答案出人意料的小测试
我先向大家介绍一个可以作为魔术表演素材的几何问题，请在一张纸上完成以下步骤：
第一步：画一个四边形。4条边不得交叉，并按顺时针方向将4个角分别标记为A、B、C和D（参见下图）。
3个任意的四边形
第二步：把4条边的中点分别标记为E、F、G和H。
第三步：如下图所示，连接各边中点，构成一个新的四边形EFGH。
四边形各边中点的连线一定会构成一个平行四边形
无论你相信与否，EFGH一定是平行四边形。换句话说，一定平行于，一定与平行。（此外，和的长度相同，与的长度也相同。）从上图就可以看出这些特点，不过大家最好自己动手画几幅图验证一下。
这样的意外发现在几何学中比比皆是。做出一些非常简单的假设，然后运用一些并不复杂的逻辑证明，往往就会得出一些非常完美的结果。我们做一个小测验，看看大家在几何方面的直觉能力怎么样。有的问题有非常直观的答案，但有的问题却有令人意想不到的答案（即使拥有一定的几何知识，看到这些答案时，你也会感到惊讶）。
问题1：一位农民准备修建周长为52英尺[1]的矩形篱笆墙。这个矩形的长和宽各是多少时，它的面积最大？
A）正方形（各边边长均为13英尺）。
B）长宽比接近于黄金比例1.618（比如，长16英尺，宽10英尺）。
C）尽可能地长（长和宽分别接近于26英尺和0英尺）。
D）以上篱笆围成的面积都是相同的。
问题2：观察下图中的两条灰色平行线，其中X和Y在下面那条直线上。要求在上方的那条直线上选择一点，使该点与X、Y构成的三角形周长最小。应选择哪个点？
A）点A（位于X和Y中点的正上方）。
B）点B（使B、X和Y构成直角三角形）。
C）尽可能地远离X和Y（如点C）。
D）位置无所谓，因为所有三角形的周长都相同。
上方直线上的哪个点（与点X、Y一起）构成的三角形周长最小？哪个点构成的三角形面积最大？
问题3：上图中，要使三个点构成的三角形面积最大，应选择哪个点？
A）点A。
B）点B。
C）尽可能地远离X和Y。
D）位置无所谓，因为所有三角形的面积都相同。
问题4：橄榄球场上两个球门之间的距离是360英尺。一条长为360英尺的绳子两端分别系在两个球门柱根部。如果绳子增加1英尺，那么球场正中间处的绳子可以抬到多高？
A）离地面的高度不到1英寸[2]。
B）其高度正好可以让人从下面爬过去。
C）其高度正好可以让人从下面走过去。
D）其高度足以通过一辆卡车。
长为361英尺的绳子两端分别系在相距360英尺的两个球门柱根部，球场中间的绳子可以抬到多高？
下面给出了这4个问题的答案。我认为前两个问题的答案十分直观，而后两个则会让大多数人大吃一惊。在本章的后半部分，我会对这些答案一一做出解释。
问题1答案：A。周长一定时，要使矩形面积最大，各条边的长度应该相等。因此，最佳选择是正方形。
问题2答案：A。选择位于X和Y中点正上方的点A，三点构成的三角形XAY的周长最小。
问题3答案：D。所有三角形的面积都相同。
问题4答案：D。球场正中间的绳子可以抬至离地面13英尺处，足够大多数卡车从下方通过。
借助简单的代数运算，就可以解释问题1的答案。如果矩形上下两条边的长度为b，左右两条边的长度为h，它的周长就是2b + 2h，也就是4条边的边长之和。面积表示由4条边围成的图形大小，为bh。（我们在后文中将详细讨论图形的面积。）由于周长必须是52英尺，因此2b + 2h = 52，也就是说：
b + h = 26
既然 h = 26 – b，那么我们希望得到的最大面积bh等于：
b (26 – h) = 26b – b2
b取何值才能使上面这个等式的值最大呢？利用本书第11章介绍的微积分知识，我们很容易就能找到答案。但是，利用第2章介绍的完全平方数，也能算出b的值。b的值有了之后，就可以算出矩形的面积是：
26b – b2 = 169 – ( b2 – 26b + 169) = 169 – (b – 13)2
当b = 13时，矩形的面积是169 – 02 = 169。当b≠13时，矩形的面积为：
169 – (某个不为0的数)2
从169中减去某个正数，得数肯定小于169。因此，当b = 13，h = 26 – b = 13时，矩形的面积最大。在问题1中，农民的篱笆周长是否为52英尺，这是一个无关紧要的条件，这也正是几何学令人惊讶的一个方面。我们可以借助相同的方法证明这样一个问题：要使周长为p的矩形面积最大，矩形的最佳形状应该是正方形，其各边边长均为p/4。
为了解释其他几个问题，我们需要先思考几个看似自相矛盾的研究成果，研究几何学的几个经典问题。三角形的内角和为什么是180°？勾股定理到底指什么？如何判断两个三角形的形状是否相同？三角形的形状是否相同，有什么重要意义？
你不可不知的几何学经典定理
几何学的起源要追溯至古希腊时期。几何学（geometry）的名称来源于“土地”（geo）和“测量”（metria）这两个词语，而且几何学最初应用于土地勘测与天文学研究。但是，古希腊人是演绎和推理大师，他们把几何学发展成现在这种艺术形式。欧几里得汇总了当时（大约是公元前300年）已知的所有几何学研究成果，编写出有史以来最成功的教科书之一——《几何原本》（The Elements）。这本书介绍的诸多理念，包括数学严谨性、逻辑演绎、公理、证明方法等，在数学界沿用至今。
欧几里得在这本书的开头给出了五条公理（亦称“公设”，即我们可以视作常识的命题）。一旦我们接受了这些公理，就可以根据它们推导出几乎所有的几何学真理。下面就是欧几里得的五条公理。（事实上，他对第五条公理的表述略有不同，但我们在这里给出的与之等价。）
公理1：任意两点都可以用唯一一条线段连接。
公理2：任意线段的两端都可以无限延长，变成直线。
公理3：以任意点O为圆心且经过任意点P的圆只有一个。
公理4：所有直角都是90°。
公理5：经过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行。
延伸阅读
有必要告诉大家，我们在本章讨论的是“平面几何”（plane geometry，亦称欧几里得几何），也就是说，我们假设自己身处的环境是一个平面，如x–y平面。但是，如果改变某些公理，我们仍然可以得到某些有趣又有用的数学体系，例如以球面上的点为研究对象的球面几何。球面几何中的“直线”是周长最大的圆（称作大圆），因此，所有的直线都会相交，不存在平行直线。如果对公理5做出修改——至少有两条直线经过点P且与l平行，平面几何就会变成“双曲几何”（hyperbolic geometry）。双曲几何自成体系，有专属的美丽定理。艺术家埃舍尔（Escher）就是利用它创作出大量的版画杰作。下面向大家展示的是运用双曲几何法则绘制而成的一幅图（该图片作者是道格拉斯·邓汉姆）。
事实上，还有一些欧几里得在《几何原本》中没有提到的公理，我将根据需要，把它们介绍给大家。本章的目的不是取代几何学教材，因此我不会从最基础的几何学内容开始一一讲解。我认为大家对点、直线、角、圆、周长和面积等概念都有直观的认识，我也尽可能地不使用术语和数学符号，以便大家把注意力集中在几何学中最值得关注的内容上。
例如，我假设大家已经知道（或者说愿意接受）圆为360°这个事实。角的度数在0°到360°之间。大家想一想时钟的指针，时针和分针的末端在圆心处重合，1点钟时它们呈现的是1/12个圆，因此夹角是30°；3点钟时它们呈现的是1/4个圆，因此夹角是90°。90°的角叫作直角，此时，我们称构成这个角的直线或线段相互垂直。6点钟时，两根指针形成一条直线，夹角为180°。
三个角的度数分别为30°、90°和180°
在这里，我要向大家介绍一个有用的符号。连接点A和点B的线段通常被标记为，而表示线段长度时则去掉上方的横线，例如，的长度是AB。
两条直线相交时，会形成4个角，如下图所示。这些角有什么特点呢？可以看出，两个邻角（如角a和角b）加到一起就会变成一条直线，直线的角度为180°。因此，角a与角b的和肯定是180°。这样的两个角叫作“互补角”。
两条直线相交，邻角的和为180°。不相邻的两个角（叫作对顶角）度数相同。图中角a与角c、角b和角d形成两对对顶角
其他几对邻角同样具有这种属性。也就是说：
a + b = 180°
b + c = 180°
c + d = 180°
d + a = 180°
用第一个等式去减第二个等式，得到a – c = 0。也就是说：
a = c
用第二个等式去减第三个等式，就会得到：
b = d
两条直线相交，不相邻的两个角叫作“对顶角”。我们刚刚证明的就是“对顶角定理”：对顶角度数相等。
我们接下来的任务是证明任意三角形的内角和为180°。在开始证明之前，我先介绍平行线的几条属性。如果两条直线永远不会相交，我们就说它们相互平行。（记住，直线的两端可以无限延伸。）下图所示的是两条平行线l1和l2，第三条直线l3不与它们平行，而与它们分别交于点P和点Q。仔细观察就会发现，直线l3与直线l1、l2形成的角的度数相同。也就是说，我们认为 a = e。我们把角a与角e称作“同位角”。（角b和角f、角c和角g、角d和角h也互为同位角。）同位角看起来显然度数相等，但根据欧几里得的五大公理，我们却无法加以证明。因此，我们需要一条新公理。
同位角的度数相等。在图中，a = e，b = f，c = g，d = h
同位角公理：同位角的度数相等。
结合同位角公理和对顶角定理，我们知道在上图中：
a = c = g = e
b = d = h = f
很多书都为相等的两个角赋予了特殊的名称，例如，形成Z字形的角a与角g被称为“内错角”。至此，我们已经证明任意角都与它的对顶角、同位角和内错角的度数相等。接下来，我们利用这个结果证明几何学的一个基本定理。
定理：任意三角形的内角和都是180°。
证明：观察下图所示三角形ABC，它的三个内角分别是角a、角b和角c。过点B画一条直线，并使它与经过点A、点C的直线平行。
为什么 a + b + c =180°呢？
角d、角b和角e形成一条直线，因此 d + b + e = 180°。角a与角d是内错角，角c与角e也是内错角，因此 d = a，e = c，a + b + c =180°。证明完毕。 □
延伸阅读
“三角形内角和为180°”是平面几何的一个重要定理，但在其他几何学中未必成立。例如，假设我们在地球上画一个三角形。从北极开始，沿着任意经线到达赤道，然后向右，跨越1/4个地球后再向右转，最终回到北极。这个三角形其实包含三个直角，内角和为270°。在球面几何中，三角形的内角和不是固定值，而与三角形的面积直接相关。
在几何教学活动中，学生们经常需要证明两个不同的图形是全等的。如果一个几何图形经过平移、旋转或翻转后可以得到另一个图形，我们就说这两个图形是全等的。例如，下图中的三角形ABC和三角形DEF就是全等三角形，因为通过平移，三角形DEF恰好可以与三角形ABC完全重合。本书中的图形，如果两条边（或两个角）上有同等数量的短线标记，就表明它们的长度（或角度）相同。
全等三角形
我们用符号表示全等，例如，△ABC △DEF的意思是，这两个三角形的边长和角度完全相同。具体来说，AB、BC、CA分别等于DE、EF、FD，角A、角B、角C的度数分别与角D、角E、角F相等。我们在上图中相等的角上标记了相同的符号，相等的边也做了同样的处理。
一旦知道某些边和角相等之后，我们就会知道其余的边和角肯定也相等。例如，如果你知道两个三角形的三对边都相等，有两对角也相等（比如，∠A = ∠D，∠B = ∠E），那么第三对角必然相等，它们是全等三角形。如果知道有两对边的边长相等，比如AB = DE，AC =DF，而且这两条边的夹角也相等，在这个例子中就是∠A = ∠D，就必然存在以下关系：BC = EF，∠B = ∠E，∠C = ∠F。我们把它称作SAS公理，SAS代表“边—角—边”。
SAS公理不是定理，因为我们不能用已有的公理对其进行证明。但是，一旦我们接受这条公理，我们就可以对SSS（边—边—边）、ASA（角—边—角）、AAS（角—角—边）等重要定理做出严谨的证明。要确保全等，相等的那个角就必须是两对相等的边的夹角，因此我们不能推导出所谓的“SSA定理”。SSS定理非常有意思：如果两个三角形的三条边相等，那么它们的三个角也相等。
接下来，我们用SAS公理来证明非常重要的等腰三角形定理。如果某个三角形有两条边相等，我们就说它是一个“等腰三角形”。既然说到等腰三角形，我再向大家介绍其他几种三角形。三条边都相等的三角形叫作“等边三角形”。有一个角为90°的三角形叫作“直角三角形”。如果三个内角都小于90°，这个三角形就是“锐角三角形”。如果有一个内角大于90°，我们就称它为“钝角三角形”。
等边三角形，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
等腰三角形定理：如果等腰三角形ABC的边长AB = AC，那么这两条边所对的角一定相等。
等腰三角形定理：如果AB = AC，那么 ∠B = ∠C
证明：如图所示，从A处画一条直线平分 ∠A（这条直线叫作“角平分线”），与交于点X。
证明等腰三角形定理时，先画出角平分线，然后利用SAS公理证明两个小三角形全等
我们认为BAX与CAX是全等三角形，这是因为BA = CA（ABC是等腰三角形），∠BAX = ∠CAX （AX是角平分线），且AX = AX（这不是输入错误。是两个小三角形的公共边，长度必然相同）。因此，根据SAS公理，这两个小三角形是全等的。由于△BAX △CAX，因此其余的边和角也必然相等，即∠B = ∠C。证明完毕。 □
延伸阅读
利用SSS定理也可以证明等腰三角形定理。先取的中点M，令BM = MC，再画出线段。由于 BA = CA （等腰三角形），AM = AM，MB = MC （M为中点），因此，根据SSS定理，△BAM △CAM，它们的角也都相等，即∠B = ∠C。
两个三角形全等，说明 ∠BAM = ∠CAM，因此也是角平分线。此外，由于∠BMA = ∠CMA，而且它们的和是180°，因此它们都等于90°。也就是说，在等腰三角形中，A的角平分线也是的“垂直平分线”。
顺便告诉大家，等腰三角形定理的逆命题也是正确的：如果 ∠B = ∠C，那么AB = AC。证明过程是：从A画一条角平分线至点X。由于∠B = ∠C（条件），∠BAX = ∠CAX （角平分线），AX = AX，因此根据AAS定理，我们断定 △BAX △CAX。由此可知，AB = AC，ABC是等腰三角形。
等边三角形的所有边都相等，因此等腰三角形定理适用于等边三角形，从而证明等边三角形的三个内角都相等。由于三角形的内角和是180°，因此我们可以得出下面的推论。
推论：等边三角形的三个内角都是60°。
根据SSS定理，如果两个三角形ABC和DEF的三对边都相等（AB =DE，BC = EF，CA = FD），那么它们的内角肯定也相等（∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F）。它的逆命题也成立吗？如果三角形ABC和DEF的三对角都相等，那么它们的三对边也都相等吗？如下图所示，答案显然是否定的。
相似三角形的内角相等，边长成比例关系
内角度数对应相等的三角形叫作“相似三角形”。如果三角形ABC和DEF相似（记作△ABC△DEF，或者是 ABCDEF），那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。从本质上看，如果两个三角形相似，那么一个三角形是另一个三角形的缩小版。因此，如果△ABC△DEF，那么其对应边长成比例关系，比例因子为正数k。也就是说，DE = kAB，EF = kBC，FD = kCA。
接下来，我们用这些知识来解答本章开头小测试中的问题2。假设有两条平行线，下方那条直线上有一个线段。我们需要完成的任务是在上方那条直线上找到点P，使三角形XYP的周长最小。
定理：上方直线上的点P位于中点正上方时，三角形XYP的周长最小。
尽管微积分可以帮助我们解决这个问题，但是过程比较复杂，若利用“映像”原理，我们就可以轻轻松松地找出正确答案。（后面的证明非常有意思，但是过程比较长，大家阅读时可以浏览一下，也可以跳过不读。）
证明：假设P是上方直线上的任意一点，Z为上方直线上的一个固定点，且点Z位于点Y的正上方。（更精确的说法是：垂直于上下两条直线且与上方直线交于点Z，如下图所示。）Y'位于的延长线上，且Y'Z = ZY。换句话说，上方那条直线就像一面大镜子，Y'是Y经过点Z形成的映像。
我断定PZY和PZY'是全等三角形，因为 PZ = PZ，∠PZY = 90°= ∠PZY'，ZY = ZY '，因此，根据SAS定理，两个三角形全等，PY = PY'。
由于三角形PZY和PZY '全等（SAS定理），因此必然有PY = PY'
三角形YXP的周长是三个边长之和：
YX + XP + PY
我们已经证明PY = PY'，因此三角形周长也等于：
YX + XP + PY'
因为边长YX与点P的位置无关，因此我们只需考虑XP + PY'的值最小时点P所在的位置。
仔细观察就可以发现，线段和构成了由X至Y'的一条弯曲路径。由于两点之间直线距离最短，因此，从X至Y'画一条直线就可以确定点P的最佳位置点P*，即这条直线与上面那条直线的交点，如下图所示。但是，我们的任务还没有全部完成，因为我们还需要证明点P*位于中点的正上方。
三角形MXP*和YXY'相似，二者的比例因子为2
把P*正下方的那个点记作M，就有垂直于）。由于上下两条直线平行，因此P*M=ZY。（凭直觉可以得出这个结论，因为平行线之间的距离是一定的。也可以这样证明：画出线段，根据AAS定理可知三角形MYZ与ZP*M全等。）
要证明M是的中点，我们先要证明三角形MXP*与YXY'相似。∠MXP*与∠YXY'是同一个角，∠P*MX与∠Y'YX都是直角，因此这两个角也是相等的。由于三角形内角和为180°，其中有两对角相等，那么第三对角也必然相等。这两个相似三角形的比例因子是多少呢？通过构造性证明法，可以得出：
YY' = YZ + ZY' = 2YZ = 2MP*
因此，比例因子为2。也就是说，XM是XY的1/2，M是的中点。
所以，位于上方直线上且使三角形XYP的周长最小的点P*正好在中点的正上方。证明完毕。 □
有时，我们也可以利用代数知识来解决几何问题。例如，假设平面上有线段，其中A的坐标是 (a1，a2)，B的坐标是(b1，b2)，M是的中点，如下图所示。那么，M的坐标为：
例如，如果 A = (1，2)，B = (3，4)，那么的中点M = [(1 + 3)/2,(2 + 4)/2] = ( 2, 3 )。
取线段两个端点坐标的平均值，即可找到线段中点的坐标
我们利用这个事实来证明三角形的一个重要属性。画一个三角形，然后用线段连接各边中点，其中有什么特点？下面这条定理给出了答案。
三角形中点定理：对于任意三角形ABC，用线段连接的中点和的中点，该线段与三角形的第三条边平行。此外，如果的长度为b，连接中点的那条线段的长度就为b/2。
证明：如下图所示，以点A为原点(0, 0)、边所在直线为横轴画出坐标系，点C的坐标是(b, 0)。假设点B的坐标为(x, y)，那么的中点坐标为(x/2 , y/2)，的中点坐标为 [(x + b)/2 , y/2]。由于这两个中点的纵坐标相同，连接它们的线段必然是水平的，与边平行。此外，这条线段的长度为 (x + b)/2 – x/2 = b/2。证明完毕。 □
三角形两边中点的连线与第三边平行，且长度是第三边的1/2
三角形中点定理揭示了本章开头的那个魔术的奥秘：连接四边形ABCD各边的中点，所形成的四边形EFGH一定是平行四边形。为什么？我们从四边形的顶点A至顶点C画一条对角线，如下图所示，这条对角线会把四边形分成三角形ABC和三角形ADC。
根据三角形中点定理，和都与平行
观察三角形ABC和ADC。根据三角形中点定理，我们发现与平行，与平行，因此与平行。（而且，与都是的一半，因此它们的长度相等。）同理，如果从B向D画一条对角线，就会发现与平行，且长度相等。因此，EFGH是平行四边形。
上面这些定理大多都是关于三角形的，实际上，几何学的很多内容都以三角形为研究对象。三角形是最简单的多边形，其次是四边形、五边形等。有n条边的多边形有时被称作“n边形”（n–gon）。我们已经证明三角形的内角和是180°，那么超过三条边的多边形的内角和是多少呢？正方形、矩形、平行四边形等四边形有4条边。矩形的4个内角都是90°，因此它的内角和必然是360°。下面这条定理对任意一个四边形来说都是正确的，你也可以说它是一条结论。
定理：任意四边形的内角和为360°。
证明：如图所示，取任意四边形，顶点分别为A、B、C、D。连接A、C两个顶点，该四边形就会被分割成两个三角形。这两个三角形的内角和均为180°，因此，该四边形的内角和为2×180°= 360°。 □
任意四边形的内角和为360°
下面我再介绍一条定理，就可以揭示其中的规律。
定理：任意五边形的内角和为540°。
证明：如下图所示，观察顶点为A、B、C、D、E的任意五边形。连接A和C，五边形就会被分割成一个三角形和一个四边形。我们知道，三角形ABC的内角和为180°，四边形ACDE的内角和为360°，因此，五边形的内角和为180°+ 360°= 540°。证明完毕。 □
任意五边形的内角和为540°
利用归纳性证明法计算n边形的内角和，或者通过连接A与其他顶点将n边形分割成n – 2个三角形，由此我们可以得出下面这条定理。
定理：n边形的内角和为180(n – 2)°。
这条定理有一个神奇的应用。画一个八边形，在其内部任意位置标记5个点。连接顶点和这5个点，使八边形内只包含三角形。（这项操作叫作“三角形分割”。）下面有三个八边形，前两个给出了不同的三角形分割方案，最后一个留给大家自己动手操作。
在我给出的两个示例中，都包含16个三角形。你在第三个八边形里取5个点之后，无论这些点处于什么位置，只要你严格按照要求操作，最后都会得到16个三角形。（如果你没有得到16个三角形，那么请你仔细检查八边形内部，确保所有图形都只有三个顶点。如果某个图形看上去像三角形，但实际上是一个四边形，那么你必须在其中添加一个线段，将它分割成两个三角形。）其中的道理可用下面这条定理解释。
定理：如果一个多边形有n条边，内部有p个点，利用这些边和点对该多边形进行三角形分割操作之后，得到的三角形数量一定是2p + n – 2个。
在上例中，n = 8，p = 5，根据这个定理，得到的三角形数量必然是10 + 8 – 2 = 16个。
证明：假设n边形经三角形分割操作后得到T个三角形。我们通过两种方法解答下面的统计问题，从而证明 T = 2p + n – 2。
问题：所有三角形的内角和是多少？
答案1：由于一共有T个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此所有三角形的内角和为180T°。
答案2：分两种情况考虑。包围多边形内部各点的角必然绕该点一周，因此这些角的和是360p°。与此同时，我们知道n边形的内角和为180(n – 2)°，因此所有三角形的内角和为360p + 180(n – 2)°。
由于这两个答案相等，因此：
180T = 360 p + 180 (n – 2)
两边同时除以180，就会得到：
T = 2p + n – 2
证明完毕。
多边形的周长和面积
多边形的周长是所有边长之和。例如，如果矩形的底边长度为b，高为h，它的周长就是2b + 2h，这是因为这个矩形有两条长度为b的边和两条长度为h的边。那么，这个矩形的面积是多少呢？我们把1×1方格的面积（平方单位）定义为1。如下图所示，如果b和h是正整数，那么我们可以把这个图形分割成bh个1×1方格，因此它的面积是bh。一般来说，对于底边为b、高为h的任意矩形（其中b和h是正数，但不一定是整数），我们将它的面积定义为bh。
底为b、高为h的矩形周长是2b + 2h，面积是bh
延伸阅读
在本章中，我们一直在利用代数知识解释几何问题。不过，几何学有时候也可以帮助我们解释代数问题。思考一下这样一个代数问题：如果x 可以取任意正数，那么x + 1/x的最小值是多少？如果x = 1，上式就等于2；如果x = 1.25，上式就等于1.25 + 0.8 = 2.05；如果x = 2，得数就是2.5。这些数据似乎表明最小值是2，这个答案是正确的，但我们如何证明呢？在本书第11章中，我们可以通过微积分直截了当地解决这个问题。但是，只要动动脑筋，我们也可以借助简单的几何知识，轻轻松松地完成这项任务。
下图是一个中间有空洞的正方形。整个图形由4个长方块拼成，每个长方块的边长分别为x和1/x。整个图形（包括中间的空洞）的面积是多少？
一方面，由于该图形是边长为x + 1/x的正方形，因此它的面积为 (x + 1/x)2。另一方面，每个长方块的面积是1，这个图形的面积至少是4。也就是说：
(x + 1/x)2 H 4
从而得出 x + 1/x H 2。证明完毕。
从矩形面积的计算方法，我们几乎可以推导出所有几何图形面积的计算方法。我们先来推导三角形面积的计算方法。
定理：底为b、高为h的三角形的面积为bh。
下图中的3个三角形的底都是b，高都是h，因此它们的面积相等。从本质上讲，这与本章开头小测试中的问题3相同。对于很多人来说，这是一个让他们吃惊的事实。
底为b、高为h的三角形的面积是bh。无论直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，都遵循这个规律
根据角A与角C的大小，可以将这个问题分成3种情况考虑。如果角A或角C是直角，我们可以复制三角形ABC，并把两个三角形放在一起（如下图所示），构成面积为bh的矩形。由于三角形ABC的面积是矩形面积的1/2，因此三角形的面积必然等于bh。
两个底为b、高为h的三角形可以构成一个面积为bh的矩形
如果角A和角C都是锐角，我们也可以做出巧妙的证明。如下图所示，从点B向画一条垂线（被称作三角形ABC的高），交点为X，那么垂线的长度为h。
可以分成和两条线段，它们的长度分别是b1和b2，因此 b1 + b2 = b。由于BXA和BXC都是直角三角形，因此从第一种情况可知，它们的面积分别是b1h和b2h。那么，三角形ABC的面积为：
b1h +b2h = ( b1 + b2)h =bh
如果角A或角C是钝角，情况就会如下图所示。
如果三角形ABC是锐角三角形，我们就把它表示成两个直角三角形的和；如果它是钝角三角形，我们就把它表示成两个直角三角形（ABY和CBY）的差。大直角三角形ABY的底是 b + c，它的面积为(b + c)h，小直角三角形CBY的面积为ch，所以三角形ABC的面积是：
(b + c)h –ch = bh
证明完毕。
勾股定理与想象力
勾股定理可能是最著名的几何定理，也是最著名的数学定理之一，因此我必须用一节的篇幅对它进行专门介绍。在直角三角形中，与直角相对的边叫作斜边，另外两边叫作直角边。下面这个直角三角形的直角边是和，斜边是，它的边长分别是a、b和c。
勾股定理：如果直角三角形的直角边长为a和b，斜边长为c，就有：
a2 + b2 = c2
据说勾股定理的证明方法超过300种，本书将介绍其中最简单的几种。大家在阅读时，可以略过某些证明方法。我希望大家在看完之后，会觉得其中至少有一种证明方法非常有意思，并且夸赞道：“这个证明方法真是太棒了！”
证明方法1：在下图中，我们将4个直角三角形拼成一个大正方形。
问题：这个大正方形的面积是多少？
用两种方法计算大正方形的面积。比较两个答案，勾股定理就会浮出水面
答案1：这个大正方形的边长是 a + b，因此它的面积是 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
答案2：换个角度思考，大正方形包含4个三角形，每个三角形的面积为 ab/2，中间还有一个倾斜的正方形，面积为c2。（中间的那个图形为什么是正方形呢？我们知道它的4条边都相等，如果将这个图形旋转90°，根据对称原理，图形保持不变，因此这个图形的4个内角都相等。同时，由于四边形的内角和为360°，所以每个角都是90°。）因此，大正方形的面积是4(ab)/2 + c2 = 2ab + c2。
综合上述两种答案，就会得到：
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
两边同时减去2ab：
a2 + b2 = c2
证明完毕。
证明方法2：我们把上图中的三角形按照下图所示方式重新排列。在上图中没有被三角形覆盖的面积是c2，而在第二幅图中没有被三角形覆盖的面积是a2 + b2。因此，c2 = a2 + b2。证明完毕。
比较两个图中空白区域的面积，就可以得到a2 + b2 = c2
证明方法3：如下图所示，我们再次调整三角形的位置，让它们拼成一个面积为c2、结构更紧凑的正方形。（这之所以是一个正方形，是因为它的4个角都是角A和角B结合形成的，而且这两个角的和是90°。）前文已经计算过，这4个三角形的面积是4(ab/2) = 2ab，位于中央位置的那个倾斜正方形的面积是 (a – b)2 = a2– 2ab + b2，两者相加的和是2ab + (a2– 2ab + b2 ) = a2 + b2。证明完毕。
该图形的面积既可以表示为c2，又可以表示为a2 + b2
证明方法4：下面给出的是一种相似性证明法，即在证明过程中会利用相似三角形。如下图所示，从直角C向斜边画垂直线段。我们观察发现，三角形ADC包含一个直角和角A，因此它的第三个内角必然和角B相等。同理，三角形CDB包含一个直角和角B，因此它的第三个内角必然和角A相等。也就是说，这3个三角形彼此相似：
△ ACB△ADC△CDB
两个小三角形都与大三角形相似
注意，表示这些三角形时字母次序不能出错。我们知道，∠ACB =∠ADC = ∠CDB = 90°，它们都是直角。同理，∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD，∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC。比较三角形ACB和ADC的边长，就会得到：
AC / AB = AD / AC ⇒ AC2 = AD × AB
比较三角形ACB和CDB的边长，就会得到：
CB / BA = DB / BC ⇒ BC2 = DB × AB
两个等式相加，就会得到：
AC2 + BC2 = AB × (AD + DB)
由于AD + DB = AB = c，因此：
b2 + a2 = c2
下面介绍的是一种纯粹的几何证明方法，不需要使用代数知识，但要求我们有图形想象能力。
证明方法5：如下图所示，画出面积分别为a2和b2的两个正方形，并将它们并排放置，因此它们的总面积是a2 + b2。我们对这个图形进行分割处理，把它变成两个直角三角形（直角边长分别是a和b，斜边长为c）和一个看上去比较奇怪的图形。注意，这个奇怪图形底部的那个角肯定是90°。我们想象在大正方形的左上角和小正方形的右上角分别装上铰链。
这两个正方形的面积为a2 + b2，经过分割处理，它们可以变成……
接下来，想象左下角的那个三角形逆时针旋转90°，停留在大正方形的上方。然后，另一个三角形顺时针旋转90°，使它的直角正好与两个正方形构成的直角重合（如下图所示）。这样一来，我们就会得到一个倾斜的正方形，它的面积为c2。因此，a2 + b2 = c2。证明完毕。
……一个面积为c2 的正方形
现在，我们可以解答本章开头小测试中的问题4了。利用勾股定理，即可算出系在相距360英尺的两个球门柱根部的长度为361英尺的绳子可以抬高多少。
根据勾股定理，h2 + 1802 = 180.52
球场中央到球门柱的距离是180英尺。如上图所示，绳子抬至最高处之后，所构成的直角三角形的一条直角边长为180英尺，斜边长为180.5英尺。根据勾股定理，经过简单的代数运算，就可以得出：
因此，大多数卡车都可以轻松地从绳子下方通过！
魔术时间到了！
在本章开头，我为大家介绍了一个魔术，下面我再介绍一个根据几何原理设计的魔术。勾股定理的大多数证明方法都是在保持面积不变的前提下重新排列几何图形的各个组成部分，从而得到一个不同的图形。先请大家思考一个悖论。如下图所示，把一个8×8的正方形分割成4块（每块的边长都是3、5或8的斐波那契数列中的数字），然后重新排列，拼成一个5×13的矩形。（大家不妨自己动手试一试！）但是，第一个图形的面积是8×8 = 64，第二个图形的面积却是5×13 = 65，这怎么可能？问题出在哪里呢？
一个面积为64的正方形可以重新排列成一个面积为65的矩形吗？
奥秘就在那个5×13矩形的对角“线”上，它其实不是直线。例如，图中三角形C的斜边斜率为3/8 = 0.375（横坐标增加了8，纵坐标增加了3），而图形D（梯形）的斜边斜率为2/5 = 0.4（横坐标增加了5，纵坐标增加了2）。由于两个斜边的斜率不同，因此它们不会构成一条直线。此外，梯形A与三角形B也存在同样的情况。仔细观察下图中的三角形，就会发现在两条“近似对角线”之间，多出了一点儿面积。这些面积分布在一个很长的区域内，大小正好是一个单位。
矩形多出来的那一个单位的面积就分布在对角线周围
我们在本章推导出关于三角形、正方形、矩形和其他多边形的众多属性，这些属性都建立在直线的基础之上。如果我们研究的是圆和其他曲线类图形，就需要借助三角学、微积分等更复杂的几何概念，也无法回避一个充满吸引力的数字——π。
[1] 1英尺≈0.304 8米。——编者注
[2] 1英寸≈2.54厘米。——编者注