7.1.1 余数的定义
“哥哥，这个怎么样？”尤里问我。
“什么？”
“诶？没发现吗？你看你看！”
尤里说着转过头，马尾辫上苔绿色的新丝带轻轻摇曳着。
“丝带真漂亮啊。”
“嘁嘁嘁……哥哥，你这样可是会不受女孩子欢迎的哦。”
“你这是什么意思啊？”
“不应该说‘丝带真漂亮啊’，应该说‘很配你哦’才对嘛。”
“诶……”
“你真是不明白女孩子的心思喵！”尤里又开始用猫语说话了。
“是是……很配你哦。”
“喂！别机械地重复啊！”
“哈哈哈……”
“热身完毕，今天要讲什么？”尤里问道。
“尤里，你知道余数的定义吗？”
“除完剩下的数字对吧。”
“这……你忘了怎么描述定义了吗？‘余数指的是……’”
“啊！想起来了。‘余数指的是除完剩下的数字’对吧。”
“我知道你想说什么，但是这不算定义，用什么除什么？剩下的数字指的是什么？必须说明白。”
“嗯……人家没这么想过，弄不明白啊。”
“那我们一起来想。”我打开笔记本。
“好啊。”尤里戴上眼镜，凑到我身边。
开始学习——
“为了准确地定义余数，我们采用数学公式。”
“a 除以 b 剩下的数字指的就是这个等式中的 r。我们这么来定义这些字母：a 和 b 是自然数，q 和 r 是自然数或者 0。”
“咦？我说哥哥，我感觉这个等式没有定义余数啊，而且根本没出现除法运算！”
“定义余数也是定义除法运算，所以在定义余数的时候没出现除法运 是正常的。这个式子用乘法定义了余数。首先你先好好读读 a = bq + r 这个等式。读数学公式不能着急，得边读边一个个去确认 a, b, q, r 这些字母的意思。”
“人家知道啦，老师。嗯……自然数指的就是 1, 2, 3 这样的吧……在等式 a = bq + r 里出现了 a, b, q, r 这四个字母。a 是被除数，b 是除数，r 是余数……但是 q 是什么？”
“你认为是什么？”
“b 和 q 相乘，再加上 r 就等于 a……难不成 q 是除法运算的答案？”
“没错。q 是 a 除以 b 的商。”
“那我就明白这个等式的意思了。a = bq + r 就表示用 a 除以 b，商为 q 余数为 r 对吧。但是这个等式里，
右边写的条件 (0 ≤ r < b) 又是为什么呢？”
“你终于发现了啊。你真是不会放过任何一个条件呢。好好想想看，为什么会存在这个条件？如果有很在意的地方，就一个一个仔细想，这对学习数学非常重要哦。”
“哥哥演起老师还真是有模有样的。 ——嗯，因为 r 是余数，所以 0 ≤ r，总之余数要大于等于 0 对吧。余数是 0 就整除了。但是为什么 r < b 我就不明白了……”
尤里推了一下她的树脂框眼镜，双手抱在胸前。
“这个，r < b 嘛……r 是余数，b 是除数……啊！这不是明摆着嘛！r < b 就意味着‘余数’比‘除数’小。比如 7 除以 3，余数为 1 是 吧， 7 ÷h 3 = 2 ... 1。用 3 除，余数肯定不会超过 3，如果用 3 除余 4，就会出现‘余数多了’的问题……”
“对对，就是这么回事。尤里真棒，能用具体数字举例。条件 0 ≤ r < b 表示余数肯定大于等于 0，且余数小于除数。看吧，只要这样仔细读，这个定义余数的等式 a = bq + r (0 ≤ r < b) 不也进到脑子里了吗？数学这东西，就算你非常神速地把它全背下来也没用。要慢慢地读，反复地写数学公式，有疑问要仔细思考，举出具体例子验证。这么玩很重要。玩着玩着就学会了。要想准确定义余数，就必须证明存在唯一满足这个式子的 q 跟 r。现在我们先省去这个步骤。”
余数的定义（自然数）
我们用以下等式定义 a 除以 b 的商 q 和余数 r。
在此，a, b 为自然数，q, r 为自然数或0。
“那么，来把你的例子套到等式里看看。用 7 除以 3，商为 2 余数为 1。也就是说，a = 7, b = 3, q = 2, r = 1。”
7 = 3 × 2 + 1 (0 ≤ 1 < 3)
“嗯，明白……不过这有意思吗？”
“尤里，之前我跟你举过‘使用数学公式表达’的例子。算数和数学最大的不同在于，会不会出现带有字母的数学公式，对吧？你已经理解了‘余数’是什么，但是要表达它，则需要数学公式。然后，在数学公式中，我们必须紧紧咬住每一个字母的含义。这就是我之前想说的。”
“喔……我明白了，哥哥。”
“不过话说回来，你还是没放过任何一个条件呢，了不起！”
“讨厌！人家会不好意思的！”
7.1.2 时针指示之物
我指了指墙上的时钟。
“如果时钟时针指向 3，那么可能出现两种情况 —— 凌晨 3 点，或者 15 点，也就是下午 3 点。我们不知道是哪种情况。时针指向的是‘用现在的时刻除以 12 的余数’。因为 15 ÷ 12 = 1 ... 3，余数是 3，所以在 15 点时时针会指向 3 这个数字。”
“喔……听哥哥你这么一说，确实是这样呢。要是 23 点的话，就用 23 除以 12，余数是 11，然后时针会指向 11……没错。”
“所以，时钟正在进行求余数的计算哦。”
“不是吧！哥哥你搞错了吧！”
“嗯？”
“因为你看嘛，想想余数为 0 的时候啊，12 点的时候，时针不指向 0 而指向 12，难道说余数得 12 ？太奇怪了吧。”
“啊，说的也是，但是 12 跟 0 是一样的啊……”
“12 跟 0 才不一样呢！哥哥你忘了余数的定义了吗？
用 12 除的时候，余数 r 有 0 ≤ r < 12 这个条件吧？ 12 没有余数哦！喵哈哈～”
“呃……”
尤里这家伙，跟立了什么大功一样……