6.2.1 为了将运算引入集合
“我以为做完检查马上就能出院了，没想到居然让我住三天。太无聊了，你带泰朵拉一起来看我，我们一起研究数学。”
这是米尔嘉的请求 —— 或者说是命令。
于是，我跟泰朵拉第二天就去探望了无聊的女王陛下。米尔嘉很欢迎我们来听她的群论入门课。
“首先，从集合说起。”米尔嘉把长发梳到脑后，从床上坐起身说道。
◎ ◎ ◎
首先，从集合说起。
我们知道很多种关于数字的集合。
是 {1, 2, 3, ... } 等全体自然数的集合。
是 {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 等全体整数的集合。
是全体有理数的集合（有理数可写作两个整数之比）。
是全体实数的集合。
是全体复数的集合。
从小学到高中，我们都一直在学习数字的集合，学习运算。换个角度，我们不研究刚刚提到的那些集合，而是将运算引入完全不同的集合之中试试，这也会很有趣哦。
6.2.2 运算
“对于集合 G，我们假设定义有 这个运算。对于集合 G 的任意元素 a 和 b，都有以下关系成立。
此时，我们称‘关于运算 ，集合 G 是闭集’。”
米尔嘉刚讲完“闭集”这个用语，泰朵拉就举起了手。她是那种不管讲解对象是否在眼前，只要有问题，都会毫不犹豫地举手发问的人。
“我有问题，符号 是什么意思呢？”
“意思？我们先不说 具体是什么样的运算，你只要想着 是要进行某种运算就行了。这么说可能有点不近人情，总之你可以先想成是 + 啊 × 啊之类的运算。跟我们拿字母 a 和 b 代替具体数字一个道理，只是用符号 来代替具体运算。”米尔嘉一气呵成地解说道。
“我懂了。还有个问题，集合的这个符号是……”
“式子 a ∈ G 读作‘a 是 G 的元素’，用英语说就 是‘a is an element of G’或 者‘a belongs to G’，更简单地说就是‘a is in G’。你把 a b ∈ G 想成‘a b 是集合 G 的元素’这个命题就好。关于 a 和 b 的 运算结果，也就是 a b 具体是什么，我们先不讨论，只保证‘a b 也是集合 G 的元素’就行。直到你习惯 ∈ 这个符号……没眼镜我看不太清楚，你参照他正在笔记本上画的那张图应该就行。”
我正听着米尔嘉的话做着笔记，话锋就这么突然向我转来，我不禁吓了一跳。
这时恰好我在听米尔嘉讲话，刚刚往集合 G 的圆圈里写下 a, b，a b 这三个元素。
“嗯，我懂了。”泰朵拉答道，“话说，为什么集合会是 G 啊？‘集合’的英文明明是 set 吧。”
“从集合出发，然后定义群。‘群’的英文是 group。”
“原来 G 是 group 的首字母啊……”
“那么，我举个 ∈ 符号的例子看看你们理解了没有。 表示全体自然数的集合，下面这个命题为真命题吗？”米尔嘉一把从我手里拿过笔记本和自动铅笔，写道：
“因为 1 是自然数，1 就是 的元素，所以 为真命题。”泰朵拉干脆地回答道。
“好，那这个呢？”
“因为 2 + 3 是 5，这个也是自然数，所以 为真命题。”
“好，不过不要说‘2 + 3 是 5’，要说‘2 + 3 等于 5’。”
“好的，2 + 3 等于 5。”
“那么，泰朵拉，能说‘全体自然数的集合 ，关于运算 + 都是闭集’吗？”米尔嘉注视着泰朵拉的眼睛。
“嗯嗯……我认为是闭集。”
“为什么？”
“要说为什么……这个，怎么说才好呢……”
“泰朵拉，从定义出发去想想。”我搭了把手。
“你别说话。”米尔嘉瞪了我一眼，“可以从定义出发去想呀，泰朵拉。因为关于集合 的任意元素 a 和 b，都满足 。所以可以说关于运算 +，全体自然数的集合 都是闭集。”
“那个……我可以把它看成‘两个自然数相加，结果还是自然数’吗？”
“可以。集合 G 关于运算 是‘闭集’的说法，正是这个意思。”
“嗯！我明白了！”泰朵拉活力十足地喊道。
运算的定义（关于运算是闭集）
集合 G 关于运算 是闭集，指的是对于集合 G 的任意元素 a 和 b，运算 都满足以下关系。
6.2.3 结合律
米尔嘉加快了节奏。
“下一个是结合律。这是一个‘不拘泥于运算顺序’的法则。”
泰朵拉又噌地一下举起手。
“那个，米尔嘉，我知道加法运算中 (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)，所以我也明白这个‘结合律’。不过这需要证明……吗？就是说，我不明白怎么去理解你刚刚讲的‘结合律’。”
“听好了泰朵拉。”米尔嘉嗓音轻柔，“我不是让你去证明。首先，请先理解这个规律叫作‘结合律’，之后我们会讲到好几条法则，然后我会在最后说明‘……满足以上这些法则的集合就叫作群’。换言之，我现在正在为定义群而做准备呢。”
“我明白了，我先这么理解着。有时候数学课上也会讲到像这次的结合律一样超 —— 级 —— 理所当然的内容。这种时候我一般都很迷茫。我是应该把这些理所当然的内容‘背下来’呢？还是应该‘去证明’呢？”
“问得非常好。”我插了句嘴，“既然在上课，问老师就好了吧？”
“肯定有很多老师回答不出来。”米尔嘉说。
结合律
6.2.4 单位元
“讲义”继续。真是的，这儿哪是病房啊，都成了讲堂了。米尔嘉像挥舞指挥棒一般挥动着食指，似乎每挥一下都会飘出新的音符。
“接下来，我们来讲讲单位元。”米尔嘉接着讲道，“打比方说，我们做加法运算的时候，不管在哪个数上加上 0，这个数字都‘不会变’。乘法运算的时候，不管在哪个数上乘上 1，这个数也‘不会变’。也就是说，‘加法运算中的 0’和‘乘法运算中的 1’很像。把这个‘不会变’的因素用数学语言表现出来就是单位元。一般把单位元记作 e。对于任意元素 a，元素 a 与元素 e 的运算结果都始终为 a，也就是不变。我们把这样的元素 e 称为单位元。”
单位元的定义（单位元 e 的公理）
对于集合 G 中的任意元素 a，我们把集合 G 中满足以下等式的元素 e，称为在演算 中的单位元。
“米尔嘉……我头都晕了！最后单位元就是 0 吗？还是 1 ？总感觉像说悄悄话似的，明白的人自然明白，不明白的人还是不明白啊。”
“对于全体整数的集合 来说，在运算 + 里单位元就是 0，但是在运算 × 里单位元是 1。”
“诶？诶诶诶？”
“单位元根据集合和运算而不同。里面的元素 e 具体是什么都可以。只要满足对于集合 G 中的任意元素 a，都存在 这个等式就行。这样我们就把这个元素 e 称为单位元。为了理解 e 这个元素实际是什么，问问也没关系，不过证明的时候只需要用到公理。”
“？”
“这么说比较好吧，一切都取决于这个元素是不是单位元，满不满足单位元的公理。换句话说就是 —— 公理创造定义。”
“没完全懂，不过大致上懂了。”
我静静地听着她们俩说话。
我一直把定义理解 为“词汇的严格含义”。这大体上来说没什么错，然而我从没把“数学公式”包含在“词汇”的范围之中。
“公理创造定义” —— 这是用数学公式这个最严密的词汇，以及名为公理的命题来定义的意思吗？
我自认喜欢数学公式，却没有想过把数学公式建立在数学的地基上啊。
这么说来，之前米尔嘉在讲虚数单位 i 的时候，也提起过公理和定理。
“定义”一个数字 i，使得 i 满足方程 x2 + 1 = 0。
我们用方程式的形式表示了 i 应该满足的“公理”。
那时，她故意把公理和定义放在了一起讲。
6.2.5 逆元
“接下来是逆元。”米尔嘉说。
“这么说来，‘元’到底是什么啊？刚才也出现了单位元这个用语……”
“集合的元跟集合的元素是一个意思。用英语说就是 element。”
“element ？也就是……构成全体的每个元素吧？”
“对于元素 a，我们将满足以下等式的元素 b 称为元素 a 的逆元。”
逆元的定义（逆元的公理）
假设 a 为集合 G 的元素，e 为单位元，对于 a 存在 b ∈ G 满足以下等式，则将 b 称为关于运算 的 a 的逆元。
用实数来说，就是关于运算 +，3 的逆元是 -3；关于运算 ×，3 的逆元是 。
6.2.6 群的定义
米尔嘉挺直腰背，张开双臂，满是绷带的左手臂看上去很惨烈，不过她的动作全都那么优雅。
“那么，我们定义了‘运算’‘结合律’‘单位元’‘逆元’，接下来终于能定义‘群’了。”
群的定义（群的公理）
我们将满足以下公理的集合 G 称为群。
关于运算 是闭集。
对于任意的元，都满足结合律。
存在单位元。
对于任意的元，都有与其相对应的逆元。
关于运算 是闭集，对于任意的元都满足结合律，存在单位元，对于任意的元都有与其相对应的逆元 ——
我们称如此集合为群。
米尔嘉宣布。
6.2.7 群的示例
“泰朵拉，你看到这样的公理会怎么办？”米尔嘉问道。
“认真读。”
“那是必须的，然后呢？”
“然后……”泰朵拉偷瞄了我一眼。
“答案在他脸上写着呢吗？”
“不是不是，嗯……举例子，‘示例是理解的试金石’。”
“对。想举例子，就需要理解力和想象力。例如，下面这个命题是真命题吗？”米尔嘉立即问道。
“全体整数的集合 Z 构成关于运算 + 的群。”
“唔，全体整数的集合……能构成群吧。”
“为什么这么想？”
“唔……我感觉能。”
“不行。”米尔嘉说。
她口中的“不行”是一把利刃，断得利落爽快。
“泰朵拉，你确认一下是否满足群的公理，满足就是群，不满足就不是群。因为公理创造定义。”
“啊，好，不过……”泰朵拉有些慌张。
“ 关于运算 + 是闭集吗？”米尔嘉问道。
“嗯……是。因为把整数加在一起，结果还是整数。”
“结合律成立？”米尔嘉不给任何喘息机会，迅速扔出下一个问题。
“嗯。”
“存在单位元？”
“单位元……嗯，存在。”
“ 中关于‘运算 +’的单位元指的是？”
“加了也不变……是 0 吗？”
“对。那么，某个整数 a 的逆元指的是？”
“啊，这个我还不太……逆元指的是……这个……”
“逆元的定义是？”米尔嘉尖锐地追问。
“用运算……那个，不好意思，我忘了。”
“假设 e 为单位元，a 的逆元为 b，则存在 。”米尔嘉说。
“这指的是……a + b = b + a = 0 吗？但是 a 和 b 相加等于 0 又指的是什么？”
“a 和 b 相加等于 0 的时候，b 是 a 的逆元。a 加上什么数字得 0 ？”
“负数……那个，是 -a 吗？”
“对，这就对了。对于整数集合 的元素 a，其关于运算 + 的逆元指的就是 -a。对于任意整数 a, -a 这个逆元都是集合 的元素。”
“嗯！”
“所以呢？”
“诶？”
“刚才我们一个个确认了群的公理对吧。确认完所有的公理以后，就可以说‘全体整数的集合 ，关于运算 + 都构成群’了。”
“啊，就是为了这个才一一确认的啊。”
“对。”
米尔嘉停了一下，闭上了眼 —— 但只有一瞬，就继续开始往下讲。
“那么，下一个问题。”
“奇数的集合关于运算 + 构成群吗？”
“嗯……我先确认一下是否满足公理。啊，看来不行，比如 1 + 3 = 4，但 4 不是奇数。”
“没错。奇数的集合关于运算＋连闭集都不是，所以不是群。那么，下一个问题。”
“偶数的集合关于运算 + 构成群吗？”
“诶？我觉得跟奇数同理，构不成群。”
“……”米尔嘉沉默着闭上眼，摇了摇头。
“诶？啊！我弄错了。这次可以构成群，因为偶数 + 偶数 = 偶数。满足结合律、单位元以及逆元的条件。”
“对，那下一个。”
“全体整数的集合关于运算 × 构成群吗？”
“诶？这个之前研究过啊？构成群。”
“不，之前研究的是关于运算 + 构成群，这次研究的是运算 ×。全体整数的集合 关于加法 + 构成群，但关于乘法 × 不构成群。这是为什么呢，泰朵拉？”
“诶？全体整数的集合关于乘法 × 不构成群？”
泰朵拉咬着指甲认真想着。
“因为整数 × 整数还是整数，所以是闭集。结合律当然也成立。单位元……乘上去也不变的数字……当然是 1 了。真的不构成群吗？—— 啊！”
“你明白了吗？”米尔嘉微笑道。
“我明白了，没有逆元。打比方说，3 乘上任何整数也不能得到单位元 1，所以 3 没有逆元。”
“ 不是逆元？”米尔嘉问。
“诶？ —— 因为 不是 的元素啊！”
“就是这样。看来你渐渐明白确认公理的感觉了啊。”
“嗯，明白一点了。”
于是米尔嘉放柔了语气，微笑着说道：
“确认公理和确认定义是一个感觉吧？”
6.2.8 最小的群
我愉快地听着她们两位少女的对话。
“那么泰朵拉，什么样的群元素个数最少？”
问题6-1 （元素个数最少的群）
元素个数最少的是什么群？
“用没有元素的集合构成的群吗？”泰朵拉问道。
“没错。是空集。”我插了句嘴。
“不对。”米尔嘉予以否定。
“诶？”我很疑惑，“集合中元素个数最少的，不就是一个元素都没有的集合吗？也就是空集啊？”
“你这句话说得对。”米尔嘉回答。
“那空集不就是元素个数最少的群了！”我说。
“不对。空集不能构成群。你们都把群的公理忘了吗？没有单位元无法构成群，空集里没有元素，所以空集不能构成群。”米尔嘉说。
“哦……”
“元素个数最少的群，指的是只有一个元素的集合，不用说，这个元素就是单位元。”
“原来如此。”我说。
“学姐学长，等一下。因为必须具备单位元，所以空集不能构成群，这我明白了。但是根据群的公理，群中还必须具备逆元啊，只有单位元这一个要素不行吧？”
“因为单位元的逆元就是它本身，所以不要紧。”米尔嘉回答。
“在群里，单位元的逆元就是单位元自身。”
“啊……还有这么一回事啊！”泰朵拉一脸恍然大悟的表情。
解答6-1 （元素个数最少的群）
元素个数最少的群，是只由单位元构成的群{e}。此时，我们用以下等式定义运算。
换言之，e 的逆元就是 e 本身。
“群的运算表如下。虽然只包含一个单位元 e，表格比较单调，但表示出了 。”
“原来如此，运算表也就是运算 的‘九九乘法表’啊。画出运算表，就能定义运算了吧？”我说。
“不过九九乘法表并不是闭集的运算表呢。”米尔嘉补了一句。
6.2.9 有 2 个元素的群
问题6-2 （有 2 个元素的群）
表示出元素个数为 2 的群。
“我们来建立元素个数为 2 的群。”米尔嘉说，“假设 e 为单位元，另一元素为 a，先画个空白的运算表，然后再往里面填写。”
“从单位元的定义出发，我们马上就有可以填的栏了。泰朵拉，你说往哪里填？”
“单位元是元素不变……我知道了，是这里吧，e e 和 e a。”
“竖着的也一样，a e = a。”米尔嘉又补上了一个空栏。
“然后，剩下的是 a a，就等于 e。”米尔嘉填上了最后一个空栏。
泰朵拉瞬间举起了手。
“米尔嘉，关于最后填的那个地方，我感觉不一定‘等于 e’……比如说用这样的运算表定义 怎么样？这样元素数量也是 2 个，但跟刚刚你讲的就不是一个群了吧。”泰朵拉画出表格。
泰朵拉想的运算表 —— 这是群？
“不行。”米尔嘉回答。
“泰朵拉，这个表格啊……”我忍不住开口。
“不行，让泰朵拉回答。”米尔嘉打断了我，“群的公理她明白。”
“好，我想想…… 为什么我的运算表不能构成群呢？ 嗯…… 我知道了，一个个确认群的公理就好了。只出现了 e 和 a 两个元素，所以是‘闭集’……单位元是 e……啊！”泰朵拉抬起头，“我明白了，a 的‘逆元’是不存在的。要说为什么……因为 a 这行没有 e，所以不管是 a e 还是 a a 都不等于 e。所以 a 不存在逆元！所以这下就不能构成群了，对吧！”
“很好。”米尔嘉答道。
解答6-2 （元素个数为 2 的群）
元素个数为 2 的群，是由单位元和另一元素构成的群 {e, a}。此时，我们用以下等式定义运算 。
换言之，运算表如下所示。
6.2.10 同构
“对了，没必要把元素个数为 2 的群写成 {e, a}。打个比方，偶数和奇数的和怎么写呢？ { 偶数，奇数 } 关于 + 构成群，偶数是单位元。”米尔嘉说道。
“{+1, -1} 也行吧。运算为 ×，单位元为 +1。”
“像下面这样，元素和运算都为符号的情况又如何呢？对于集合 {☆, ★}，我们定义如下运算 ，☆ 是单位元，这也是群。”
“不过，这样就全都‘一样’了呢。”我说，“不管是 {e, a}，还是 { 偶数，奇数 }，以及 {+1, -1}，还有 {☆, ★} …… 全都‘一样’了。只要把运算表中的文字机械地替换，就变成其他的表了。”
“对，我们称这种‘一样’的群为同构群。事实上，元素个数为 2 的群都是同构群。”
“同构群……”泰朵拉重复道。
“对，同构群。”米尔嘉渐渐加快了语速，“将同构群同等看待，则本质上只有一个元素个数为 2 的群。不管追溯多少年之前的历史，还是展望多少亿年之后的未来，无论造访世界上哪一个国家，还是将旅途的脚印延伸到宇宙的尽头，都不会动摇这个事实。元素个数为 2 的群本质上只有一个。”
我们默默地聆听着。
“群的公理上哪儿都没写着‘元 素个数为 2 的群本质上只有一个’。但我们可以将这个结论从群的公理中推导出来。”
这时，米尔嘉突然放缓了语速，右手慢慢抚摸着左手臂的绷带，然后用耳语般的声音说道：
“这是公理给出的无声的制约。这个制约把集合的元素紧紧结合在一起。并不是单纯的捆绑，而是相互结成有序的关系。换言之，就是根据公理给出制约，制约创造结构。”
制约，创造结构……
6.2.11 用餐
到了用餐时间。
阿姨用托盘端来了病号餐，我们收拾好草稿纸和笔记本，开始帮米尔嘉准备用餐。
“看上去很好吃呢。”泰朵拉倒着茶说道。
“病号餐吗……”米尔嘉回应道，“还行吧，餐具差口气，味道差口气，看着也差口气。除了这些也没啥好抱怨的了。”
“不，你抱怨的够多了。”我说。
“跟国际航班的飞机餐很像。不同的是没有葡萄酒。”米尔嘉一脸认真地评价道。
“这儿是医院……怎么可能给你端酒来啊。”我说。
“那个……学长学姐，先不说这个，我们还没有成年呢……”泰朵拉略带惊讶地说道。
“未成年这个制约能不能创造结构呢？”米尔嘉说道。