一条能绕地球一周的绳子
在上一章的开头，为了测试大家在矩形及三角形等方面的几何直觉能力，我提出了4个问题，最后一个问题是用绳子连接橄榄球场两端的球门柱。本章将专门讨论圆这种几何图形，请大家拿出一条绳子，用它环绕地球一周！
问题1：假设我们有一条刚好可以绕地球一周的长绳子（约为25 000英里[1]长）。在打结时，我们把绳子的长度增加10英尺。如果要求绳子距赤道的高度全部相同，这个高度应该是多少？
A）离地面不到1英寸。
B）正好可以让人从下面爬过去。
C）正好可以让人从下面走过去。
D）足够一辆卡车从下方通过。
问题2：如下图所示，X和Y是圆上的两个固定点，Z是“优弧”（major arc，指X和Y之间的那条长弧，而不是短弧）上的一个点。要使∠XZY最小，点Z的位置如何确定？
A）点A（与X、Y的中点相对）。
B）点B（点X通过圆心的映射）。
C）点C（与点X尽可能接近）。
D）无所谓。无论点Z在什么位置上，∠XZY都相同。
如何在X和Y之间的优弧上选取一点，使构成的角度数最大？∠XAY、∠XBY、∠XCY，还是所有角的度数都相同？
要解答这两个问题，我们需要进一步了解圆的相关属性。（即使没有圆的相关知识，你也能找出这两道题的正确答案，分别是B和D。但是，要弄清楚为什么它们是正确答案，就需要对圆的知识有所了解。）如下图所示，点O和正数r就可以定义一个圆：圆上的所有点与O的距离都是r。点O是“圆心”，r是圆的“半径”。为方便起见，数学界把从点O至点P的线段也称作半径。
圆心为O、半径为r、直径D = 2r的圆
冰激凌和比萨饼中的π
对于任意圆而言，直径D是半径的两倍：
D = 2r
绕圆一周的长度叫作圆周，记作C。从上图可以看出，由P沿圆周至Q的距离大于D，由Q沿圆周回到P的距离同样大于D，因此C大于2D。仔细观察的话，你甚至可以确定C比3D还要大一点儿。（不过，我们可能需要戴上三维眼镜，才能看得清楚。太遗憾了！）
如果想比较圆形物体的周长与直径之间的关系，我们可以用绳子绕物体一周，然后测量绳子的长度，再除以直径就可以了。无论这个圆形物体是硬币、玻璃杯的杯底、餐盘还是呼啦圈，我们最后都会得到：
C / D ≈ 3.14
我们把这个常量定义为π（读作“pie”），表示圆的周长与直径的比值：
π = C / D
对于任意圆，π的值都是相同的！当然，你也可以把上式变成任意圆的周长公式。对于周长为D（或半径为r）的任意圆，都有：
C = πD或C = 2πr
π的值为：
π = 3.141 59…
在后文中，我们将给出π的更多位数的小数值，还将讨论它的数字属性。
延伸阅读
有趣的是，人的眼睛在估算圆的周长时往往不太准确。比如，大家随便找一个喝水用的大玻璃杯试一试。凭肉眼观察，你能判断出玻璃杯的高度和周长哪个更大吗？大多数人觉得高度大于周长，但真实情况是周长大于高度。不信的话，大家可以伸出拇指和中指，测量一下杯子的直径，就会发现杯子的高度不到直径的3倍。
现在，我们可以回答本章开头提出的问题1了。如果我们把地球的赤道看作一个标准的圆，周长C = 25 000英里，它的半径就是：
不过，要回答这个问题，地球的半径是多少并不重要，我们需要知道的是在周长增加10英尺的情况下，半径会增加多少。如果周长增加10英尺，圆的大小会略有增加，半径增加的量是10/(2π) = 1.59英尺。因此，绳子的高度只够你从下方爬过去（除非你是凌波舞高手，否则你无法从绳子下方走过去）。令人惊讶的是，这个问题的答案竟然与地球的实际周长没有任何关系。把地球换成其他星球或者任何尺寸的球体，答案都不会有变化！例如，如果圆的周长 C = 50英尺，它的半径就是50/(2π) ≈ 7.96英尺。周长增加10英尺后，圆的半径就会变成60/(2π) ≈ 9.55英尺，约增加1.59英尺。
延伸阅读
下面，再向大家介绍圆的另一个重要特性。
定理：令X和Y为圆上完全相对的两个点，那么对于圆上的任意一点P，都有∠XPY = 90°。
例如，下图中的∠XAY、∠XBY和∠XCY都是直角。
证明：连接O和P，设∠XPO = x，∠YPO = y。根据题意，我们需要证明 x + y = 90°。
由于和是圆的半径，长度都是r，因此三角形XPO是等腰三角形。根据等腰三角形定理，∠OXP = ∠XPO = x。同理，也是半径，且∠OYP = ∠YPO = y。由于三角形XYP的内角和为180°，也就是说2x + 2y = 180°，即 x + y = 90°。证明完毕。
这条定理是“圆心角定理”的一个特例。在几何学中，圆心角定理是我最喜欢的定理之一，我将在下一个“延伸阅读”中详细介绍这个定理。
利用圆心角定理，我们可以找出本章开头的问题2的答案。令X和Y为圆上任意两点。以X和Y为端点的弧有两条，长的那条叫作优弧，短的那条叫作劣弧。圆心角定理指出，在X与Y之间的优弧上任取一点P，∠XPY的度数保持不变。具体来说，∠XPY的度数是圆心角∠XOY的一半。如果Q是X与Y之间的劣弧上的一点，则∠XQY = 180°–∠XPY。
例如，如果∠XOY = 100°，那么X、Y与优弧上的任意点P构成的∠XPY = 50°，X、Y与劣弧上的任意点Q构成的∠XQY = 130°。
知道圆的周长之后，就可以推导出圆的一个重要公式：面积计算公式。
定理：半径为r的圆的面积为πr2。
学校老师可能会要求我们死记硬背这个公式，但是，如果了解这个公式成立的理由，就可能会取得更令人满意的效果。严谨的证明需要使用微积分知识，但即使不用微积分，也可以给出一个令人信服的证明过程。
证明方法1：如下图所示，把圆看成一系列同心环。按图中所示方向，从顶部向下切割这个圆，一直切至圆心处，然后将它展开，形成一个类似三角形的图形。这个三角形的面积是多少呢？
半径为r的圆的面积为πr2
底为b、高为h的三角形面积是bh。上面这个类似三角形的图形的底是2πr（圆的周长）、高是r（从圆心至该结构底部的距离）。随着同心环的数量不断增加，切开的圆与三角形越来越接近，因此圆的面积是：
bh =(2πr) (r) = πr2
证明完毕。
这么美妙的定理，一定要反复证明才行！这个证明方法把圆看作一个洋葱，接下来我们把圆变成比萨饼。
证明方法2：将圆分成很多个大小相等的部分，然后将上、下半圆分成的部分穿插在一起。下图显示的是8等分和16等分的情况。
圆的面积为πr2的另一个证明方法（比萨饼法）
随着等分的数量不断增加，每等分的形状与高为r的三角形越来越接近。将下半个圆分割而成的这些“三角形”（仿佛一排石笋）与上半个圆分割而成的“三角形”（像一排钟乳石）穿插在一起，形成的图形与矩形十分接近。矩形的高为r，底等于周长的1/2，即πr。（为了让最后的图形更像矩形，而不是平行四边形，我们将最左边的“钟乳石”分成两半，将其中一半移到最右边。）等分数越多，最后得到的图形就越接近矩形，因此圆的面积是：
bh = (πr) (r) = πr2
证明完毕。
我们经常需要描述圆的平面坐标图。如下图所示，以 ( 0, 0 ) 为圆心、以r为半径的圆可以用方程式
x2 + y2 = r2
来表示。为什么呢？我们令 (x, y) 为圆上的任意一点，然后画一个直角边长为x和y、斜边长为r的三角形。根据勾股定理，我们知道x2 + y2 = r2。
以 (0,0) 为圆心、以r为半径的圆的方程式为x2 + y2 = r2，面积为πr2
当r = 1时，上图这个圆被称为“单位圆”（unit circle）。如下图所示，我们拉伸单位圆，使它在水平方向和垂直方向上分别变为原来的a倍和b倍，就会得到椭圆。
椭圆的面积为πab
椭圆的方程式为：
+ = 1
由于单位圆的面积是π，椭圆是单位圆拉伸ab倍后的结果，因此它的面积是πab。注意，当 a = b = r时，所得到的图形就是半径为r的圆。根据椭圆的面积公式πab，我们可以算出圆的面积，即πr2。
下面向大家介绍椭圆的几个有趣的属性。利用两枚大头针、一个线圈和一支铅笔，就可以画出椭圆。首先，将两枚大头针钉在纸上或硬纸板上，然后将线的两头固定在大头针上，不要绷得太紧。如下图所示，将铅笔放到线圈的某个位置上并拉紧线圈，形成一个三角形，然后让铅笔运动一周。在运动的过程中，铅笔要始终拉紧线圈。最终得到的图形就是一个椭圆。
椭圆的焦点，即两枚大头针所在的两个点，具有非常神奇的特性。如果你将一个弹珠或台球放在其中一个焦点上，然后朝任意方向击打它。这个弹珠或台球在椭圆上反弹一次之后，运动方向就会朝向椭圆的另一个焦点。
行星、彗星等天体的运行轨道都是椭圆形的。
延伸阅读
有意思的是，椭圆的周长没有一个简单的计算公式。但是，数学界的天才人物拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）找到了下面这个美妙的计算公式。以前文中描述的椭圆为例，它的周长约为：
注意，当 a = b = r时，上式就会变成π( 6r –) =2πr，与圆的周长计算公式不谋而合。
在三维物体中也能发现π的身影。以圆柱体（例如，一盒罐头）为例。半径为r、高为h的圆柱体体积（即该物体所占空间大小）是：
V圆柱体 = πr2h
这个公式显然是成立的，因为我们可以把圆柱体看作由面积为πr2的圆不停叠加（就像饭店经常把圆形杯垫叠放成一摞）形成的高为h的物体。
那么，圆柱体的表面积怎么计算呢？换句话说，把圆柱体的表面（包括顶面和底面）刷上油漆，需要多少呢？这个答案无须记忆，因为把圆柱体分成三个部分，就可以轻松地找到答案。顶面和底面的面积都是πr2，加起来就是2πr2。在求剩下部分的面积之前，我们将圆柱体从上向下切开，展开后就会得到一个底为2πr、高为h的矩形。也就是说，圆柱体的侧面面积就是这个矩形的面积，即2πrh。因此，圆柱体的表面积为：
A圆柱体 = 2πr2 + 2πrh
球体是一个三维物体，球面上的所有点到球心的距离都相等。半径为r的球体体积是多少呢？这样的球体可以被装进半径为r、高为2r的圆柱体之中，因此它的体积必然小于πr2(2r) = 2πr3。运气好的话，你会发现它正好是圆柱体体积的2/3（当然，微积分也可以帮你找到这个答案）。换句话说，球体的体积是：
V球体 =πr3
球体的表面积计算公式非常简单，不过推导过程却非常复杂：
A球体 = 4πr2
接下来，我要告诉你们，在冰激凌和比萨饼中也能找到π。想象你的手里正拿着一个圆筒冰激凌，它的高是h，顶部的那个圆的半径是r。如下图所示，令圆筒的尖头到该圆上任意一点的“斜高”（slant height）为s。（根据勾股定理，可以算出s的值，因为 h2 + r2 = s2。）
圆锥体的体积是πr2h/3，表面积是πrs
这样的圆锥体可以被放到半径为r、高为h的圆柱体里面，因此，它的体积小于πr2h并不是一件奇怪的事。但是，如果我说它的体积正好是圆柱体体积的1/3，大家肯定会感到吃惊（不借助微积分的话，我们凭直觉无法发现这个秘密）。换句话说：
V圆锥体 =πr2h
尽管不使用微积分也可以推导出圆锥体的表面积计算公式，但我还是直接把这个公式介绍给大家，让大家尽情领略其简约之美吧：
A圆锥体 = πrs
最后，我送给大家一个美味的比萨饼。如图所示，它的半径是z，厚度是a，请问它的体积是多少？
半径是z、厚度是a的比萨饼体积是多少？
这个比萨饼可以被视为一个比较少见的圆柱体，半径为z，高度为a，因此它的体积是：
V = πz2a
大家看出这个答案中暗藏的玄机了吗？如果没有，我再写一遍：
V = pi z z a
π的身影随处可见
我们前文中介绍的这些面积、周长和体积公式之中都有π的身影，对此我们不会感到奇怪。但是，在很多我们意想不到的数学领域，竟然也可以看到这个神奇的数字。例如，我们在本书第4章讨论的 n!。n!的主要作用是统计某些离散量，与圆没有任何特殊关系。我们知道这个数字的增长速度非常快，而且还没有一个有效捷径可以快速算出它的具体数值。例如，我们仍然需要进行数千个乘法运算才能算出100 000!的数值。但是，我们可以利用“斯特林公式”（Stirling’s approximation），估计 n! 的近似值：
其中，e = 2.718 28…（也是一个非常重要的无理数，我们将在本书第10章对它进行详细讨论）。例如，用电脑计算64!，可以得出：64! = 1.269×1089。根据斯特林公式，。（计算某个数的64次幂，是否有简便方法呢？有的！因为64 = 26，因此我们只需要对64 / e进行6次平方运算就可以了。）
著名的“钟形曲线”（bell curve），如下图所示，在统计学以及所有的实验科学中都可见到。它的高是，关于它的其他特性，我们将在本书第10章再做具体讨论。
钟形曲线的高是
一些无穷级数求和问题中也常常可以看到π。莱昂哈德·欧拉第一个找到了正整数倒数的平方求和公式：
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π2/6
如果上式各项再进行一次平方运算，就可以得到正整数倒数的4次幂的求和公式：
1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 + … = π4/90
事实上，人们已经找到了正整数倒数的偶数次幂（2k）的求和公式，即π2k与某个有理数的乘积。
正整数倒数的奇数次幂的求和公式呢？我们将在本书第12章证明正整数倒数的和是无穷大的，但是它们高于1次的奇数次幂之和，例如3次幂：
1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + … = ?
这个结果并非无穷大。不过，至今还没有人找到一个简便的求和公式。
奇怪的是，π还出现在一些与概率有关的问题中。例如，如果你随机选择两个非常大的数字，它们没有公共的质因数的概率比60%大一点儿。具体来说，这个概率是6/π2 =0 .607 9…，正好是某个无穷级数和的倒数。
π的近似值
如果仔细测量，我们也可以通过实验的方式得出π的值比3大一点儿的结论。但是，我们难免会想到两个问题：如果没有实际测量数据，我们可以证明π的值与3比较接近吗？是否可以用某个分数或者简单的公式来表示π的值呢？
第一个问题的答案是肯定的。画一个半径为1的圆，我们知道这个圆的面积是π×12 = π。在下图中，我们画了一个边长为2的正方形，并把圆完全包围起来。圆的面积肯定小于正方形的面积，由此可证π< 4。
3 < π < 4的几何证明
与此同时，这个圆还包含一个六边形，且六边形的顶点均匀地分布在圆周上。这个内接六边形的周长是多少呢？我们可以将该六边形分割成6个三角形，分别包含一个圆心角360°/6 = 60°，且有两条边是圆的半径（长度为1），因此这些三角形都是等腰三角形。根据等腰三角形定理，另外两个角相等，也都是60°。因此，这些三角形都是等边三角形，且边长为1。六边形的周长是6，小于圆的周长2π。也就是说，6 < 2π，即π > 3。综合前面的几何证明，就有：
3 < π < 4
延伸阅读
我们可以增加多边形的边数，从而把π的值限定在更小的范围之内。例如，如果把包围圆的正方形改成六边形，就可以得出 π < 2= 3.46…
同样，这个六边形可以分割成6个等边三角形，每个等边三角形又可以分割成两个全等的直角三角形。如果这些直角三角形较短的直角边长为x，那么它的斜边长就是2x。根据勾股定理，x2 + 1 = (2x)2。解方程式就可以求出x的值：x = 1/。也就是说，六边形的周长是12 / = 4。由于六边形的周长大于圆的周长2π，因此π < 2。（有趣的是，如果比较圆与六边形的面积，也会得出相同的结果。）
伟大的古希腊数学家阿基米德（公元前287~公元前212）利用这个结果，把内接和外切多边形的边数增加至12、24、48和96，最终证明3.141 03 < π < 3.142 71。这个不等式也可以写成下面这种更加清楚明了的形式：
3 < π < 3
很多分数都可以用来近似表示π的值。例如：
我最欣赏的是最后一个分数，它不仅正确地给出了π的小数点后的6位小数，而且整个分数重复使用了前三个奇数（1、3、5各出现两次），这三个奇数还是按先后次序排列的！
利用分数准确地表示π的值，自然是一个令人感兴趣的课题（当然，这个分数的分子和分母都必须是整数，否则这个问题就太简单了，比如π =）。1768年，约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）证明这个任务是无法完成的，因为他发现π是一个无理数。那么，它是否可以写成某个数的平方根或者立方根的形式呢？例如， = 3.162…就与π的值非常接近。但是，1882年，费迪南德·冯·林得曼（Ferdinand von Lindemann）证明π不仅是一个无理数，还是一个“超越数”（transcendental number），也就是说，它不是任何整数系数多项式的根。例如，是无理数，但它不是超越数，因为它是多项式x2 – 2的一个根。
尽管π不能表示成分数的形式，但它可以表示成分数的和或者乘积，前提是需要使用无穷多个分数！例如，我将在本书第12章告诉大家：
π = 4 (1 – + – +– + …)
上述公式非常美观，但在计算π的值时却没有多大的实际价值，因为即使在300项之后，计算结果与π的接近程度还不如22/7。下面，我再向大家介绍一个令人吃惊的公式——“沃利斯公式”（Wallis’s formula）。这个公式将π表示为无穷乘积的形式，尽管它也是在很多项之后才趋近于π的值。
π = 4 ( × × ×× × × …)
=4 ( 1 – ) ( 1 – ) ( 1 – ) ( 1 – )…
关于圆周率的超级记忆法
很多年来，π牵动着无数人的心（它还是检测超级计算机的计算速度与准确率的一个手段）。截至目前，π的值已经被精确到小数点后好几万亿位了。当然，我们不需要这么高的精确程度。只要将π的值精确到小数点后第40位，就可以将已知宇宙空间的周长精确到氢原子半径的程度。
人们对π的追逐几乎已经达到了狂热的程度。3月14日被许多人视为“圆周率日”（因为这一天可以写成3.14的形式），还正好是艾尔伯特·爱因斯坦的生日。每年的这一天，很多人都会以π的名义举行庆祝活动。通常，在圆周率晚会上，人们会展示、品尝以数学为主题的馅饼，装扮成爱因斯坦的模样，当然，少不了背诵圆周率比赛。学生们通常会记住π的小数点后的几十位数字，但是比赛的获胜者却能背出上百位。顺便告诉大家，目前背诵圆周率的世界纪录保持者是中国的吕超，他在2005年背诵圆周率至小数点后67 890位！据《吉尼斯世界纪录大全》称，吕超为此准备了4年时间，背出这些数字所花的时间超过24个小时。
下面我为大家列出圆周率的前100位数字：
π = 3. 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067…
长期以来，为了记忆圆周率，人们发挥创造力，想出了各种各样的办法。有的人使用造句的方法，借助句子中每个单词的字母数来记忆圆周率。其中广为人知的句子有：“How I wish I could calculate pi（这句话对应圆周率的前7位数字3.141 592）”[2] “How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum machanics（这句话对应圆周率的前15位数字）”。
最令人难忘的是迈克·基斯（Mike Keith）于1995年提出的一个方法:一首以埃德加·爱伦·坡的《乌鸦》（The Raven）为原型写作的诗歌。通过它，人们可以轻松记住圆周率的前740位数字。诗的标题加上第一节，对应42个数字，其中“disturbing”这个单词包含10个字母，对应数字0。
Poe, E. Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap—the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,” I whispered quietly, “I ignore.”
基斯再接再厉，把他的诗作升级为可以辅助记忆圆周率的前3 835位数字的“Cadaeic Cadenza”。（注意，如果把c换成3，a换成1，d换成4，诸如此类，“cadaeic”就会变成3.141 593。）它的开头是《乌鸦》的仿写诗歌，后面还有其他诗歌[例如刘易斯·卡罗尔的《废话》（Jabberwocky）]的仿写诗。最近，基斯又完成了他的新作：Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10 000 Decimals（注意各单词的长度）。
用单词的长度来帮助记忆圆周率的方法有一个非常明显的问题：即使你能记住这些句子、诗歌或者故事，但要立即说出每个单词包含多少个字母，并不是一件轻而易举的事。我想要告诉大家：“How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!”（我希望大家明白：巧妙出色的记忆方法比比皆是。）
我最喜欢的记忆数字的方法名叫“基本记忆系统”（major system）。这种记忆法将每个数字与一个或多个辅音对应起来，具体如下：
1 = t或d
2 = n
3 = m
4 = r
5 = l
6 = j、ch或sh
7 = k或g
8 = f或v
9 = p或b
10 = s或z
人们甚至想出了一些办法，帮助我们记住这种记忆法。我的朋友托尼·马洛什科维普斯（Tony Marloshkovips）给出了这样一些建议：字母t（或者与之发音比较接近的字母d）向下的笔画只有1笔；n有2笔向下；m有3笔向下；“four”（4）最后一个字母是r；伸出5根手指，大拇指和食指就会构成一个l；反写的“6”看上去像j；两个“7”凑到一起可以形成一个k；溜冰时经常会留下一个数字（figure）“8”；将“9”翻过来倒过去就会得到p或者b；“zero（0）”的首字母是z。如果你不喜欢这些方法，你也可以将上面这些辅音字母按次序串起来，就会得到我的（虚拟）好友托尼·马洛什科维普斯的英文名字。
利用这个编码系统，我们可以在辅音中插入元音，从而把数字变成单词。例如，数字31对应的辅音是m和t（或者m和d），它可以变成下面这些英语单词：
31 = mate，mute，mud，mad，maid，mitt，might，omit，muddy
注意，像“muddy”“mitt”这样的单词是可以接受的，因为d或t这两个发音只出现一次，所以拼写时有几个字母出现并不重要。由于h、w和y等辅音没有出现在编码表中，因此它们可以像元音一样自由使用。也就是说，我们还可以把31变成“humid”“midway”等单词。注意，尽管一个数字经常可以变成不同的单词，但每个单词只代表一个数字。
圆周率π的前三位数对应的辅音是m、t和r，它可以变成以下单词：
314 = meter，motor，metro，mutter，meteor，midyear，amateur
圆周率的前5位数314 15可以变成“my turtle”。同理，我们可以把π的前24位数314 159 265 358 979 323 846 264变成：
My Turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger
之后的17位数338 327 950 288 419 71则变成：
My movie monkey plays in a favorite bucket
我很喜欢再接下来的19位数，即693 993 751 058 209 749 4，因为这些数字可以变成一些比较长的单词：
Ship my puppy Michael to Sullivan’s backrubber
随后的18位数，即459 230 781 640 628 620，可以变成：
A really open music video cheers Jerry F. Jones
之后的24位数，即899 862 803 482 534 211 706 7，可以变成：
Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!
就这样，我们把圆周率π的前100位数字变成了5个莫名其妙的英文句子！
基本记忆法用来记忆日期、电话号码、信用卡账号等非常有效。大家可以试试看，只需稍加练习，你的数字记忆能力就会大大增强。
数学界一致认为π是数学领域中最重要的数字之一。但是，仔细研究那些包含π的公式和应用，就会发现在大多数情况下，π都会被乘以2。因此，人们引入了希腊字母τ（读作“tao-wu”），并规定:
τ = 2π
很多人认为，如果时光可以倒流，数学公式和三角学的重要概念中可能不会出现π，而代之以更简单的τ。鲍勃·帕莱（Bob Palais）与迈克尔·哈特尔（Michael Hartl）分别写作文章（《π是错误的》《τ宣言》），以简洁巧妙又轻松愉快的语言阐释了这种想法。他们认为，圆是用半径来定义的，圆的周长与半径之比是 C / r = 2π = τ，并以此作为“核心论点”，提出了改弦更张的要求。现在，有的教科书被加上了“允许使用τ”的说明，所以在公式中会同时出现π和τ。（很多教师和学生都认为，尽管使用新的常量可能会引起一些麻烦，但是τ使用起来确实比π更方便。）这项运动在接下来的几十年里会有什么样的进展呢，我们不妨拭目以待。τ的拥护者们（自称“拥τ派”）坚信真理掌握在他们手中，但是他们经常自诩宽宏大量，表示可以容忍传统的做法。
下面，我将给出τ的前100位数，为后文中出现的记忆法做准备。请注意，τ的前三个数字6和28都是完全数（参见本书第6章）。这是不是巧合呢？当然是巧合，但至少是一种很有意思的巧合。
τ= 6.283 185 307 179 586 476 925 286 766 559 005 768 394 338 798 750 211 641 949 889 184 615 632 812 572 417 997 256 069 650 684 234 135…
2012年，13岁的伊森·布朗（Ethan Brown）在一个基金项目成立活动上背诵出τ的前2 012位数，创造了一项世界纪录。他使用的就是语音编码记忆法，不过他没有编写长句子，而是创作了一幅幅视觉图像，每个句子都包含主语、谓语（全部是进行时）和宾语。例如，τ的前7位数628 318 5，变成“An ocean vomiting a waffle”。下面是他为τ的前100位数创作的视觉图像：
An ocean vomiting a waffle（大海呕吐出一块华夫饼）
A mask tugging on a bailiff（面具戴在法警脸上）
A shark chopping nylon（鲨鱼正在撕咬尼龙）
Fudge coaching a cello（软糖在指导大提琴演奏）
Elbows selling a couch（手肘在销售长沙发）
Foam burying a mummy（泡沫在埋一具木乃伊）
Fog paving glass（雾在铺玻璃）
A handout shredding a prop（救济品压垮了支柱）
FIFA beautifying the Irish（国际足联美化爱尔兰队）
A doll shooing a minnow（布娃娃用嘘声赶走米诺鱼）
A photon looking neurotic（光子看望神经病人）
A puppy acknowledging the sewage（小狗承认自己随地大小便）
A peach losing its chauffeur（桃子与它的司机走散了）
Honey marrying oatmeal（蜂蜜嫁给了麦片）
为了让这些视觉图像更易于记忆，布朗还采用了“记忆宫殿”（memory palace）法，想象自己正在学校里漫步，沿着走廊走进不同的教室，每个教室里都有3~5个对象，它们正在做一些莫名其妙的事情。最终，他把这些数字变成了60个场所里发生的272个视觉图像。他为背诵这2 012位数字准备了4个月的时间。最终，他用时73分钟完成了这项任务。
在本章结束之前，我们为π举行一场音乐庆典吧。我这样说，是为了给拉里·莱塞的仿写诗歌《美国派》（American Pi）增加一点儿抒情的味道。下面这首歌大家只能唱一遍，因为π不是循环小数。
很久很久以前，
我依然记得，数学课让我昏昏欲睡，
因为我们遇到的所有数字，
要么是有尽的，要么是循环小数，
但是，也许有的数字会不一样吧？
就在这时，老师说：“你能不能
计算出这个圆的面积？”
尽管我费了九牛二虎之力，
也无法用分数来表示这个数值。
我不记得自己是否流下了眼泪，
我不停地尝试，不断缩小范围。
但是，某个东西触动了我的心灵深处，
那一天，我第一次知道了！
π，π，数字π，
22/7是一个非常棒的尝试。
你也许希望找到一个准确的分数，
但是，它的小数展开永不止步，
它的小数展开永不止步。
π，π，数字π，
3.141 592 653 589。
你也许希望找到一个准确的分数，
但是，它的小数展开永不止步！
[1] 1英里≈1.609 3千米。——编者注
[2] 这是借助句子中每个单词的字母数来记忆圆周率的一个例子，若译成中文则无法说明问题，所以保留英文。本章后文中出现的英文诗歌、句子、代码也是同样的用途。——编者注