“我们来做一下最大公约数和最小公倍数的练习。”我写下了问题。
问题3-1
假设 M 和 L 分别表示自然数 a, b 的最大公约数和最小公倍数。
那么，请用 M 和 L 表示 a × b。
“哥哥，人家不懂啊。”
“回答得太快了！都说过你太轻言放弃了！”
“人家没学过这个公式嘛！”尤里嘟起了嘴。
“就算没学过公式，也能想想吧。—— 好吧，那我们一起想。”
“嗯！”
“我们尽量把问题具体化。特别是像出现 a, b, M, L 这样很多变量的情况下，代入具体数字思考是非常关键的 。”
“举出具体数字就行吗？那试试让 a = 1, b = 1 吧！ a × b = 1 × 1 = 1。a, b 的最大公约数就是……嗯，是 1 对吧，也就是说 M = 1。然后最小公倍数……嗯，L = 1。
怎么出现这么多 1 啊，越来越糊涂了。”
“我说啊，尤里，全在脑子里想的话，就会乱成一锅粥的。好好用表格总结一下。”
“很麻烦嘛。”
“尤里，让 a = 1, b = 1 的话，它们就都是最小的自然数，而且相等。这是极为特殊的例子。所以试着想想 a ≠ b，而且数字再大一点的例子。比如说，a = 18, b = 24 怎么样？”
“知道了，我试试看。a = 18, b = 24 的话……”
“你分解了质因数啊。”我说。
“嗯……最大公约数是把两个数都包含的数字合在一起，它们都包含一个 2 和一个 3，所以最大公约数是 2 × 3 = 6。”
“没错。最大公约数 M = 6。那么，最小公倍数呢？”
“最小公倍数是把至少其中一方包含的数字合在一起，在这两个数中，有三个 2 和两个 3，所以最小公倍数是 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72。”
“最小公倍数 L = 72。那么，在表格中再追加一行。”
“怎么用 6 和 72 得到 432 ？”我说。
“不是做乘法吗？ a × b 就等于 M × L 吧？”
“你确认看看。”
“你看吧！果然没错！它们都等于 432 ！”
“是呢。刚好 a × b = M × L。那么在这里，我来简明易懂地说明一下。”
“诶？”
“再写一次将 a = 18, b = 24 分解质因数的过程。这次我们试着把位置上下整合一下。”
“同样也把 M = 6, L = 72 写出来看看。”
“比对这两张表格，就能理解 a × b = M × L 了吧。”
“一点儿都不知道！”
“是吗？尤里刚刚你说过的吧？”
“最大公约数是把两个数都包含的数字合在一起”。
“最小公倍数是把至少其中一方包含的数字合在一起”。
“哥哥听得好仔细啊。”
“尤里说的‘两个数都包含的数字’和‘其中一方包含的数字’里面的‘数字’指的是什么？”
“是 2 和 3 啊。”
“对啊。分解质因数时出现的一个一个的质数就叫作质因数。尤里，跟我说一次‘质因数’。”
“诶？‘质因数’……为什么要让我重复？”
“出现新词语的时候，自己反复念出来比较好哦。这样就会深深地刻在‘心的索引’里了。”
“诶？然后呢？”
“把位置整合以后写出来就会发现，a × b 和 M × L 的合成方法不同，但出来的质因数是相同的。”
“确实，很明显 a × b = M × L，它们分别乘起来的东西是一样的。”
“东西？”
“啊……乘起来的质因数是一样的。”
“嗯，分解质因数，就是把自然数分解成质因数的乘积。分解质因数非常重要，因为它能让我们看到自然数的结构。”
“分解质因数，有这么重要啊……”
“想到这里，我们就很清楚 a × b = M × L 的关系了。a × b 是‘a 的所有质因数’和‘b 的所有质因数’的乘积。而 M × L 从结果上来说也是一样的。因为最大公约数 M 是‘a 和 b 所有重复的质因数’的乘积，最小公倍数 L 是‘除 a 和 b 重复的质因数之外的所有质因数’的乘积。”
解答3-1
假设 M 和 L 分别表示自然数 a, b 的最大公约数和最小公倍数。
那么，
是成立的。
“请听题。把 a 和 b 分解质因数，变成以下这种形式。这时 a 和 b 是什么关系呢？”
“哈哈。没有共同的东西。”
“你说的共同的‘东西’是？”
“是质因数！ a 和 b 没有共同的质因数对吧。”
“这是有专门的词汇的啊……”
“知道了知道了知道了知道了知道了！”
“你说了五次‘知道了’。质数。”
“a 和 b 是‘互质’的关系！”
“对，完全正确。”
“哥哥！人家可能已经习惯说‘互质’了！”
“那就太好了。”