I．宋鲍澣之《周髀算经》跋
鲍澣之，字仲祺，南宋括苍人。平日留心数学古籍，广为搜集。嘉定六年（1213年）他知汀州军州，因北宋元丰七年（1084年）秘书省刻本《算经十书》到当时已很少见到传本，乃于任上将其翻刻印行。《周髀算经》为《算经十书》之首，鲍澣之为《周髀算经》撰写了一篇跋记，略述此书流传、注释等情况。
《周髀算经》二卷，古盖天之学也。以勾股之法，度天地之高厚，推日月之运行，而得其度数。其书出于商周之间，自周公受之于商高，周人志之，谓之《周髀》，其所从来远矣。《隋书•经籍志》有《周髀》一卷，赵婴注；《周髀》一卷，甄鸾重述。而唐之《艺文志》天文类有赵婴注《周髀》一卷、甄鸾注《周髀》一卷，其历算类仍有李淳风注《周髀算经》二卷，本此一书耳。至于本朝《崇文总目》，与夫《中兴馆阁书目》，皆有《周髀算经》二卷，云赵君卿注、甄鸾重述、李淳风等注释。赵君卿，名爽，君卿，其字也。如是，则在唐以前，则有赵婴之注；而本朝以来，则有赵爽之本。所记不同。意者赵婴赵爽，止是一人，岂其文字相类，转写之误耶？然亦当以隋唐之书为正可也。又《崇文总目》及李籍《周髀音义》，皆云赵君卿不详何代人，今以序文考之，有曰“浑天有《灵宪》之文，盖天有《周髀》之法”，《灵宪》乃张衡之所作，实后汉安顺之世；而甄鸾之重述者，乃是解释君卿之所注，出于宇文周之时，以此推之，则君卿者其亦魏晋之间人乎。若夫乘勾股朱黄之实，立倍差减并之术，以尽开方之妙，百世之下，莫之可易，则君卿者诚算学之宗师也。
嘉定六年癸酉十一月一日丁卯冬至承议郎权知汀州军州兼管内劝农事主管坑冶括苍鲍澣之仲祺谨书。
——录自丛书集成本《周髀算经》，商务印书馆出版（1937）。
II．四库全书总目《周髀算经》提要
18世纪末，清朝政府集中大批人力物力修成《四库全书》，在纂修期间，对采入和未采入《四库全书》的一万余种书籍都分别写有内容提要，后将这些提要分类编排，汇成一书，名为《四库全书总目》。所有这些提要的撰写、统稿和润色，以《四库全书》总纂官纪昀所做工作最多。《周髀算经》收入《四库全书》子部天文算法类。当时盛行自我陶醉的“西学中源说”，因而提要对《周髀算经》说了不少虚骄自大语，这是不足取的。但从研究《周髀算经》的历史角度而言，则仍不失其参考价值。
案《隋书•经籍志》天文类，首列《周髀》一卷，赵婴注；又一卷，甄鸾重述。《唐书•艺文志》，李淳风释《周髀》二卷，与赵婴、甄鸾之注列之天文类，而历算类中复列李淳风注《周髀算经》二卷，盖一书重出也。
是书内称：周髀长八尺，夏至之日，晷一尺六寸。盖髀者，股也，于周地立八尺之表以为股，其影为勾，故曰周髀。其首章周公与商高问答，实勾股之鼻祖。故《御制数理精蕴》载在卷首而详释之，称为成周六艺之遗文。荣方问于陈子以下，徐光启谓为千古大愚，今详考其文，惟论南北影差以地为平远，复以平远测天，诚为臆说，然与本文已绝不相类，疑后人传说而误入正文者。如《夏小正》之经、传参合，傅崧卿未订以前，使人不能读也。
其本文之广大精微者，皆足以存古法之意，开西法之源。如书内以璇玑一昼夜环绕北极一周而过一度，冬至夜半璇玑起北极下子位，春分夜半起北极左卯位，夏至夜半起北极上午位，秋分夜半起北极右酉位，是为璇玑四游所极，终古不变。以七衡六间测日躔发敛，冬至日在外衡，夏至日在内衡，春秋分在中衡，当其衡为中气，当其间为节气，亦终古不变。
古盖天之学，此其遗法。盖浑天如球，写星象于外，人自天外观天；盖天如笠，写星象于内，人自天内观天，笠形半圆，有如张盖，故称盖天。合地上地下两半圆体，即天体之浑圆矣。其法失传已久，故自汉以迄元、明，皆主浑天。
明万历中，欧逻巴人入中国，始别立新法，号为精密。然其言地圆，即《周髀》所谓地法覆盤，滂沱四而下也；其言南北里差，即《周髀》所谓北极左右夏有不释之冰、物有朝生暮获、中衡左右冬有不死之草、五谷一岁再熟，是为寒暑推移，随南北不同之故；及所谓春分至秋分极下常有日光，秋分至春分极下常无日光，是为昼夜永短，随南北不同之故也。其言东西里差，即《周髀》所谓东方日中，西方夜半；西方日中，东方夜半。昼夜易处如四时相反，是为节气合朔加时早晚，随东西不同之故也。又李之藻以西法制浑盖通宪，展昼短规使大于赤道，一同《周髀》之展外衡使大于中衡。其《新法历书》述第谷以前西法，三百六十五日四分日之一，每四岁之小余成一日，亦即《周髀》所谓三百六十五日者三，三百六十六日者一也。西法出于《周髀》，此皆显证，特后来测验增修，愈推愈密耳。《明史•历志》谓：尧时宅西居昧谷，畴人子弟散入遐方，因而传为西学者，固有由矣。
此书刻本脱误，多不可通，今据《永乐大典》内所载，详加校订。补脱文一百四十七字，改舛者一百一十三字，删其衍复者十八字。旧本相承，题云汉赵君卿注，其自序称“爽以暗蔽”，注内屡称“爽或疑焉”、“爽未之前闻”，盖即君卿之名。然则隋、唐志之赵婴，殆即赵爽为欤。注引《灵宪》、《乾象》，则其人在张衡、刘洪后也。旧有李籍《音义》，别自为卷，今仍其旧。书内凡为图者五，而失传者三，舛者一，谨据正文及注为之补订。
古者九数惟《九章》、《周髀》二书，流传最古，误亦特甚，然溯委穷源，得其端绪，固术数学之鸿宝也。
——录自《四库全书总目》卷一〇六子部天文算法类一，中华书局影印本（1965），891—892页。
III．赵爽《周髀算经》注中的勾股论
赵爽在《周髀算经》卷上的注文中，插入一篇短文专论勾股之术。这篇勾股论中特别值得注意的一点是：赵爽所论证的勾股定理已具有普遍适用的形式，不再局限于《周髀算经》原文中“勾三股四弦五”的特殊情形。本篇原有赵爽所绘之图相辅而行，故文中有“朱实”、“黄实”等语，但原图都已佚失，传世各本中之图，颇多错误，钱宝琮认为系后人杜撰。钱宝琮乃根据赵爽原文重新绘制并详加解说，见附录IV，应与本篇相参研读。还有一点值得指出，赵爽证明勾股定理，主要是应用了等面积原理；而西方历史上对勾股定理的一些著名论证，如欧几里得（Euclid）、达•芬奇（L. da Vinci）、威伯（Wipper）、爱泼斯坦（Epstein）、潘利迦（H. Perigal）等人所作的，采用图形移补之法，所依据的也是等面积原理。在这一问题上，东西方的先哲们可谓不约而同。
勾，股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾、股之差自相乘为中黄实。加差实一亦成弦实。以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾，即股。凡并勾、股之实即成弦实。或方于内，或矩于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股、弦差为广，股、弦并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于弦实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股、弦差。加股为弦，以差除勾实，得股、弦并。以并除勾实，亦得股、弦差。令并自乘，与勾实为实，倍并为法，所得亦弦。勾实减并自乘，如法为股，股实之矩以勾、弦差为广、勾、弦并为袤，而勾实方其里。减矩股之实于弦实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角即勾、弦差。加勾为弦，以差除股实，得勾、弦并。以并除股实，亦得勾、弦差。令并自乘，与股实为实，倍并为法，所得亦弦。股实减并自乘，如法为勾。两差相乘，倍而开之，所得以股、弦差增之，为勾；以勾、弦差增之，为股；两差增之，为弦。倍弦实列勾、股差实，见并实者，以图考之，倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即勾、股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾、股并也。令并自乘，倍弦实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾、股差。以差减并而半之，为勾；加差于并而半之，为股。其倍弦为广、袤合，令勾、股见者自乘为其实，四实以减之，开其余，所得为差。以差减合，半其余为广，减广于弦，其所求也。观其迭相规矩，共为返覆，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，宏纪众理，贯幽入微，钩深致远。故曰：其裁制万物，唯所为之也。
——录自钱宝琮校点《算经十书》，中华书局出版（1963），18页。
IV．钱宝琮对赵爽勾股论的解说
赵爽的勾股论见附录III，这篇文献因附图佚失，加以古今数学表达方式差异甚大，解读十分困难。著名数学史家钱宝琮（1892—1974）对这篇文献作了深入研究，依据原文文意补绘了附图，并改用现代数字表达式将其内容加以解说。使得千载旧籍一朝以全新面目出现于现代读者之前，重放光辉。
传本《周髀算经》中的“勾股圆方图”说有很多错误文字，所附的图也是后人的杜撰，与赵爽原意不能符合。我们校读原文并补绘图形，用现代数学符号叙述如下：
图1
勾股图说中的勾股定理，赵爽写成为“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，它的证明利用着一个“弦图”。赵爽所谓“弦实”是弦平方的面积，“弦图”是以弦为方边的正方形。在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边为弦，如图1。赵爽称这四个勾股形面积为“朱实”，称中间的小正方形面积为“黄实”。设a、b、c为勾股形的勾、股、弦，则一个朱实是ab，四个朱实是2ab，黄实是（b－a）2，所以
c2＝2ab＋（b－a）2＝a2＋b2
这就证明了
又，阔a，长b的长方形，长阔差是b－a，面积是ab＝[c2－（b－a）2]，故x＝a时，
x2＋（b－a）x＝[c2－（b－a）2]。
图2
如果已知（b－a）和c，开上到“带从平方”（解二次方程）即得x＝a。
在“弦图”内挖去一个以股b为方边的正方形，如图2所示，余下来的是一个曲尺形，它的面积是c2－b2＝a2，赵爽叫它“勾实之矩”。如果把这个“勾实之矩”依虚线处剪开，拼成一个长方形，它的阔是c－b，长是c＋b。所以
因这个长方形的长阔差是2b，故
x2＋2bx＝a2
的正根是c－b。又，
图3
同样，在弦图内挖去一个以勾a为方边的正方形，如图3，余下来的曲尺形称为“股实之矩”，它的面积是c2－a2＝b2。把“股实之矩”依虚线处剪开，拼成一长方形，它的阔是c－a，长是c＋b，所以
因这个长方形的长阔差是2a，故
x2＋2ax＝b2
的正根是c－a。又
图4
又将图3旋转180°，合在图2的上面，就是图4。图中小正方形S的边长是a＋b－c，左上角和右下角的二长方形，阔是c－b，长是c－a，面积T＝（c－a）（c－b）。
因
a2＋b2－S＝c2－2T，
故
2T＝S，
2（c－a）（c－b）＝（a＋b－c）2。
所以
图5
在图1的“弦图”之外再加上四个朱实，拼成一个以a＋b为方边的正方形，如图5。这个正方形的面积比两个“弦实”2c2，少一个“黄实”（b－a）2，所以
（a＋b）2＝2c2－（b－a）2。
因得
赵爽在他的勾股图说里，又提出了一个已知长方形面积与长阔和求长、阔的问题。设长方形面积为A，长阔和是K，他的解法是：先求出长阔差等于，因而得到阔等于
长等于
图6
这个解法也是以面积图形为根据的。如图6，在正方形k2内，减去四个长方形4A后，所余的是长阔差的平方。开平方得长阔差。和、差相减折半得阔，从和内减去阔得长。用代数符号表达出来，设x为阔，则
x（k－x）＝A
或
－x2＋kx＝A。
解二次方程得
上面的二次方程中x2的系数是－1，这和“带从平方”不同，所以赵爽不用开带从平方法去求它的根。
——录自钱宝琮主编《中国数学史》，科学出版社出版（1981），57—60页。
V．欧几里得对勾股定理的证明
勾股定理在西方习称为毕达哥拉斯（Pythagoras）定理。毕氏为公元前六七世纪之交时人。事实上，早在毕氏之前一千多年，古巴比伦人就已经知道这一定理。而毕氏自己是否为这一定理作出过证明，也未有确切证据。但毕氏之后的两千年间，西方才智之士不断对这一定理作出各自的证明，这些不同的证明方案至少有370种以上。欧几里得在他的《几何原本》第一卷命题47中对这一定理的证明，被认为是特别简洁、优美的一个，他所用的图形还被美称为“修士头巾”或“新娘轿椅”。欧几里得也是依据等面积原理来完成证明的。欧几里得生活在公元前300年左右，相当于中国的战国时代晚期。
如图所示，△ABC为直角三角形（其中为勾，为股，即弦）。利用关于三角形面积的定理，立刻可以证出：三角形△ABD与△FBC面积相等，而矩形BL的面积＝2倍的三角形△ABD的面积，正方形GB的面积＝2△FBC，于是有矩形BL的面积＝正方形GB的面积。仿此又可证得：矩形CL的面积＝正方形AK的面积。这样就有：
亦即
勾2＋股2＝弦2。
——依据M．克莱因（Kline）《古今数学思想》（张理京等译），上海科学技术出版社出版（1979），731页。
VI．古罗马工程师对勾股定理的记述
古罗马著名军事工程师维特鲁威（Vitruvius）于公元前1世纪写成《建筑十书》，是现存最完备的西方古典建筑学大全。然而其中的“第九书”全是讨论天文学问题，几乎与建筑毫无关系。在“第九书”的序言中，维特鲁威记述了勾股定理。奇怪的是，此时欧几里得的普适证明早已完成了二百余年，但维特鲁威却仅记述了勾三股四弦五的特殊情况——恰与《周髀算经》原文的情形一样。
又，毕达哥拉斯说明了不按匠师们的做法也可以求出直角。匠师们虽然作了非常的努力，还几乎不能够正确地作出直角，可是应用他的教程的理论和方法却完全能够说明它。即取三根直杆，其中一根三尺，另一根四尺，第三根五尺。如果把这三根直杆组合起来，形成三角，使其在尖端互相接触，那么它就会形成完全的直角。如果在三根直杆的各个的长度上各自绘出等边方形，那么边宽三尺的方形就成为面积九尺，四尺的方形就成为十六尺，五尺的方形就成为二十五尺。
这样，一边之长五尺的方形便得到三尺和四尺的两个方形做成的面积尺数相等的面积。当毕达哥拉斯发现了这定理时，他相信这一发现是由穆萨厄启示的，据说非常感谢，就向穆萨厄进献了牺牲。这个方法如同适用于各种事项和测量一样，在建筑方面当建造楼梯时，为使踏步适度而保持水平，也早已应用了。
——录自高履泰译《建筑十书》，中国建筑工业出版社出版（1986），198页。
VII．唐李淳风所论周髀晷影之长
《周髀算经》的宇宙模型中，天与地为相距80000里的平行平面，只是在中央北极所在之处才各自相应隆起一高60000里、底面直径为23000里的柱形（详见本书图6所示）。在这一模型之中，《周髀算经》所构造的数理都能自洽，“日影千里差一寸”的关系式也完全能够成立。但是由于这种宇宙模型并未反映客观真实，上述关系式也不能与实际观测吻合。据传统的说法，浑天说虽在古代中国长期占据统治地位，但盖天家“日影千里差一寸”的关系式却一直被接受和相信着，直到724年一行和南宫说等人的大规模天文测量后才被否定。然而，从下面这篇文献来看，李淳风（602—670）早已列举历史上的实测记录，明确否定了“日影千里差一寸”的关系式。这是李淳风在注释《周髀算经》时附录的大批前代记录以及他所作的排比分析。
且自古论晷影差变，每有不同。今略其梗概，取其推步之要。
《尚书考灵曜》云：“日永影尺五寸，日短一十三尺。日正南千里而减一寸。”张衡《灵宪》云：“悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。”郑玄注《周礼》云：“凡日影于地，千里而差一寸。”王蕃、姜岌因为此说。按前诸说，差数并同，其言更出书，非真有此。以事考量，恐非实矣。
谨案宋元嘉十九年岁在壬午，遣使往交州度日影，夏至之日影在表南三寸二分。《太康地理志》：交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里。交趾西南，望阳城、洛阳，在其东北。较而言之，今阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里，则交趾去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况复人路迂回，羊肠曲折，方于鸟道，所较弥多，以事验之，又未盈五百里而差一寸，明矣。千里之言，固非实也。何承天又云：“诏以土圭测影，考较二至，差三日有余。从来积岁及交州所上，检其增减，亦相符合。”此则影差之验也。
《周礼》大司徒职曰：“夏至之影尺有五寸。”马融以为洛阳，郑玄以为阳城。《尚书考灵曜》：“日永影一尺五寸。”郑玄以为阳城日短十三尺。《易纬通卦验》：“夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。”刘向《洪范传》：“夏至影一尺五寸八分。”是时汉都长安，而向不言测影处所，若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云“春秋分长七尺三寸六分”，此即总是虚妄。
《后汉历志》：“夏至影一尺五寸。”后汉洛阳冬至一丈三尺。自梁天监以前并同此数。魏景初，夏至影一尺五寸。魏初都许昌，与颍川相近；后都洛阳，又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影，似不别影之，冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表，验影之数遥取阳城，冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历，夏至影一尺五寸。宋都秣陵遥取影同前，冬至一丈三尺。后魏信都芳注《周髀四术》云（按永平元年戊子是梁天监之七年也）：见洛阳测影，又见公孙崇集诸朝士共观秘书影，同是夏至之日以八尺之表测日中影，皆长一尺五寸八分，虽无六寸，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞以九尺表于江左建康测夏至日中影，长一尺三寸二分；以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分；八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年，冬至影长一丈二尺七寸二分。开皇二年，夏至影一尺四寸八分。冬至长安测，夏至洛阳测。及王邵《隋灵感志》：冬一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年，夏至一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐贞观二年己丑五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九日丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉、魏及隋所记夏至中影或长或短，齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸为近定实矣。以《周官》推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸亦为近矣。按梁武帝都金陵，去洛阳南北大较千里，以尺表令其有九尺影，则大同十年江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分，若是为夏至八尺表千里而差三寸强矣。
此推验即是夏至影差升降不同，南北远近数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实。
——录自钱宝琮校点《算经十书》，中华书局出版（1963），30—31页。
VIII．明徐光启评论《周髀算经》
徐光启（1562—1633）是晚明热情接受西方近代天文学的代表人物。在他的主持规划下，主要依靠当时来华的耶稣会天文学家，编撰成堪称16世纪之前的西方天文学百科全书的巨著《崇祯历书》。徐光启这种不同于传统中国士大夫的知识结构，使他对于中国古代天文学的态度不像守旧人士那样一味顶礼推崇，而是有时还会出现尖锐的批评。他对《周髀算经》评论，此处所节选的《勾股义序》一文堪称代表。文中的个别言辞不能说没有一点过激之处，如说荣方问陈子以下所言之日月天地之数皆为“千古之大愚”等。但其说与众不同，发前人所未发，很有参考价值。
徐光启曰：《周髀》勾股者，世传黄帝所作，而经言庖牺，疑莫能明也。然二帝皆用造历，而禹复藉之以平水土，盖度数之用，无所不通者也。后世治历之家，代不绝人，亦且增修递进，至元郭守敬若思十得其六七矣，亡不资算术为用者；……自余从西泰子译得《测量法义》，不揣复作勾股诸义，即此法，底里洞然。于以通变施用，如伐材于林，挹水于泽，若思而在，当为之抚掌一快已。方今历象之学，或岁月可缓，纷纶众务，或非世道所急；至如西北治河，东南治水利，皆目前救时至计，然而欲寻禹绩，恐此法终不可废也。有绍明郭氏之业者，必能佐平成之功，周公岂欺我哉！勾股遗言独见于《九章》中，凡数十法，不出余所撰正法十五条。元李冶广之，作《测圆海镜》，近顾司寇应祥为之分类释术，余欲为说其义，未遑也。其造端第一论，则此篇之七亦略具矣。《周髀》首章，九章勾股之鼻祖，甄鸾李淳风辈为之重释，颇明悉，实为算术中古文第一。余故为采摭要语，弁诸篇端，以俟用世之君子不废刍荛者。其图注见他本为节解。至于商高问答之后，所谓荣方问于陈子者，言日月天地之数，则千古大愚也。李淳风驳正之，殊为未辨。若《周髀》果尽此，其学废弗传不足怪；而亦有近理者数十语，绝胜浑天家，余尝为雌黄之，别有论。
——录自《徐光启集》卷二，上海古籍出版社出版（1984），83—84页。