《周髀算经》，从古代中国天学史或文化史而言，都是一部奇书、谜书。作为自成体系且以完备面目呈现的数理天文学专著，《周髀算经》几乎可以说是古代中国唯一的一部；与中国历史上其他天学书相比，它也极可能是最早的一部——即使不考虑书中所托引的遥远年代，仍是如此。千百年来，学者们对《周髀算经》作了大量注释、猜测、考证和研究，众说纷纭，各有异同。直到如今，对于治古代科学史——文化史的人来说，《周髀算经》仍是一部难读之书，然而同时又是一部不可不读之书。
1．全书结构、成书年代及版本源流
A．全书结构
《周髀算经》全书可分为17节（本书译文与原文每节开始都在括号中标明序数，节与节之间空一行排印），这17节又可分为两大部分。
第一部分篇幅甚短，仅为卷上开首的第（1）节。内容为周公与商高的对话，商高向周公介绍了勾股定理在勾三、股四、弦五时的特例，以及这一定理在实际测量中的广泛应用。这一部分是全书以下部分所涉及的各种测量的理论依据，同时也是相对而言较为独立的部分。
第二大部分包括了全书其余的16节，形式上是荣方与陈子的对话，陈子向荣方叙述整个盖天学说。这又可以被分成一些节群，依顺序略述如次：
第（2）节，陈子开始讲述盖天学说之前的序幕或开场白，这一节里陈子反复向荣方强调类推的重要意义。
第（3）、（4）节，建立盖天数理宇宙模型，包括天地形状、总尺度等。并表明这一模型可以根据用周髀（八尺之表）所进行的一些基本测量而建立起来。
第（5）、（6）节，讲述七衡六间体系及其结构与数据。
至此卷上终了，卷下接着讲述下去。上、下卷之间并无什么内容或结构上的分卷依据，大体上只是考虑到全书篇幅而分的。
第（7）节，用盖天模型说明昼夜成因。
第（8）节，专论通过夜间观测北极星而确定“北极璇玑”的尺度。
第（9）节，用盖天模型说明季节成因及大地上南北寒暑之异。
第（10）节，通过测量二十八宿建立天球上的地平坐标系统。
第（11）、（12）、（13）节，在盖天模型中讨论太阳的周年视运动。包括利用地平坐标描述太阳升落方位的周年变化、通过七衡六间体系计算两分两至点距北极的距离，以及二十四节气的周髀晷影变化。
第（14）节，专论月球运动。
第（15）节，用八卦方位描述太阳升落方位的周年变化。
第（16）节，介绍一些能作为基本天文数据的公倍数的长周期。
第（17）节，讲述盖天学说中一些基本天文数据，如回归年长度、朔望月日数等是怎样通过观测计算而得到的。
B．成书年代
《周髀算经》开首处的周公与商高对话，曾使许多好古崇古之人相信，此书的历史可以追溯到商周之际（约公元前11世纪）。清代复古之风炽盛的时期，《御制数理精蕴》就将周公商高对话诩为“成周六艺之遗文”（见本书附录II），有的现代学者也相信这种说法，比如陈遵妫（[19][1]，109页）。但实际上周公商高与荣方陈子之类都只是托引，这种托引古人对话以陈述自己观点的做法在战国秦汉间著作中极常见，可以说是那个时代流行的行文方式或修辞手段。《周髀算经》的成书，则不可能早至商周之际。
托引古人对话既是战国秦汉间著作的习惯做法，则《周髀算经》中周公商高荣方陈子诸人物的出现，反过来倒能提示其真实的成书年代线索。从文字风格上看，《周髀算经》也很像战国秦汉间的作品，与古奥的周代遗文（如《尚书》中所见的某些篇章）相去甚远。
钱宝琮曾考证《周髀算经》的成书年代。他的方法是，将《周髀算经》与《淮南子•天文训》及刘歆的《三统历谱》（见《汉书•律历志》）三者进行比较；由于后两者的成书年代是确定无疑的——《淮南子》成书于西汉初年，《三统历》成于西汉末，就有可能通过比较有关内容的相互异同而推断前者的成书年代。钱宝琮发现如下六条证据：
1．《周髀算经》与《淮南子•天文训》都论述“天圆地方”。
2．《周髀算经》与《淮南子•天文训》都有“日影千里差一寸”之说（关于此事详见本书新论第2节A）。
3．《周髀算经》与《淮南子•天文训》都有利用表竿测量日出日入方位以确定东西南北准确方向的方案。
4．关于太阳在冬至、夏至、春分、秋分四时刻于恒星间所处的位置，《周髀算经》所载依次为牵牛、东井、娄、角四宿，与《三统历谱》相符；而《淮南子•天文训》所载则不同。以岁差原理推算之，发现《淮南子•天文训》所载在年代上略早一些。
5．《周髀算经》与《淮南子•天文训》在二十四节气及晷影推算方面，都不精确。
6．《周髀算经》分一日为12时，以地支纪之，称时曰：“日加某支”，这种称呼方法与《三统历谱》相同，而在《淮南子》、《吕氏春秋》、《史记•历书》等书中都还未曾出现过。
据以上所述，钱宝琮得到结论：
余考《周髀》所详天体论、测望、星象、历法诸大端，多与《淮南子•天文训》相近。撰书时代当为略后，而相去不远（[9]）。
也就是说，《周髀算经》约成书于公元前100年左右。这是目前较为可信的结论。
此外，也有将成书年代定得更早的，比如李俨、陈遵妫倾向于认为《周髀算经》“约为战国前著作”（[19]，页109—110），但证据不够充分。
在谈论古籍的成书年代时，有一点必须特别注意，即一部古籍的成书年代是一回事，而书中所反映的内容出于什么年代又是另一回事——比如《周髀算经》中的天文、数学知识完全有可能来自更早以前。举例来说，《周髀算经》中出现了勾三、股四、弦五的勾股定理特例，但我们并不能由此推断说，中国人直到《周髀算经》成书时才刚刚认识到这一特例。这一特例完全有可能在此前很早就已被认识到了。对于《周髀算经》中的许多天文学说及测量技巧，也可作如是观。至于《周髀算经》中的天文、数学知识究竟是什么时代的产物，则必须依靠其他方面的史料来进行考证和推测。这牵涉到广泛的科学和文化历史背景，不是仅仅依靠《周髀算经》一书本身所能完成的。
C．版本源流及校勘注释
《周髀算经》一书，在中国历史上第一部书目《汉书•艺文志》中并未出现。但这显然并不足以证明当班固写《汉书》时还没有《周髀算经》这部书。现存年代确切可考而在班固之前的古籍，不见于《汉书•艺文志》著录的例子不一而足。事实上，班固当然不可能将当时天下书籍收录到一无遗漏的地步。
现在所见关于《周髀算经》其书的最早记载，见于《宋书•天文志》所引东汉灵帝时大学问家蔡邕的上书：
论天体者三家：宣夜绝无师法；《周髀》术数具存，考验天状，多所违失；惟浑天仅得其情。
可见在东汉时，《周髀算经》已作为盖天学说的著作流行于世。
《周髀算经》原名《周髀》。它在唐代以前的流传情形，现在只能借助于史志书目来了解。《隋书•经籍志》著录有如下三种：
《周髀》一卷（赵婴注）
《周髀》一卷（甄鸾重述）
《周髀图》一卷
而在《新唐书•艺文志》中则有：
赵婴注《周髀》一卷
甄鸾注《周髀》一卷
李淳风释《周髀》二卷
在唐代，朝廷在国子监设立“算学”课程，所选用的教材有十部算经，即著名的“算经十书”，《周髀》作为其中之一，从此也就改名为《周髀算经》。
现在传世的《周髀算经》文本中附有赵爽、甄鸾、李淳风三家的注释，这显然是上述《新唐书•艺文志》所著录的三种著作结合而成。关于赵婴与赵爽是否为同一人，历来有一些争议。从已有各种证据来看，还是以理解为同一人较为稳妥。此外又有赵爽与赵君卿是否为同一人的问题。在传世《周髀算经》序言中，署名“赵君卿”，而在正文的注释中，注释者总是自称“爽”；然而，在序言中也曾出现过“爽以暗蔽”的话，足证赵爽与赵君卿确为同一人——姓赵，名爽，字君卿。
赵爽是什么时代的人，也有问题。明刊本《周髀算经》卷首题“汉赵君卿注”，据此则赵爽似为汉代人；然而赵爽在注文中提到《乾象历》，而《乾象历》系由东汉末年时人刘洪于公元206年撰成，于223—280年间由三国东吴政权颁行使用，这样赵爽最早也只能是东汉末至三国之际时人。此外对于赵爽的生平履历和生卒年代等情况，学者们至今未能确切考证出来。
关于赵爽对《周髀算经》所作的注释工作，钱宝琮有过非常确切的评述：
赵爽对于《周髀》原著作了忠实的注解，并且援引了《淮南子•天文训》、张衡《灵宪》、刘洪《乾象历》，以及《易•乾凿度》、《河图•括地象》、《尚书•考灵曜》等纬书来证实《周髀》的说法。赵爽补绘了“日高图”和“七衡图”，并加以说明，使《周髀》作者的盖天说昭然若揭，这对于后世的读者是大有裨益的。赵爽又撰“勾股圆方图说”一篇附于《周髀》首章的注中。在这短短五百余字的文章中，勾股定理、关于勾、股、弦的几个关系式，以及二次方程解法都得到了几何证明（[1]，页5—6）。
确实，在《周髀算经》传世之本的赵爽、甄鸾、李淳风三家注中，无疑要数赵爽注贡献最大——赵爽注以阐明原著学说之本意为目的，而甄鸾注仅为补充算草，李淳风注则重在批评原著的错误不足之处（况且有些批评也并不完全正确）。
甄鸾字叔遵，仕于北周，官至司隶校尉、汉中太守。原为道教徒，后来叛道而皈依佛门，卷入当时佛、道两教的激烈争论中，作有著名的《笑道论》，攻击道教甚力。但其人同时又是具有相当造诣的天算学家，曾撰《七曜本起》三卷，已佚失；又曾编制《天和历》（又名《甲寅元历》），于后周天和元年（566年）颁行。他对《周髀算经》）所作的注，几乎全是对原书中数学计算补充运算过程。《周髀算经》原书中所涉及的数学运算，不外加减乘除四则运算（多用分数形式），这些如改用现代的数学表达方式，并无深奥复杂之处。但甄鸾的注文纯用文字表达，极为繁琐冗长，令人难以卒读。而且还弄出不少错误来，更与他的天算家的名声不大相称。故甄鸾的注文到今天已经没有多少价值了。
李淳风（602—670），为中国历史上最著名的天文学家和星占学家之一。他曾于贞观七年（633年）造成新的浑仪，有许多革新与创造，并撰《法象志》七篇评论前代浑仪得失。贞观十五年（641年）李淳风任太史丞，七年后升为太史令，在此期间他为《晋书》和《隋书》撰写了《天文志》和《律历志》，并会同梁述、王真儒等人注释《算经十书》——对《周髀算经》的注释就是这项工作的一部分。李淳风又造《麟德历》，于麟德二年（665年）颁行。此外他的《乙巳占》一书是中国古代最重要的星占学专著之一。李淳风对《周髀算经》的注释主要是试图对原书及赵爽注中的错误之处进行纠正，他的意见大部分是正确的，有些局限不足之处尽管以现代眼光来看不可取，但对于古人来说却也不宜苛责过甚（参见新论第2节A）。
《周髀算经》自唐代归入《算经十书》之后，流传渐广。至北宋元丰七年（1084年），秘书省刊刻《算经十书》。这个刻本又在南宋嘉定六年（1213年）由鲍澣之翻刻（参见本书附录I）。
明代刻印丛书成为风气。万历年间胡震亨刻《秘册汇函》，收入《周髀算经》，在赵爽、甄鸾和李淳风三家注外又加入唐寅注。但唐寅注量既很少，质也不高，没有什么价值。这个版本卷首题有“明赵开美校”，但赵开美当时用什么版本作工作底本，校勘了哪些内容，现在都已不得而知。《秘册汇函》本《周髀算经》现在仍有传世之册，近年且有新的影印本（上海古籍出版社，1990），但据钱宝琮的意见，这个版本中的错误文字比南宋翻刻本更多（[1]，页7），因而算不上善本。
《秘册汇函》本虽非善本，却衍生出传世《周髀算经》版本中最大的系统。此本问世之后不久，著名的汲古阁主人毛晋又刻一部丛书名《津逮秘书》，其中也收《周髀算经》，只是《秘册汇函》的翻刻本，但将卷首的“明赵开美校”字样改作“明毛晋校”。此后清人所刻的几部丛书，如《古今图书集成》、嘉庆年间张海鹏刻《学津讨原》、光绪年间朱记荣刻《槐庐丛书》，以及近代商务印书馆的《四部丛刊》、中华书局的《四部备要》等，其中收入的《周髀算经》都以赵开美校本为蓝本。
清代乾隆年间编《四库全书》，《周髀算经》也在收纳之列，由此产生了一个较好版本。《四库全书总目》在《周髀算经》的提要（见本书附录II）标题下注云：“《永乐大典》本”。《永乐大典》为明代初年所编的巨型类书，其中许多古籍都是全书收入，因而保存了宋元版本的古籍甚多。其中的《周髀算经》是什么来源，因《永乐大典》的散佚已无法考知。但当年四库馆臣们还能来得及见到颇为完整的《永乐大典》，因此由四库全书馆的纂修官之一、著名学者戴震参据《永乐大典》本以校订明代刻本，并将明刻本中的唐寅注删除，完成了一个《周髀算经》的新版本，即后来习称的《四库全书》本，或戴震校本。稍后的《武英殿聚珍版丛书》，亦收有《周髀算经》，即据《四库全书》本排印（木活字）。武英殿本后来又有浙江、江西、福建等地的翻印本，以及商务印书馆《丛书集成》中的铅字排印本（1937）。
清乾隆三十八年（1773）曲阜孔继涵又刊行一种《算经十书》。他自序中称“今得毛氏汲古阁所藏宋元丰京监本七种”，而《周髀算经》为其中之一，似乎他的《周髀算经》直接来自北宋刻本。但实际上这是孔氏欺人之谈，他所依据的其实还是戴震校本（[1]，页8；[9]，页121）。孔继涵所刊世称微波榭本，名声颇大，后来翻刻、翻印它的有同治年间梅启照重刻本、光绪年间上海鸿宝斋石印本、刘铎《古今算学丛书》本和商务印书馆《万有文库》本。这仍可归入《四库全书》戴震校本的系统之内。
《周髀算经》的版本，除上述明赵开美校本、清戴震校本两大系统外，南宋翻刻本一脉也不绝如缕。南宋鲍澣之翻刻本到明代晚期仅著名戏曲家李开先家中藏有一部，至清代康熙年间，此本又归于汲古阁主人毛晋之子毛扆。岁月沧桑，几经易主，这部南宋刻本竟至今仍保存于世——现藏上海图书馆。当年毛扆因见此本古雅精美，乃“求善书者刻画影摹，不爽毫末”，复制成一影抄本。这一影抄本后来流入清宫内府，成为“天禄琳琅阁”藏书之一，也有幸保存至今——现藏故宫博物院。故宫博物院曾于1931年影印《天禄琳琅丛书》，其中的《周髀算经》底本即毛扆的影抄宋本。
在所有各种古代版本的基础上博采众长而成的现代《周髀算经》版本，为钱宝琮校点《算经十书》本，1963年由中华书局出版。钱宝琮为著名数学史专家，对《周髀算经》一书及书中的盖天学说有过长期而深入的研究。他的校点本中还特别吸收了晚清两位名家在《周髀算经》校勘方面的成果：一是道光年间顾观光所撰《〈周髀算经〉校勘记》，其中对原书中文义难通之处的字句校正了28条；二是光绪年间著名经学家、文字学家孙诒让的学术笔记《札迻》卷十一中，对《周髀算经》原文、赵爽注和李淳风注中的16条校勘。再加上钱宝琮自己的研究、考证所得，以及早先赵开美、戴震所校，共校勘140余处；再将传本插图中与原文及赵爽注不相配合者重新绘制，形成了《周髀算经》迄今最完善的版本。
2．《周髀》宇宙模式及今人的重大误解
A．认为《周髀》“自相矛盾”
在《周髀算经》所述盖天宇宙模式中，天与地的形状如何，现代学者们有着普遍一致的看法，这里举叙述最为简洁易懂的一种为例，作为这种看法的代表：
《周髀》又认为，“天象盖笠，地法覆盘”，天和地是两个互相平行的穹形曲面。天北极比冬至日道所在的天高60000里，冬至日道又比天北极下的地面高20000里。同样，极下地面也比冬至日道下的地面高60000里（[20]。在[16]和[19]，页136中，都持完全相同的看法）。
然而，同样普遍一致地，这种看法的论述者总是同时指出：上述天地形状与《周髀算经》中有关计算所暗含的假设相互矛盾。仍举一例为代表：
天高于地八万里，在《周髀》卷上之二，陈子已经说过，他假定地面是平的；这和极下地面高于四旁地面六万里，显然是矛盾的。……它不以地是平的，而说地如覆盘（[19]，页136）。
其实这种认为《周髀算经》在宇宙模式中天地形状问题上自相矛盾的说法，早在李淳风为《周髀算经》所作的注文中就已发端。李淳风认为《周髀算经》在这一问题上“语术相违，是为大失”（[1]，页28）。
但是，所有持上述说法的论著，事实上都在无意中犯了一系列不太容易发现的疏忽。从问题的表层来看，这些疏忽似乎只是误解了《周髀算经》原文语句，以及过于轻信前贤成说而递相因袭，未加深究。然而再往深一层看，何以会误解原文语句？则原因很可能是对《周髀算经》体系中两个要点的意义认识不足，这两个要点是：“日影千里差一寸”和“北极璇玑”。以下先依次讨论这两个要点，再分析对原文语句的误解问题。
B．“日影千里差一寸”及其意义
在《周髀算经》中，陈子向荣方陈述盖天学说，劈头第一段就是讨论“日影千里差一寸”这一公式，见卷上第（3）节：
夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。
这里一上来就指出了日影千里差一寸。参看本书第三部分的图3：日影，指正午时刻八尺之表（即“周髀”——注意这种情况下不是指书名）在阳光下投于地上的影长，即图3中的l，8尺之表即h，当
h＝8尺
l＝1尺6寸
时，向南16000里处“日中立竿无影”，即太阳恰位于此处天顶中央，这意味着
L＝16000里，或H＝80000里
这显然就有
即日影千里差一寸。接着又明确指出，这一关系式是普适的——从夏至日正午时l＝1尺6寸之处（即周地），向南移1000里，日影变为1尺5寸；向北移1000里，则日影增为1尺7寸。这可以从图3中看得很清楚。此外，由图3中的相似三角形，显然还有
在上式中代入h＝8尺，即可得
H＝80000里
这就是下文将要谈到的天与地相距八万里。见于原文第（3）节：
候勾六尺，……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。
即在图3中令
l＝6尺
L＝60000里
h＝8尺
仍由上式即可得H＝80000里。日是在天上的，故从地“上至日”80000里，自然就是天地相距80000里。这个关系式其实无论l（勾、日影、晷）是否为6尺都能成立，《周髀算经》之所以要“候勾六尺”，是因为它只掌握勾股定理在“勾三股四弦五”时的特例，所以需要凑数据以便套用这一特例——勾6尺即表至日下60000里，天地相距80000里，从表“邪至日”100000里，正是3、4、5的倍数。
《周髀算经》明确建立日影千里差一寸关系式之后，马上将其应用范围加以拓展，其第（4）节云：
周髀长八尺，勾之损益寸千里。……今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。
在这里日影已经不再是必要的了。这只需将图3中的S点（原为太阳所在位置）想象为北极位置，就可一目了然，现在
h＝8尺
l＝1丈3寸
L＝103000里
“勾之损益寸千里”的关系式仍可照用不误。在《周髀算经》下文对各种问题的讨论中，这一关系式多次被当成已经得到证明的公式加以使用（注意始终必须在“正南北”方向上）。
但是有一点必须特别注意，就是：无论上引第（3）节还是第（4）节中所述千里差一寸的关系式，若要成立，还必须有一个暗含前提——天与地为平行平面。这在图3中是显而易见的，如果没有这一前提，上述各种关系式及比例、相似三角形等全都会无从谈起。
将天地为平行平面这一点视为不证自明的当然前提，要理解这一状况，对于现代人来说会比古人困难得多。因为现代人已有现代教育灌输给他的先入之见：大地为球形，所以现代人见到古人的这一前提，首先想到的是它的谬误。但古人对此却并无成见，他们很容易相信天与地是平行平面。这也就是《周髀算经》中“勾之损益寸千里”的说法在古代曾广泛被接受的原因——古人认为推出这一结论是显而易见、不容置疑的，下面举一些例：
欲知天之高，树表高一丈，正南北相去千里，同日度其阴，北表二尺，南表尺九寸，是南千里阴短寸，南二万里则无影，则直日下也（《淮南子•天文训》）。
日正南千里而（影）减一寸（《尚书纬•考灵曜》）。
悬天之景，薄地之仪，皆移千里而差一寸（张衡《灵宪》）。
这些说法都只要看图3即可了然。当然，古人后来已知道“勾之损益寸千里”不符合观测事实，但这已是很晚的事了（参见本书附录VII）。在《周髀算经》成书以及此后相当长的时间里，古人对这一关系式看来并不怀疑。
不少现代论著也已经注意到《周髀算经》中“勾之损益寸千里”是以天地为平行平面作为前提的，但他们首先想到的是这个前提的谬误。这个前提当然是谬误的。而著作家们在指出这“自然都是错误的”（[16]）之后，也就不再深究，转而别顾了。
其实应该讨论的是：“勾之损益寸千里”这一关系式及其前提“天地为平行平面”在《周髀算经》所述盖天学说中的意义和地位。从前面对《周髀算经》全书结构的分析（新论第1节A）已可看出，书中所述盖天学说是自成一个系统的。在这一系统中，“天地为平行平面”的前提占有什么样的位置？
在西方历史上，建立科学学说有所谓“公理化方法”（axiomatic method），意指将所持学说构造成一个“演绎体系”（deductive system），这种体系的理想境界，按照科学哲学家J．洛西（Losee）的概括，有如下三要点：[2]
a．公理与定理有演绎关系；
b．公理本身为不证自明之真理；
c．定理与观察结果一致。
其中b是亚里士多德（Aristotle）特别强调的。而欧几里得（Euclid）的《几何原本》被认为是公理化方法确立的标志——尽管尚未达到理想境界。但由于天文学这一学科的特殊性，应用公理化方法时会有所变通，J．洛西又说：
在理论天文学中，那些遵循着“说明现象”传统的人采取了不同态度。他们摈弃了亚里士多德的要求——为了能说明现象，只要由公理演绎出来的结论与观测相符即可，这样，公理本身即使看起来是悖谬的，甚至是假的，也无关紧要。[3]
也就是说，只需前述三要点中的a、c两点即可。这个说法是可信的，在西方天文学发展的历史上，亚里士多德所主张的水晶球，托勒密（Ptolemy）所设想的地心几何体系，以及中世纪阿拉伯天文学家种种奇情异想的宇宙几何模型，都曾被当时的天文学家当作“公理”（类似于现代科学家所谓的“工作假说”）来使用而不问其真假。
再回过头来看《周髀算经》中的盖天学说，就不难发现，“天地为平行平面”和“勾之损益寸千里”两者，正是公理和定理的关系，两者之间的演绎关系前面已详细讨论过，是显而易见的。而且，仔细体味《周髀算经》全书，“天地为平行平面”这一前提是被视为“不证自明之真理”的，或者说，是作为盖天学说系统的公理（亦即基本假设）之一。
至于“天地为平行平面”并不符合事实这一点，也要从几方面去分析。第一，如上所述，从公理化方法的角度来看，即使它不符合事实也不会妨碍它作为公理的地位。当然我们不能先验地断定《周髀算经》的作者一定会有与古希腊同行一模一样的思路，因此前者心目中“天地为平行平面”究竟真实与否、他想不想追究其真实性，我们都无从得知。我们所能确切知道的只是：他把“天地为平行平面”当作公理在《周髀算经》这一体系中使用了。第二，符合事实与否，也是一个历史性的概念。我们今天知道这个前提不符合事实，当然不等于《周髀算经》时代的人们也知道它不符合事实，这是很容易理解的。
剩下的问题是“定理与观察结果一致”的要求。我们现在当然知道，由公理“天地为平行平面”演绎出来的定理“勾之损益寸千里”与事实是不一致的。演绎方法和过程是无懈可击的，但因为引入的公理错了，所以演绎的结果与事实不符。但对于这一问题，也要从两方面来分析。第一，演绎结果与事实一致仍是一个历史性概念，我们今天确知“勾之损益寸千里”与事实不一致，但在古人测量精度很差的情况下（比如无法准确测量“正南北”千里这一数量，等等），或许看起来在相当程度上还能与事实相合呢。第二，也是更重要的，“天地为平行平面”不符合事实并不妨碍它在盖天学说体系中作为公理的地位；同样，演绎出的结果与事实不符，说明《周髀算经》所构造的演绎体系在描述事实方面是不成功的，但这并不妨碍它在结构上确实是一个演绎体系。
于是我们知道，“勾之损益寸千里”是《周髀算经》所述盖天学说体系中的一条重要定理，这条定理的背后是盖天学说体系中的基本公理（axiom）之一“天地为平行平面”——这一点对于我们后面讨论盖天宇宙模型究竟是什么形状，具有极其重要的意义。
C．“北极璇玑”究竟是什么
解决《周髀算经》中盖天宇宙模型天地形状问题的另一关键是所谓“北极璇玑”。这个“北极璇玑”究竟是什么？在现有的几种论著中，对此莫衷一是。钱宝琮赞同顾观光之说，认为“北极璇玑也不是一颗实际的星”，而是“假想的星”（[16]）。陈遵妫则明确表示：
“北极璇玑”是指当时观测的北极星；……《周髀》所谓“北极璇玑”，即指北极中的大星，从历史上的考据和天文学方面的推算，大星应该是帝星即小熊座β星（[19]，页137—138）。
但是，《周髀算经》谈到“北极璇玑”或“璇玑”至少有三处，而上述论述都只是针对其中一处所作。对于其余几处，论著者们通常都完全避而不谈——不得不如此，因为在“盖天宇宙模型中天地为双重球冠形”的先入之见框架中，对于《周髀算经》中其余几处关于“璇玑”的论述，根本不可能作出解释。如果又将思路局限在“北极璇玑”是不是实际的星这样的方向上，那就更加无从入手了。
《周髀算经》中直接明确谈到“璇玑”的共三处，依次见于卷下第（8）、（9）、（12）节，先依顺序录出如下：
欲知北极枢、璇玑四极，常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极，此北极璇玑四游。正北极枢璇玑之中，正北天之中。正极之所游：……（以下为具体观测方案）
璇玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故不生万物。
牵牛去北极……术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，……东井去北极……术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，……
从上列第一条论述可以清楚地看到，“北极”、“北极枢”、“璇玑”是三个有明确区别的概念。那个“四游”而画出圆圈的天体，陈遵妫认为就是当时的北极星，这个看法是正确的；但是必须注意，在原文中分明将这一天体称为“北极”，而不是如上引陈遵妫论述中所说的“北极璇玑”。而“璇玑”则是天地之间的一个柱形空间，这个圆柱的截面就是“北极”——当时的北极星（究竟是今天的哪一颗星还有争议）——作拱极运动在天上所画出的圆。至于“北极枢”，则显然就是这个圆的圆心，它才能真正对应于天文学意义上的北极。
在上面所作分析的基础上，我们完全不必再回避上引《周髀算经》第（9）、第（12）节中的论述了。由这两处论述我们可以知道，“璇玑”并非假想的空间，而是实际存在于大地之上的，正处在天上北极的下方，它的截面直径为23000里，这个数值对应于第（8）节中所述在周地地上测得的北极东、西游所极相差2尺3寸（参见本书图9），仍是由“勾之损益寸千里”推导而得。北极之下大地上的这个直径为23000里的特殊区域在《周髀算经》中又被称为“极下”，这和“璇玑”的含意一样。
如果仅仅到此为止，我们对“璇玑”的了解仍是不完备的，所幸，《周髀算经》还有几处对这一问题的论述，可以帮助我们解破疑团。这些论述见于卷下第（7）和第（9）节：
极下者，其地高人所居六万里，滂沲四而下。极下不生万物，何以知之？……
于是又可知：“璇玑”又指一个实体，它高达60000里，上端是尖的，以弧线向下逐渐增粗，至地面时，这一柱形物的底为直径23000里；而在此69000里圆周（《周髀算经》始终取π＝3）范围内，如前所述，是“此阳绝阴彰，故不生万物”。
这里必须特别讨论一下“滂沲四而下”这句话。所有主张《周髀算经》宇宙模型中天地形状为双重球冠形的论著，几乎都援引“滂沲四而下”一语作为证据，却没注意到前面“极下者，其地高人所居六万里”这句话早已完全排除了天地为双重球冠形的任何可能性。其实这只需稍作分析就可发现。按照天地为双重球冠形的理解，大地的中央（北极之下）比这一球冠的边缘——亦即整个大地的边界——高六万里；但这样一来，“极下者，其地高人所居六万里”这句话就绝对无法成立了，因为在球冠形的模式中，大地上比极下低六万里的面积实际上为零——只有球冠边缘这一线圆周是如此，而“人所居”的任何有效面积所在，都不可能低于极下达六万里。比如，按照天地为双重球冠形模式，周地作为《周髀算经》作者心目中最典型的“人所居”之处，就绝对不可能低于极下六万里。
此外，如果接受双重球冠模式，则极下之地就与整个大地合为一体，没有任何实际的边界可以将两者加以区分，这也是明显违背《周髀算经》原意的。如前所述，这本是一个直径23000里，其中“阳绝阴彰，不生万物”的特殊圆形区域。
至此，我们已可获得明确结论如下：在《周髀算经》中，“北极”、“北极枢”、“璇玑”分别指三个不同的对象：
“北极”，指现代天文学意义上的北极星，它绕着真正的北极旋转，每昼夜在天上画出一圆。
“北极枢”，“北极”在天上所画之圆的圆心，对应于现代天文学意义上的北极。
“璇玑”，在天上是指“北极”在天上所画出的圆；但这个圆又垂直对应到大地之上，故“璇玑”又指矗立于“北极枢”正下方、垂直于平面大地的柱形体，此柱上尖下粗，其底面为一个直径23000里的圆，其高为60000里。在“璇玑”范围内，是“阳绝阴彰，不生万物”的阴寒死寂之地。
D．《周髀》盖天宇宙模型的正确形状
据本节B、C的讨论，我们其实已经知道，《周髀算经》中所述盖天宇宙模型的基本格局是：天与地为平行平面，在北极下的大地上矗立着高60000里、底面直径为23000里的上尖下粗的“璇玑”。这里需要补充的细节只剩下两点：
一是天在北极处的形状。地在北极之下处有矗立的“璇玑”，天在北极也并非平面，《周髀算经》卷下第（7）节对此叙述得很明白：
极下者，其地高人所居六万里，滂沲四而下，天之中央亦高四旁六万里。
也就是说，天在北极处也是有柱形向上耸起的，其形状也与地上的“璇玑”一样。这一结构已表示于本书图6中。图6为《周髀算经》盖天宇宙模型的侧视剖面图，由于以北极为中心，这图形是轴对称的，故只绘出其一半即可。图中左端即“璇玑”的侧视半剖面。
二是天、地两平面之间的距离。在天地为平行平面的基本假设之下，从数学上来说，这一距离很容易利用表影和勾股定理推算而得。《周髀算经》卷上第（3）节中说：
从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。
推算之法参看本书图3及图5。日在天上，而天与地又为平行平面，故日与地的距离也就是天与地的距离。而《周髀算经》卷下第（7）节则说得更明白：
天离地八万里。冬至之日虽在外衡，常出极下地上二万里。
“极下地”即“璇玑”，它高出地面六万里。
图6所示的盖天宇宙模型既然处处与《周髀算经》原文文意吻合，在《周髀算经》的数理结构中也完全自洽可通，为何前贤却一直误认为是双重球冠形的天地呢？从问题的表层看，主要是误解了《周髀算经》卷下第（7）节中的八个字：
天象盖笠，地法覆槃。
“槃”即“盘”。这八个字是双重球冠说最主要的依据。而实际上，根据这八个字就将盖天宇宙模型设想为双重球冠形，显然是站不住脚的。首先，笠和盘在古时是否为球冠形？这一点并无证据。相反我们倒可以看见有些现代的笠是一个平面而在中心耸起一圆锥形；日常生活中的盘也以平的形状居多。然而更重要的是，“天象盖笠，地法覆盘”八字，只是文学性的比喻，正如赵爽在此处的注文所说：
见乃谓之象，形乃谓之法。在上故准盖，在下故拟盘。象法义同，盖盘形等。互文异器，以别尊卑；仰象俯法，名号殊矣。
赵爽强调盖、盘只是比拟。特别注意，“盖”指古时的车盖，这在留存至今的大量汉代画像砖上经常可见——它们几乎无一例外都是平面形状，却从未见到过球冠形的！
再退一步说，即使“天象盖笠，地法覆盘”八字真可理解为球冠形（事实上毫无根据），这样一句文学性的比喻之词，至多也只是表示大致的形状，其重要性根本无法和《周髀算经》整个体系及它的数理结构相提并论。前面的讨论已经表明：天地为平行平面是《周髀算经》整个体系的基本假设，在全书的数理结构之中，这是一个必不可少的前提。
再回到本节开头所提到的那种认为《周髀算经》中天地形状与其数学计算假设“自相矛盾”的说法。我们现在已经充分表明，这种所谓的“自相矛盾”事实上并不存在，它只是人们对原书文句的误解和分析时的疏忽所造成的。关于盖天宇宙模型中的天地形状，《周髀算经》全书是前后一致而且自洽的——天与地为圆形平行平面（直径810000里），在中心处耸起着高60000里、直径23000里的“璇玑”，其侧视半剖面如本书图6所示。
3．《周髀》中若干天文学问题
A．周髀晷影
《周髀算经》全书中讲到的各种天文观测，竟然都是依靠同一种仪器来完成的，而且这种仪器简单之至——只是一根长八尺的竿，垂直立于地面而已。这仪器在《周髀算经》中有时就称为“竿”，有时又称为“周髀”，但大多数情况下称为“表”。由于测量时要看它在阳光下投在地面上的影长（也可利用系在它顶端的细绳，对太阳以外的天体如恒星等进行观测，由人目、表顶、天体的三点一线，也能获得地面上的“影长”，参看本书图9、图10），而影与表身正成直角，于是可以利用勾股定理，将地面之影称为勾，将表本身视作股。“周髀”之名即由此而来：髀就是股，而股代表八尺之表，故“周髀”意即“周地之表”；因为全书中的测量，都是假定在周地（绝大部分情况下可以理解为雒邑）进行的。地面之影在书中有时称为“影”，有时又称“晷影”，但最全面的称呼是“勾”，如“候勾六尺”、“勾之损益寸千里”等，因为这包含了被测天体为太阳和为恒星等的各种情况，而“晷”或“晷影”是专指太阳投下的表影而言的。
《周髀算经》中所用的这种八尺之表，后世长期沿用。考虑到地面上的影长需要精确读取，后来就将一把水平的尺（上有刻度）与表制作成一体，这水平尺称为“圭”，整个仪器就称为“圭表”。这样，使用起来就更方便，只要将圭放在正南北方向，在圭面上直接读取表影长度即可。这种圭表实物，目前尚有遗存。比较著名的有江苏仪征东汉墓出土的小型铜圭表，以及现仍保存在南京紫金山天文台上的明代大型青铜圭表。前者因形制甚小，有学者认为可能是随葬明器，并非实际使用之物。后者在清代曾被改造，加高了原表使之成为10尺，又在圭的北端加了“立圭”，但仍不失古代中国圭表的典型代表。
《周髀算经》中的八尺之表虽然简单，却有许多妙用，书中至少论述了如下七种：
测太阳远近及天高。见第（3）节。
测北极远近。见第（4）节。
测“璇玑四游”。见第（8）节。
测二十八宿。见第（10）节。
测算二十四节气。见第（13）节。
测回归年长度。见第（17）节。
测定东西南北方向。见第（8）、（9）节。
上列七种测量中，后三种很容易理解，可不必多论；第四种将于本节C中讨论；前三种则都与“勾之损益寸千里”的定理有关。对于这一定理的由来及其意义，已在新论第2节中详细讨论过，下面就该定理与实际情况之间的矛盾再作一些补充。
“勾之损益寸千里”是在天地为平行平面的前提下导出的，而天与地实际上并非平行平面，所以这个公式是错误的。但古代中国人并未发展出古希腊人那样的球面天文学（直到今天仍被全世界天文学家普遍使用着），也未掌握球面三角学的有关公式，因此难以很快发现“勾之损益寸千里”的错误。新论第2节B中所列几种文献的说法，都赞同并使用着这一公式，而那几种文献是被公认为其年代在《周髀算经》之后的。
在中国历史上，盖天说与浑天说两家有过竞争，结果是浑天家大占上风，成为占绝对统治地位的天文学说。但是这并不是说浑天学说没有从它的竞争对手那里借鉴或继承过任何东西，例如，错误的“勾之损益寸千里”公式就被浑天家接受过去了。按照当代流行的说法，这一公式作为浑天学说中最后一条盖天说“痕迹”，直到唐代开元十二年（724年）才被清除。这一年在一行领导下，南宫说等人在河南省的滑县、浚仪（今开封）、扶沟、上蔡四处测量了夏至日正午的表影，并用绳丈量了上述四处相互间的距离，结果发现“勾之损益寸千里”的公式与实测结果相去颇远。例如，从上蔡向北至滑县（两城在同一经度上，这就恰好符合“正南北”的要求），距离为526.9里，而日影已差2.1寸，足见“勾之损益寸千里”公式之错误。
其实，在进行这种大规模实地测量之前，也早已有条件检验上述公式了。因为古代中国的天文观测记录素称完备，早在南宫说等人进行测量之前，历代王朝都曾在不同地点测过夏至日（或冬至日）晷影之长，并记录在案。将这些记录进行排比、分析，已足以看出“勾之损益寸千里”公式与实际测量结果明显不符。李淳风在《周髀算经》注文中已经做了这项工作，时代在南宫说等人测量之前约一个世纪。李淳风的注文见本书附录VII。
B．《周髀》对日高、日径的测算
《周髀算经》卷上第（3）节中论述了对太阳远近（距周地的直线距离）和太阳直径的测量及计算。前者也是在天地为平行平面的基本前提之下进行的，参照本书图3，很容易理解。这里值得一提的是，赵爽在此节注文中又提出了一个新的测定太阳远近的方案，具体作法是在不同地点立两个表，在同一时刻观测日影，结果也能求得同样数据。这个方案详见本书图5及注（24）。这两个方案都需要以大地为平面作假设，但图3的方案还必须设定H和L中的某一个值（比如设定H＝80000里，又，接受“日影千里差一寸”公式，也可起到同样作用）；而图5方案只需知道表影之长G1和G2，以及两表之间的距离L，而这三个值都可由实测获得，无需设定。故图5的方案显然更先进一些。但《周髀算经》原文中并未出现此方案。当然，这两个方案所测得的太阳远近（距周地距离为100000里），都与真实情况相去甚远。毕竟太阳距离我们太遥远了，上述测量方案施之于测山高之类固然可行，但施之于太阳系这样古人根本无法想象的巨大尺度，就完全无能为力了（首先地平假设就根本不可取，其次观测精度也远远不够）。
然而，《周髀算经》对太阳视直径的测算，却与实际情况相比竟差不多。这一测算方案详见本书图4，利用一根长8尺而孔径恰为1寸的竹管，从管中窥测日面，日轮恰好占满全孔，于是推得
因前面已求得太阳远近为100000里，由此求得
这当然与实际情况相去甚远——太阳远近之值太小了。但值得注意的是，《周髀算经》在上述一系列比率关系中，实际上已无意中求得了太阳视直径之值。根据图5，设太阳视直径为ds，则有
注意这个数值与太阳平均角直径的实际值（用现代天文学方法测定）
ds＝31′59″
相比，只大了11′，确实可算作古代一个很精确的值了。例如，与古希腊的类似工作相比，萨摩斯的阿里斯塔克（Aristarchus of Samos，约公元前320—前250年）采用的值是：
ds＝2°，
到阿基米德（Archimedes，约公元前286—前212年）乃采用
27′＜ds＜33′
之值。将《周髀算经》之值置于其间，也可以无多愧色。《周髀算经》以如此粗陋的测算方案，竟能获得这样一个不太差的值，原因在于，这一方案中，一部分误差可以相互抵消，从而使精度不致太差（[21]）。
不过我们也应该特别指出，在《周髀算经》作者心目中，看来并没有ds这一数值的概念，他只是无意中获得（严格地说，甚至不一定能使用“获得”这个字眼）此值的，这一点与古希腊天文学家的数值相比，其意义有很大差距。
C．《周髀》的恒星天球坐标
《周髀算经》卷下第（10）节专门论述一种恒星天球坐标系统及其测定之法。也是利用表竿来进行，以求测定二十八宿各宿距星之间的距度。这个方案从操作上说是可行的，尽管精确度绝不会高。但这里有两个问题需要特别加以注意。
首先，《周髀算经》方案所依据的基准面是地平面，因此这样获得的恒星坐标，从天文学上来说属于地平坐标系，而不是古代中国传统的赤道坐标系。由于地平坐标的基准面是观测者当地的地平面，随着地理纬度的变化，其基准面也随之变化，因而此坐标系中的天体坐标也要变化。地平坐标系的这一性质，决定了各种记录天体位置的星表是不能采用这一坐标系的。然而成问题的是，《周髀算经》中试图测定的二十八宿各宿距星之间的距度，恰恰正是一份记录天体位置的星表，故从现代天文学常识来看，《周髀算经》中上述测定方案是失败的。
其次，进一步的研究表明，《周髀算经》上述在地平坐标系中测定二十八宿距度的方案虽然是不可取的，但在书中提供的唯一一个数据实例——牵牛之宿距星的距度（亦即牵牛距星与女宿距星之间的距度）为8°，却是一个有正确意义的数值。按照《周髀算经》的方案，用现代方法推算，牵牛距度应该只有6°；而8°则是在赤道坐标系中牵牛距度应有之值。按《周髀算经》的方案，不可能测量出赤道坐标值，那么这个8°从何而来呢？对此薄树人有一个很好的解释：
无法测量赤经差，却又说出了一个测量的结果，而且是和实际赤经差相符合的结果，这个奇妙的情况说明，在《周髀》的作者面前，这个结果早就已经有了，所欠缺的只是方法。因此，他只能在自己的理论体系下设想出一个地平测量的方法来顶替（[20]）。
这个推测是有道理的。后面还要谈到一些例子，都表明《周髀算经》的作者在构造他的天文学体系（包括观测方案在内）时，早已有一些现成的数据，作者竭力将这些数据容纳进他的体系之中，有时候不免出现破绽和矛盾。但我们决不能想当然地对《周髀算经》作者的这种努力一味贬斥——从科学史—科学哲学的角度来看，这种努力有其积极意义（参见新论第6节）。
D．七衡六间图
《周髀算经》卷上第（6）节专论七衡六间图及其绘制时的尺寸、比例等。七衡六间图，或简称七衡图，图形可参见本书图8。各种版本中的七衡图多出于后人补绘，最原初的图形究竟如何，现在已经难以确知。但从《周髀算经》原文文字的叙述看，图8的图形还是大体与原意吻合的。所谓七衡六间，指图形中的七道同心圆，它们之间等距离地形成六条间隔。《周髀算经》用七衡六间图来定量地描述太阳的周年视运动：日道每年从夏至时的内衡出发，逐渐向外移动，至秋分时到达中衡，至冬至时到达外衡；再从外衡向内回归，至次年春分时又至中衡，至夏至时回到内衡。每年都如此循环往复。
用七衡图描述太阳周年视运动，在相当程度上是成功的。当然也有不合理之处，比如，由本书图6可知，内衡的直径为238000里，外衡的直径为此值的两倍，即476000里，这样，外衡的周长就是内衡的两倍，也就是说，冬至时太阳的速度（线速度）必须是夏至时的两倍，这当然不符合事实。不过这个问题从理论上来说并不至于像有些论著中所指责的那样严重，因为如站在极下的立场来看，太阳在任何一衡上的角速度都是一样的。况且，我们不能忘记，即使在现代的行星椭圆运动模式中，依据面积定律，地球绕太阳的周年运动（在《周髀算经》的作者看来也就是太阳在七衡上的周年运动）中，线速度也是变化的，而且也是在冬至前后速度快、夏至前后速度慢。总之，对古人之说，重要的是将其置于历史发展的背景中去加以评价，而不宜苛责过甚。
从图8看，七衡图的结构义理并不复杂，《周髀算经》原文中所述也很简单明白。然而在原书第（6）节开头“七衡图”三字之下，却有赵爽的一段长注，其中所述要复杂得多，这段注文如下：
青图画者，天地合际，人目所远者也。天至高，地至卑，非合也，人目极观而天地合也。日入青图画内谓之日出，出青图画外谓之日入。青图画之内外皆天也。北辰正居天之中央。人所谓东、西、南、北者，非有常处，各以日出之处为东，日中为南，日入为西，日没为北。北辰之下，六月见日，六月不见日。从春分至秋分，六月常见日；从秋分至春分，六月常不见日。见日为昼，不见日为夜。所谓一岁者，即北辰之下一昼一夜。
黄图画者，黄道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。使青图在上不动，贯其极而转之，即交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一，夏至日道也。中第四，春秋分日道也。外第七，冬至日道也。皆随黄道。日冬至在牵牛，春分在娄，夏至在东井，秋分在角。冬至从南而北，夏至从北而南，终而复始也。
这里引人注目的是分别描述了“青图画”与“黄图画”，这显然是两幅不同的图。钱宝琮认为，这说明“周髀原有的七衡图不仅仅是一张平面图，而是用两幅图画叠合组成的”，并且推断七衡图“就是后世天文家参考用的盖图”（[16]）。又《晋书•天文志》说：
晋侍中刘智云：“颛顼造浑仪，黄帝为盖天”，然此二器皆古之所制，但传说义者，失其用耳。昔者圣王正历明时，作圆盖以图列宿。极在其中，回之以观天象。分三百六十五度四分度之一，以定日数。日行于星纪，转回右行，故圆规之，以为日行道。欲明其四时所在，故于春也，则以青为道；于夏也，则以赤为道；于秋也，则以白为道；于冬也，则以黑为道；四季之末，各十八日，则以黄为道。
这种盖图，又与赵爽所言者不同。由于盖图实物并无留存，赵爽所说的“青图画”与“黄图画”，既无实物，后人也难知其详。不过这里可以顺便提到，设计、绘制各种能反映天象的活动图盘，一直是现代业余天文爱好者乐此不疲的课题之一。这些图盘往往需要两个以上配合使用，通过转动而演示不同的天象。近年这种图盘还有获得国家专利、正式出版印制出售者。谁说这些图盘中没有一点古时盖图的遗意呢？
E．二十八宿与黄道
二十八宿系统的起源问题，一直是中外学者聚讼不决的大谜案。之所以不易获得定论，主要的原因是留下的历史资料太少，使问题无法获得确定答案，而各种大胆想象也就有了竞相驰骋的广阔余地。因此，进一步搜寻新的有关史料，显然是将这一课题向前推进所需做的必不可少的努力。《周髀算经》中就有一条重要史料，却似乎从未见前贤注意及此。
要论定二十八宿是起源于中国，还是起源于巴比伦、印度、波斯，需要确定其年代；要确定其起源的年代，重要的方法之一是根据星象用天文学原理推算，而这就需要知道二十八宿在初建立时是以黄道为基准还是以赤道为基准。由于中国传统天文学在它确立之后一直采用赤道坐标系统，所以后世留下的二十八宿坐标都是赤道坐标，这使得许多人想当然地认为二十八宿从一开始就是以赤道为基准的。然而事实未必如此，例如，就二十八颗距星的分布而言，与黄道的吻合情况明显优于赤道：胃宿距星赤纬达27°多，尾宿距星的赤纬更达－37°有余，而各距星的黄纬则绝无如此之大的数值。[4]而在《周髀算经》原文及赵爽注中，我们可以看到二十八宿被明确视为沿着黄道分布的。
《周髀算经》卷上第（4）节中云：
月之道常缘宿，日道亦与宿正。
对此赵爽注云：
内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道。二十八宿列焉。月之行也，一出一入，或表或里，五月二十三分月之二十而一道一交，谓之合朔交会及月蚀相去之数，故曰“缘宿”也。日行黄道，以宿为正，故曰“宿正”。
上面所说的“黄道”，是否与现代天文学中的黄道概念相当？从上下文来分析，无疑是相当的——黄道本来就是根据太阳周年视运动的轨迹定义的。于是可知：《周髀算经》的作者以及为之作注的赵爽，都认为二十八宿是列于黄道的，或者说，是以黄道为基准的。
上述结论，还可以在赵爽注文中发现另一处表述，即前引《周髀算经》第（6）节“七衡图”下的赵爽注，其中也非常明确地说：“黄图画者，黄道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。”日月所躔，当然是黄道（严格地说，月球运行的是白道，与黄道有5°左右的小倾角，但古人论述时也常不作区分）。
所以我们可以得到结论：
在汉代及此前，至少有一部分中国天文学家认为二十八宿是沿着黄道分布，即以黄道为基准的。
F．两分两至点与北极的距离
《周髀算经》卷下第（12）节，迄今仍是一个未解之谜。这一节中，用了很长的篇幅依次推算牵牛、娄、角、东井四宿（应该理解为此四宿所代表的两分两至点，因为按《周髀算经》的说法，此四宿依次是冬至、春分、秋分、夏至时太阳所在的位置）与北极的距离，实际上也就是七衡六间图中外衡（冬至日所在）、中衡（春、秋分日所在）、内衡（夏至日所在）与北极的距离。之所以成为谜，是因为《周髀算经》对这些数据的推算过程和出发点都是荒谬的，在天文学原理上讲不通的，然而所推得数据却又与现代天文学中两分两至点距北极的距离非常吻合。
《周髀算经》先将内衡周长（357000里）以周天度数度去除，得到所谓“内衡—度数”，再用“内衡—度数”依次去除外衡半径（要先减去“璇玑”半径11500里）、中衡半径、内衡半径（要先加上“璇玑”半径），所得即依次为牵牛、娄与角、东井距北极的度数。这样的推算方法，从天文学原理来说，完全讲不通，迄今为止也没有人能指出这样推算究竟依据什么义理。
然而，按照《周髀算经》的宇宙模型，外衡、中衡、内衡分别为冬至、春秋分、夏至日道，因此牵牛、娄与角、东井距北极的度数，确实能与现代天文学中冬至、春秋分、夏至点的意义相对应。《周髀算经》用荒谬步骤推算而得的三个数据，换算成360°圆周的分划法，可列出如次：
冬至日道距北极：114°2′52″
春秋分日道距北极：90°
夏至日道距北极：65°58′8″
可以从好几个角度证明上述三个数值本身非常符合现代天文学的结论。例如，以上列第二值减第一值，或第三值减第二值，都可得到一个最基本的天文数据，称为黄赤交角，通常用希腊字母ε表示：
ε周髀＝24°2′52″
而《周髀算经》时代的真实黄赤交角值可以用纽康（S. Newcomb）公式逆推而得，根据我们在新论第1节B中所采纳的《周髀算经》成书年代——约公元前100年，就有：
ε100B.C.＝23°27′8″.26－46.″845T
上式只保留了纽康公式中的一次项（高次项的精度在这里没有意义），T的单位是百年。由于纽康公式以1901年为起算原点，故上式中的T应取－20，代入即得：
ε100B.C.＝23°42′45″
将ε周髀与此值相比，仅差20′7″，可以算非常准确了。
荒谬的、错误的推算方法，为何竟能得出有意义的、非常准确的数值呢？结论看来只能是：《周髀算经》中这些数值是当时已有的，而推算方法则是作者胡乱编凑的。这样推测不是没有根据的，因为中国天文学家早已能够获得相当精确的ε值，比如《后汉书•律历志》引《石氏星经》曰：“黄道轨牵牛初值斗二十度，去极百一十五度。”从牵牛去极115度（中国古度），也即113°20′49″，减去90°，即可推算出石氏的黄赤交角值：
ε石氏＝23°20′49″
已经是非常好的值了。
G．日照十六万七千里
《周髀算经》卷上第（4）节中说：
日照四旁各十六万七千里。
又说：
人所望见，远近宜如日光所照。
这是说，太阳光芒向四周照射的极限距离达到167000里，而人极目远望所能达到的极限距离也是同样数值。换言之，人看不到167000里之外的景物（注意《周髀算经》的天、地都是平面），太阳的光芒也照不到167000里之外。从结构上来看，这条原则应属《周髀算经》中的基本假设，或即公理。因为这条原则并不是导出的，而是设定的。
以往学者们在这个问题上的研究，主要是试图根据《周髀算经》所交代的有关数学关系式，以说明此167000里之值因何而取。尽管各家的说明方案在细节上略有差异，但主要的结论是一致的，即认为这个数值是《周髀算经》作者为构造他的盖天宇宙模式而引入的，或者也可以说是凑出来的。但这里应该注意，拼凑数据固然难免脱离客观实际，然而我们不能不承认，这在同时却也是作者采用“公理化方法”（或者至少也是“准公理化方法”）构造盖天几何体系的必要步骤之一。而且我们还应注意到，《周髀算经》引入167000里这个值之后，在“说明现象”上确能取得相当程度的成功，正如程贞一、席泽宗所指出的：
由这光照半径，陈子模型（按即指《周髀算经》中的盖天宇宙模型）大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化。……同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象（[21]）。
这个结论是正确的。在那个时代的中国，能构造出这样一个几何模型，并能大致上解释实测结果，已是难能可贵了。
不过，若仔细分析起来，则《周髀算经》假定日照极限167000里之后，在其宇宙模型中仍不无捉襟见肘之处。最明显的一个例子是春秋分日的日出方位。在这两天，太阳从正东方升起而在正西方落下，但依据《周髀算经》的几何模型和日照167000里的设定，则太阳将从周地的东北方升起而至西北方落下，明显违背了观测事实（参见本书图7及注（34）、（35））。对于这一破绽，《周髀算经》采取缄口不言的回避之法。而在同时，它能够正确地推导出，冬至日那天在周地正东西方向见不到太阳（仍参见图7及注（34）），它就明白写道：“冬至之日正东西方不见日。”如果调整167000这一设定数值，就可以在春、秋分日日出方位上自圆其说；但这样一来冬至日出方位就要出问题。这就是《周髀算经》在引入“日照十六万七千里”时的捉襟见肘之处。类似的例子还有几处（详细情况可参见［20］及［16］）
H．《周髀》的宇宙边界
《周髀算经》中的盖天宇宙模型是一个有限宇宙：天、地均为圆形的平行平面，中间相距80000里；而这两个大圆形的直径为810000里。这个数值在《周髀算经》中属于导出数值，而非设定者。这都是就结构形式而言的，至于在写书之前，作者心中哪些数据是设定的，哪些数据是有待导出的，今人当然无法得知，因为任何数据都是可以编凑的，所以我们显然只能根据书中所实际呈现出来的结构形式进行分析。新论第2节中所讨论的“勾之损益寸千里”关系式，也应作如是观。
关于宇宙直径为810000里，《周髀算经》中有两处相似的推导。一处见卷上第（4）节近结尾处：
冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所遝观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。
另一处见卷上第（6）节中：
日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。
这两处推导，参看图6就很容易明白：冬至日道是太阳自身走得最远处（以北极为中心），此日道的半径为238000里，太阳在此处又可将其光芒向四周射出167000里，两值相加，得到405000里，这是宇宙的半径，所以宇宙直径为810000里。注意这里宇宙直径是在前面设定的日照167000里之上导出的。
宇宙为直径810000里的圆周，那么在此之外是什么？《周髀算经》的作者已经虑及这一问题，卷上第（6）节中云：
过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之。
作者对宇宙边界之外是什么，表示存疑的态度，而不进行武断，这是十分明智的作法。
上引这段《周髀算经》的论述，其语气很容易使人联想到汉代张衡所作《灵宪》中的一段话：
过此而往者，末之或知也。未之或知者，宇宙之谓也。宇之表无极，宙之端无穷。
注意《灵宪》“宇宙”二字的用法与我们所习惯的用法不同，它是用“宇宙”来指称天地边界之外的情形；但从“宇之表无极，宙之端无穷”来看，在用来指“时空”这一点上倒又与现代的用法吻合——至于宇宙究竟有限还是无限，那是另一问题。
《周髀算经》和《灵宪》对于它们各自所构建的迥然不同的天地结构之外的情形，都表示“过此而往者，未之或知”（注意连语句都一字不异！）。盖天家和浑天家的经典著作在这一问题上采取几乎完全相同的立场，是值得思考研究的。这里我们只是提请注意，古人虽然用“宇宙”一词来指时空，这一点与今天的用法相同；但古人心目中的“宇宙”，究竟是他们的天地结构，还是这结构之外的“未之或知”的情形，或者是不是现代天文学家们在浩瀚太空中不断扩展着的视界，都还尚无定论，需要在各种具体情况下仔细辨析。
4．《周髀》中的勾股定理问题
A．特例还是普适情形
《周髀算经》原文中有两处直接讲到勾股定理。第一处即全书第（1）节中商高对周公谈到矩时所说：
故析矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。
矩的形状及有关情况可参见本书图1和注（6），由于矩的基本形状是一个直角三角形，故上述引文无疑是陈述了勾股定理在直角三角形三边之长分别为3、4、5时的特例：
32＋42＝52
第二处见卷上第（3）节：
候勾六尺，……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁（即前文之邪，音、义俱同斜）至日所十万里。
参看本书图3，很容易明白这段论述正是勾股定理的一次具体应用。但是显而易见，这次仍是直角三角形三边之长为3、4、5时的特例（只是乘以系数2，成为6、8、10而已）。这样看来，许多学者认为《周髀算经》中出现的勾股定理虽是特例，确属有据可信。
然而，也有一些学者对此另有异议，他们认为《周髀算经》中的勾股定理不限于3、4、5的特例，而是普适的。主要理由是：书中有三处使用了能由勾股定理算出的数据，而这三处所涉及的数值不满足3、4、5的比例。对此需要稍作讨论。
这三处数值集中见于卷上第（4）节中，依次列出如下：
夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。
冬至之日正东西方不见日，以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。
从周（至宇宙边界——日照极限处）东西各三十九万一千六百八十三里半。
关于这些数据的推算细节及意义，详见本书图7和注（33）、（34）、（37）。其中前两个数值已于图7中由线段表示，即
ZSx≐59598.5里
ZSD≐214557.5里
第三个数值所代表的线段在图7中未绘出，但原理与前两个一样，只需将半径为RD的外衡圆周代之以半径为405000里的宇宙边界圆周，再将线段ZSD延长至与此大圆周相交即可，Z与此交点之间的长度即391683.5里。
由图7清楚可见，上述三个数值确实需要引用勾股定理才能算得，而且其中数值明显不成3、4、5的比例。因此认为《周髀算经》中有普适的勾股定理的主张，也有道理。
但是我们必须加以辨析的是，《周髀算经》中明确陈述的勾股定理，确实只有3、4、5的特例，即见于第（1）节和第（3）节中的两处；而另一方面，它虽在第（4）节中使用了普适情形的勾股定理，但却根本未将之明确陈述出来。此外，我们还必须注意，无论是勾股定理的普适情形还是特例，《周髀算经》原书中都未对之作出证明——对普适情形的证明是赵爽在为《周髀算经》所作注文中完成的（详情参见本书附录III、IV）。
最后还可以指出，像《周髀算经》中这样在陈述勾股定理时仅限于3、4、5的特例，并非绝无仅有的罕见现象，本书附录VI就提供了一个古罗马著作中的相同例证。
B．勾股定理可否称为“商高定理”
西学东渐之后，中国人知道勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯（Pythagoras）定理”。看到中国“古已有之”的定理以西人命名，使一些中国人心中感到不平。在20世纪20年代，有的中学数学教科书中就赫然将“毕达哥拉斯定理”改称为“商高定理”，理由是商高既与周公对话，必为周公同时代人，则年代早于毕达哥拉斯数百年。到50年代，在特定的时代氛围中，不少人更以激情谈学术，纷纷旧话重提，主张将勾股定理“正名”为“商高定理”。其流风余韵，至80年代仍可偶尔一见。
这个问题应该如何看待？其实，早在1929年，数学史专家钱宝琮就已有极好的论述：
今人撰算书称勾股定理，不曰毕达哥拉斯定理，而曰商高定理，以尊重国学，意至善也。余则以为算学名词宜求信达。周公同时有无商高其人，《周髀》之术，姑不具论；藉曰有之，亦不过当时知有勾三、股四、弦五之率耳，不足以言勾股通例也。中国勾股算术至西汉时《周髀算经》撰著时代始有萌芽，实较希腊诸家几何学为晚。题曰商高，似属未妥（[9]）。
60余年过去，钱宝琮的上引论述仍是完全正确的。事实上，将这个定理称为勾股定理是最为稳妥的——既简洁明了，又避免了无谓的发明人之争，而且仍不乏中国特色。当然，人们没有任何理由强求西方人改变他们对这一定理的习惯称法。
5．《周髀》中有无外来影响
A．盖天宇宙与古印度宇宙惊人相似
由前面的论述，我们已经知道《周髀算经》中的盖天宇宙有着如下特征：
一、大地为圆形平面；
二、大地中央矗着高高的柱形物（“璇玑”）；
三、该宇宙模型的构造者为自己居息之处确定了在圆形大地上的位置，并且这位置不在中央而是偏南；
四、大地中央的柱形延伸至天处为北极；
五、日、月、星辰在天上环绕北极作圆周运动；
六、太阳在这种圆周运动中有着多重同心轨道，并以半年为周期（一年往返一遍）作规律性轨道迁移；
七、太阳的上述运行模式可以在相当程度上说明昼夜成因和太阳周年视运动中的一些天象。
我们可以发现，上述七项特征竟与古代印度的宇宙模型全都吻合！这样的现象恐怕不是偶然的，值得加以注意与研究。
关于古代印度的宇宙模型，主要保存在一些《往世书》（Purānas）中。《往世书》是印度教的圣典，同时又是古代史籍，带有百科全书性质。它们的确切成书年代难以判定，但其中关于宇宙模式的一套概念，学者们相信可以追溯到吠陀时代——约公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世书》中的宇宙模式可以概述如下：[5]
大地像平底的圆盘，在大地中央耸立着巍峨的高山，名为迷卢（Meru，也即汉译佛经中的“须弥山”，或作Sumeru，又译成“苏迷卢”）。迷卢山外围绕着环形陆地，此陆地又为环形大海所围绕，……如此递相环绕向外延展，共有七圈大陆和七圈海洋。印度位于迷卢山的南方。
在与大地平行的天上有着一系列天轮，这些天轮的共同轴心就是迷卢山，迷卢山的顶端就是北极星（Dhruva）所在之处，诸天轮携带着各种天体绕之旋转；这些天体包括日、月、星辰，……以及五大行星，依次为水星、金星、火星、木星和土星。
利用迷卢山可以解释黑夜与白昼的交替。携带太阳的天轮上有180条轨道，太阳每天迁移一轨，半年后反向重复，以此来描述日出方位角的周年变化。……
又唐代释道宣《释迦方志》卷上也记述了古代印度宇宙模型，细节上恰可与上引记载相互补充：
……苏迷卢山，即经所谓须弥山也，在大海中，据金轮表，半出海上八万由旬，日月回薄于其腰也。外有金山七重围之，中各海水，具八功德。
据上引这些记载，古代印度宇宙模型与《周髀算经》盖天宇宙模型确有惊人的相似之处，在细节上几乎处处吻合：
两者的大地与天都是圆形的；且都为平行平面；“璇玑”和迷卢山同样扮演了大地中央的“天柱”角色；周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分；“璇玑”和迷卢山的正上方都是各种天体旋转的枢轴——北极；如果说迷卢山外的“七山七海”在数字上使人联想到七衡六间的话，那么印度宇宙中太阳天轮的180条轨道无论从性质还是功能来说都与七衡六间完全一致（太阳在七衡之间的往返也是每天连续移动的）。特别值得指出，《周髀算经》中天与地的距离是八万里，而迷卢山也是高出海上“八万由旬”，同为八万单位，真是巧合之至。
在人类发展史上，文化的多元自发生成是完全可能的，因此许多不同文明中的相似之处也可能是偶然巧合。但《周髀算经》中的盖天宇宙模型与古代印度的宇宙模型之间实在太相似了，从整个格局到许多细节，都一一吻合，如果仍用“偶然巧合”去解释，那就显得实在太勉强了。然而我们如果因此就一头陷入“谁来源于谁”的考证之中去，那又会远远超出本书的范围。所以在这里仅限于将这一问题提请注意。
B．寒暑五带知识的来源
《周髀算经》中有相当于今人熟知的关于地球上寒暑五带的知识。这是一个非常令人惊异的现象，因为这类知识是以往两千年间中国传统天文学说中所没有、而且不相信的。
这些知识在《周髀算经》中主要见于卷下第（9）节：
极下不生万物，何以知之？……北极左右，夏有不释之冰。
中衡去周七万五千五百里。中衡左右冬有不死之草，夏长之类。此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。
凡北极之左右，物有朝生暮获，冬生之类。
这里需要先作一些说明。上引第二则中，所谓“中衡左右”，赵爽注认为是指“内衡之外，外衡之内”；而由本书图6及图8显然可知，这一区域正好对应于地球寒暑五带中的热带（南纬23°.5至北纬23°.5之间）——尽管《周髀算经》中并无地球的观念。上引第三则中，说北极左右“物有朝生暮获”，这必须联系到《周髀算经》盖天宇宙模型对极昼、极夜现象的演绎描述能力：据前所述，“璇玑”的半径值为11500里，而“日照四旁”的极限为167000里，这样，由本书图6清楚可见，每年从春分至秋分期间，在“璇玑”范围内将出现极昼——昼夜始终在阳光之下；而从秋分至春分期间则为极夜，因为阳光在此期间的任何时刻都照射不到“璇玑”范围之内。也就是赵爽注文中所说：“北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜。”故云“物有朝生暮获”，因为是以半年为昼，半年为夜。
上述《周髀算经》中关于寒暑五带的知识，其准确性是没有疑问的。然而这些知识却并不是两千年间中国传统天文学中的组成部分。对于这一奇怪现象，可从几方面加以讨论。
首先，为《周髀算经》作注的赵爽，竟然就表示不相信书中这些知识。对于北极附近“夏有不释之冰”，赵爽注称：“冰冻不解，是以推之，夏至之日外衡之下为冬矣，万物当死——此日远近为冬夏，非阴阳之气，爽或疑焉。”对于“冬有不死之草”、“阳彰阴微”、“五谷一岁再熟”的热带，赵爽表示“此欲以内衡之外、外衡之内，常为夏也。然其修广，爽未之前闻”——他从未听说过。我们从赵爽为《周髀算经》全书所作的注释来判断，他毫无疑问是那个时代够格的天文学家之一，为什么竟从未听说过这些寒暑五带知识？比较合理的解释似乎只能是，这些知识并非中国传统天文学体系中的组成部分，它们是新奇的，格格不入的，因而也是难以置信的。
其次，在古代中国居统治地位的天文学说——浑天说中，由于没有正确的地球概念，是不可能提出寒暑五带之类的问题的（[20]）。因此当明朝末年来华的耶稣会传教士在他们的中文著作中向中国读者介绍寒暑五带知识时，被中国人目为未之前闻的新说。这类著作中最早的当推《无极天主正教真传实录》，1593年刊行，其中论及大地为球形，南北半球各分为寒、温、热带，并有附图。影响最大的则当推利玛窦（Mathew Ricci）所撰《坤舆万国全图》，于1602年刊刻印行。稍后有艾儒略（Jules Aleni）作《职方外纪》（1623），所述较利氏之书更详。这些著作使明末清初的中国学者得知了地球寒暑五带之说。当清初“西学中源”思潮甚嚣尘上时，梅文鼎等人为寒暑五带之说寻找中国源头，找到的正是《周髀算经》——他们认为是《周髀算经》等中国学说在上古时传入西方，才教会了希腊人、罗马人和阿拉伯人掌握天文学知识。
现在我们的问题是，既然在浑天学说中因没有地球概念而不可能提出寒暑五带的问题，那么《周髀算经》中同样没有地球概念，何以却能记载这些知识？如果说《周髀算经》的作者身处北温带之中，只是根据越向北越冷、越往南越热，就能推衍出北极“夏有不释之冰”、热带“五谷一岁再熟”之类的现象，那浑天家何以偏就不能？况且赵爽为《周髀算经》作注，他总该是接受盖天学说之人，何以连他都对这些知识不能相信？这样看来，我们有必要考虑这些知识传自异域的可能性。
大地为球形、地理经纬度、寒暑五带等知识，早在古希腊学者那里就已系统完备，一直沿用至今。五带之说在亚里士多德著作中已经发端，至“地理学之父”埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275—前195年）的《地理学概论》中，已有完整的五带：南纬24°至北纬24°之间为热带，两极处各24°的区域为南、北寒带，南纬24°—66°和北纬24°—66°间则为南、北温带。从年代上来说，古希腊天文学家确立这些知识早在《周髀算经》成书之前。当然，我们尚不能由此就推断《周髀算经》中的寒暑五带知识必定是来自古希腊。这里仍仅限于将此问题提请注意。
C．坐标体系问题
以浑天学说为基础的传统中国天文学体系，完全属于赤道坐标系。这个体系中，首先要知道观测地点所见的“北极出地”度数——也就是今天所说的地理纬度，由此建立起赤道坐标系。天球上的坐标系由二十八宿系统构成，在这系统中天体的位置由两个元素决定：入宿度和去极度，前者相当于现代的赤经差（因二十八宿的距星是标准星，它们的赤经是可以确定的），后者是现代赤纬的余角（即90°—赤纬），两者在性质和功能上与现代的赤经、赤纬完全等价。与这赤道坐标系相适应，古代中国的测角仪器——以浑仪为代表——也全是赤道式的。中国传统天文学的赤道特征，引起近代西方汉学家的特别注意，因为发端于古希腊的西方天文学，两千年间一直是黄道体系，直到16世纪晚期才出现重要的赤道式天文仪器，这还被看作是丹麦天文学家第谷（Tycho Brahe，1546—1601年）的一大发明。而在现代中外学者的研究中，传统中国天文学的赤道特征已是公认之事。
而在《周髀算经》一书中，我们却看不到这种赤道体系的特征。二十八宿是沿着黄道排列的（详见新论第3节E），而测定二十八宿距星坐标的方案又是在地平坐标系中实施的（详见新论第3节C）。