表现。
有人认为，宇宙创生以后，经历过一个“暴涨”膨胀阶段（其时黑洞蒸发），然后转变成我们今日熟悉的那种物质辐射混合体。这个模型中一个很有意思的特点是，我们在它里面再次看到时间的双重面目：不可逆性与重复。因为宇宙如果是开放的，也就是说，如果没有充分的物质把它拖向“大坍缩”，它就要一直膨胀下去，宇宙中的物质密度将要变为极端稀薄。这种情况相当于一个平直的时空，于是整个这场戏将要重演在大得非常非常多的尺度上。看来，我们在这本书里一再强调的时间的这双重性质，在无与伦比大的尺度上，居然也可能存在。