如何测量一座山的高度
三角学可以帮助我们解决经典几何学无法搞定的几何问题。例如，请大家考虑下面这个问题。
问题：利用量角器和袖珍计算器测量附近山峰的高度。
我会给出5种解题方法，其中前3种方法几乎不需要使用任何数学知识！
方法1（暴力测量法）：爬到山顶，将计算器扔到山脚下（需要力气足够大），测量计算器落到地面所需的时间（也许你会听到山下传来爬山者的尖叫声）。如果测量结果为t秒，同时我们不考虑空气阻力和终端速度等因素，那么根据标准物理学方程式，我们可以计算出山的高度大约是16t2英尺。但是，由于空气阻力和终端速度等因素的影响力非常显著，因此你的计算结果准确度不高。此外，你的计算器也可能找不回来了。而且，如果应用这个方法，你还需要计时设备，这个计时设备可能正好安装在你的计算器上。这个方法的好处是无须使用量角器。
方法2（户外运动爱好者问询法）：[1]找到一名态度友好的护林员，把那个漂亮的量角器送给她，请她告诉你这座山的高度。如果找不到护林员，就在附近找一名皮肤黝黑的男士，这样的人长期在户外活动，或许知道这个问题的答案。这个方法的好处是可以让你交到一名新朋友，而且不需要牺牲你的计算器。此外，如果你对这位皮肤黝黑的户外运动爱好者的答案有所怀疑，你还可以爬到山顶，用第一种方法测量山峰的高度。这个方法的缺点是你将失去量角器，还有可能受到行贿指控。
方法3（指示牌法）：在使用第一种和第二种方法之前，看看附近是否有说明山峰高度的指示牌。这个方法的好处是无须牺牲任何物品。
当然，如果你对这些方法都不感兴趣，那么你只能借助数学方法了。本章将告诉大家如何利用数学方法解决此类问题。
三角学、三角形和三角函数
“trigonometry”（三角学）的希腊字根是“trigon”和“metria”，意思是三角形测量。我们先来分析一些经典的三角形。
等腰直角三角形。等腰直角三角形包含一个90°的角，且另外两个角必须相等。也就是说，除直角以外的两个角都是45°（因为三角形的内角和为180°）。因此，我们把等腰直角三角形称为45–45–90三角形。如果两个直角边长为1，根据勾股定理，斜边的长度必然是。注意，如下图所示，所有等腰直角三角形的边长比都是1∶1∶。
45 – 45 – 90三角形的边长比是1∶1∶
30 – 60 – 90三角形。等边三角形的所有边长都相等，所有角都是60°。如下图所示，如果将等边三角形分成两个完全相等的部分，所得到的两个直角三角形的三个内角分别是30°、60°和90°。如果等边三角形的边长为2，直角三角形的斜边长就是2，短直角边的边长是1。根据勾股定理，长直角边的边长为 。因此，所有30 – 60 – 90三角形的边长比都是1∶∶2（我把它记作1∶2∶）。具体地说，如果斜边长度为1，那么另外两边的长度分别为1/2和 / 2。
30–60–90三角形的边长比是1∶∶2
延伸阅读
如果正整数a、b和c满足a2 + b2 = c2，那么我们把 (a, b, c) 称为“勾股数”（Pythagorean triple）[2]。勾股数有无穷多个，其中最小、最简单的勾股数是 (3, 4, 5)。当然，我们可以把这个勾股数扩大正整数倍，从而得到 (6, 8, 10)或(9, 12, 15) 或(300, 400, 500) 等勾股数。但是，我们关注的是更有价值的例子。下面介绍一种得到勾股数的方法。取任意正整数m、n，使m＞n。接下来，令
a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2
注意，a2 + b2 = (m2 – n2)2 + (2mn)2 = m4 + 2m2n2 + n4= (m2 + n2)2 = c2，也就是说，(a, b, c)是勾股数。例如，如果 m = 2，n = 1，就会得到 (3, 4, 5)。如果(m, n) = (3, 2)，就有勾股数 (5, 12, 13)；如果(m, n) = (4, 1)，就有 (15, 8, 17)；如果 (m, n) = (10, 7)，就有 (51, 140, 149)。令人吃惊的是，所有的勾股数都可以通过这个方法得到（所有数论课程都会证明这个结论）。
三角学建立在两个重要函数的基础之上，即正弦（sine）函数和余弦（cosine）函数。如图所示，已知直角三角形ABC，c表示斜边长度，a、b分别表示∠A、∠B对应直角边的长度。
对于角A（由于ABC是直角三角形，该角必然是锐角），我们把∠A的正弦函数（记作sinA）定义为：
sinA = = =
同理，我们把∠A的余弦函数定义为：
cosA = = =
（注意，含有角A的所有直角三角形都与原三角形ABC相似，边长的比例关系都相同，因此角A的正弦函数和余弦函数与三角形的大小没有关系。）
除正弦函数和余弦函数之外，三角学中使用最多的函数就是正切（tangent）函数。我们把∠A的正切函数定义为:
tan A =
对于直角三角形，有：
tan A = ====
关于正弦、余弦和正切函数，有非常多种记忆方法，最常见的是“SOH CAH TOA”，其中SOH表示正弦为对边（O）/斜边（H），CAH、TOA与之类似。我的中学老师教给我的口诀是“Oscar Has A Heap of Apples”（奥斯卡有一堆苹果），表示正弦、余弦和正切函数分别对应OH、AH和OA。我的朋友对这个口诀进行了修改，把它变成：“Olivia Has A Hairy Old Aunt！（奥莉维亚的姑姑是一个粗鲁的老妇人！）
例如，在下面这个3 – 4 – 5三角形中，有：
sinA = cosA = tan A =
对于3 – 4 – 5三角形而言，sinA = 3 / 5，cosA = 4 / 5，tan A = 3 / 4
那么，这个三角形的∠B呢？计算角B的正弦与余弦，就会发现：
sinB = = cosA cosB = = sinA
从计算结果可以看出，sinB = cosA，cosB = sinA。这并不是巧合，因为对于∠A而言，另一个锐角的对边和邻边正好与之相反，但是斜边保持不变。由于∠A + ∠B = 90°，对于任意锐角，我们都可以得到：
sin (90°– A ) = cosA cos (90°– A ) = sinA
例如，如果三角形ABC的∠A = 40°，那么它的余角∠B = 50°且sin 50°= cos 40°，cos 50°= sin 40°。换句话说，角B的正弦等于角A的余弦。
除此以外，你们可能还需要记住另外三个函数，不过它们的使用频率低于前三个函数。这三个函数[分别是正割（secant）、余割（cosecant）和余切（cotangent）],它们的定义为：
sec A = csc A = cot A =
我们可以轻松证明正割与余割、正切与余切之间的关系和正弦与余弦之间的关系相似，也就是说，对于直角三角形中的所有锐角，都有sec (90°– A ) = cscA，tan (90°– A ) = cot A。
学会计算正弦之后，就可以通过余角计算所有角的余弦，进而求出正切和其他三角函数。但是，如何计算正弦呢？比如，40°的正弦是多少？最简单的方法是利用计算器。我的计算器告诉我sin 40°= 0.642…，这个数值是如何计算出来的呢？在本章结尾，我将解释其中的奥秘。
有些三角函数的值需要我们记住，而不需使用计算器。前面已经证明，30–60–90三角形的边长比为1∶ ∶2，因此：
sin 30°= 1/2 sin 60°= / 2
还有：
cos 30°= / 2 cos 60°= 1 / 2
由于45 – 45 – 90三角形的边长比1∶1∶，因此：
sin 45°= cos 45°= 1/ = /2
由于tan A =，因此我们只需记住tan 45°= 1和tan 90°不存在（因为cos 90°= 0），而无须记住其他正切函数的值。
在利用三角学计算山的高度之前，我们先解决一个简单的问题：计算树的高度。
如下图所示，假设你与树的距离是10英尺，树的顶部与地面形成的仰角为50°。（顺便告诉大家，大多数智能手机都有可以测量角度的应用程序。利用量角器、吸管和回形针等简单工具，也可以制成一个有效的角度测量仪器——测角器。）
树有多高？
如果树的高度为h，就有：
tan 50°=
因此，h = 10 tan 50°。利用计算器可以算出它的值为10 ×1.19…≈ 11.9，也就是说树的高度约为11.9英尺。
现在，我们准备利用第四种数学方法，解决前面提出的山高问题。我们面临的难题是，我们不知道自己与大山中心点之间的距离。从本质上看，我们有两个未知因素（大山的高度、大山与我们之间的距离），因此我们需要收集两个信息。如下图所示，假设从我们所在的位置看山顶的仰角是40°，然后背向大山走1 000英尺，这时的仰角变成32 °。接下来，我们利用这些信息来计算山的近似高度。
方法4（正切法）：如果山的高度为h，我们最初与大山之间的距离为x（x是的长度）。观察直角三角形BCD，我们知道tan 40°≈ 0.839，因此：
tan 40°≈ 0.839 =
也就是说，h = 0.839x。根据三角形ABC，有：
tan 32°≈ 0.625 =
因此，h = 0.625 (x + 1 000) = 0.625x + 625。
从两个等式中消去h，就可以得到：
0.839x = 0.625x + 625
该方程式的解为 x = 625 / (0.214) ≈ 2 920。也就是说，h的近似值为0.839 ×2 920 = 2 450。因此，山的高度约为2 450英尺。
单位圆、正弦定理与余弦定理
到目前为止，我们都是利用直角三角形来定义各个三角函数的，而且我强烈建议大家无须思考，因为你们只要记住这些定义即可。但是，这些定义有一个缺点：只在角的度数为0°~90°时（直角三角形一定有一个90°角和两个锐角），我们才能求出它的正弦、余弦和正切。本节将讨论如何利用单位圆来定义三角函数，这种定义法可以帮助我们求出任意角的正弦、余弦和正切。
请大家回顾一下单位圆的定义：以圆点 ( 0, 0 ) 为圆心，以1为半径的圆。在上一章，我们利用勾股定理推导出单位圆的方程式为 x2 + y2 = 1。如下图所示，假设从点 (1, 0) 开始沿圆周逆时针方向运动构成的锐角A在单位圆上所对应的点为 (x, y) ，请大家确定该点的坐标。
单位圆上与角A对应的点 ( x, y ) 的坐标为：x = cosA，y = sinA
画一个直角三角形，然后根据余弦和正弦函数，就可以求出x和y。具体来说，就是：
cosA = = = x
cosA = = = y
换句话说，点 (x, y)等于 (cosA, sinA)。[推而广之，如果圆的半径为r，那么 (x, y) = (r cosA, r sinA)。]
我们可以把上述结论推广至任意角，把 (cosA, sinA) 定义为角A在单位圆上的对应点。（换言之，角A与单位圆交点的横坐标与纵坐标分别为cosA和sinA。）我们用下图来表示这个结论。
cosA与sinA的一般定义
在下图中，我们以30°为单位，将单位圆分成若干等分，再标记出45°的坐标，因为它们分别对应我们之前研究的特殊三角形的内角。我们列出了0°、30°、45°、60°和90°的余弦和正弦，具体如下：
(cos 0°, sin 0°) = (1, 0)
(cos 30°, sin 30°) = (/ 2, 1 / 2)
(cos 45°, sin 45°) = (/ 2, / 2)
(cos 60°, sin 60°) = (1 / 2, / 2)
(cos 90°, sin 90°) = (0, 1)
我们还会发现，当这些角成倍扩大时，我们可以根据第一象限的情况来求其他象限角的三角函数值。
由于角的度数增加或减少360°时，角的坐标实际上没有发生变化（只不过沿圆周运动了一圈）。因此，对于任意角，都有：
sin (A ± 360°) = sinA cos (A ± 360°) = cosA
负角的运动方向是顺时针方向。例如，–30°与330°的坐标相同。请注意，沿顺时针方向运动A度，与沿逆时针方向运动A度，最后的横坐标相同，而纵坐标的正负号相反。换句话说，对于任意角 A：
cos (–A) = cosA sin (–A) = – sinA
例如，cos (–30 °) = cos 30 °= /2，sin (–30 °) = –sin 30 °= –1/2
角A关于y轴映射，就会得到补角180° –A。此时，单位圆上对应点的纵坐标保持不变，而横坐标变成相反数。换句话说：
cos (180° – A) = – cosA sin (180° – A) = sinA
例如，当A = 30°时，从上式可知：
cos 150°= – cos 30°= – /2 sin 150°= sin 30°= 1 / 2
我们利用类似方法，继续定义其他三角函数，例如，tan A = sinA / cosA。
x轴和y轴将平面分成4个象限，我们把它们分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。其中，第一象限的角为0°~90°，第二象限的角为90°~180°，第三象限的角为180°~270°，第四象限的角为270°~360°。请注意，第一象限、第二象限的正弦函数为正值，第一象限、第四象限的余弦函数为正值，因此，第一象限、第三象限的正切函数为正值。有的学生想出了一句口诀：“All Students Take Calculus”（所有学生都要学习微积分），以首字母（A、S、T、C）对应各象限中数值为正值的三角函数（即所有三角函数、正弦、正切、余弦）。
值得我们学习的最后一批词汇与反三角函数有关，因为反三角函数可以帮助我们确定角的度数。例如，1 / 2的反正弦函数arc sin(1 / 2)表示角A的正弦函数sinA = 1 / 2。我们知道sin 30°= 1 / 2，因此：
arc sin(1 / 2) = 30°
反正弦函数arc sin对应的角一定在 –90°与90°之间，但我们必须知道，在这个区间之外，还有一些角的正弦函数值一样，例如sin 150°= 1/2。同样，在30°或150°的基础上加上360°的倍数之后，正弦函数的值保持不变，仍然是1/2。
对于下图所示的3–4–5三角形，利用三角函数与计算器，可以通过3种不同方法计算出角A的度数：
∠A = arc sin (3 / 5) = arc cos (4 / 5) = arc tan (3 / 4) ≈ 36.87°≈ 37°
利用反三角函数和边长可以求出角的度数。在本例中，由于tan A = 3 / 4，因此∠A = arc tan (3 / 4) ≈ 37°
接下来，我们就可以利用这些三角函数来解决问题了。在几何学中，给定任意直角三角形的直角边长之后，我们就可以根据勾股定理求出其斜边的长度。在三角学中，我们可以利用“余弦定理”（law of cosines），对任意三角形进行类似运算。
定理（余弦定理）：对于任意三角形ABC，已知两条边的边长分别为a和b，两边的夹角为C，则第三边的边长满足下列等式：
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
例如，在下图中，三角形ABC两条边的边长分别为21和26，两边夹角为15°。根据余弦定理，第三边的长度c必然满足：
c2 = 212 + 262 – 2 (21) (26) cos 15°
由于cos 15°≈ 0.965 9，因此上述方程式可以化简为c2 = 62.21，即c ≈ 7.89。
延伸阅读
证明：在证明余弦定理时，我们需要考虑∠C是直角、锐角或钝角这三种情况。如果∠C是直角，那么cos C = cos 90°= 0，此时余弦定理简化为 c2 = a2 + b2，与勾股定理一致。
如上图所示，如果∠C是锐角，从B向画垂线并与交于点D，就可将三角形ABC分割成两个直角三角形。根据上图，在三角形CBD中，由勾股定理可知 a2 = h2 + x2，也就是说：
h2 = a2 – x2
从三角形ABD可以得到 c2 = h2 + (b – x)2 = h2 + b2 – 2bx + x2，即：
h2 = c2 –b2 + 2bx – x2
综合上面两个等式，消去h2，可以得到：
c2 –b2 + 2bx – x2 = a2 – x2
也就是说：
c2 = a2 + b2 – 2bx
从直角三角形CBD可以得出cos C = x/a，即x = a cosC。由此可知，当∠C是锐角时：
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
如下图所示，当∠C是钝角时，我们可以在三角形的外部构建直角三角形CBD。
对直角三角形CBD和ABD分别运用勾股定理，可以得到a2 = h2 + x2，且c2 = h2 + (b + x)2。消去h2，可以得到：
c2 = a2 + b2 + 2bx
从三角形CBD可知，cos (180°– C ) = x/a，即 x = acos (180°– C ) = –acos C。因此，我们再一次证明下面这个等式成立。
c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
顺便告诉大家，我们还可以根据一个非常简洁的公式求出上述三角形的面积。
推论：对于任意三角形ABC，已知两条边的边长分别为a和b，两边的夹角为C，有：
三角形ABC的面积 =absin C
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证明：底为b、高为h的三角形面积是bh。在证明余弦定理时，我们考虑了三角形的3种情况。在这3种情况下，三角形的底边都是b，因此我们现在需要确定h的值。如果∠C是锐角，通过观察可知，sin C = h/a，即 h = a sinC。如果∠C是钝角，有sin (180°– C) = h / a，即 h = a sin (180°– C) = a sin C，结果同上。如果∠C是直角，则h = a。由于 C = 90°，且sin 90°= 1，因此h =a sinC。也就是说，在这3种情况下，都有h = a sin C。因此，三角形的面积等于ab sin C。证明完毕。 □
根据推论，我们发现：
sin C =
因此，
换句话说，对于三角形ABC来说，(sin C) / c等于三角形ABC面积的两倍与所有边长乘积的商。不过，这个结论对角C没有任何特定要求，换成(sinB) / b或者(sinA) / a，结论同样成立。因此，我们实际上证明了下面这条特别有用的定理。
定理[正弦定理（law of sines）]：在任意三角形ABC中，如果3条边的边长分别为a、b、c，则有：
= =
==
有了正弦定理，在计算山的高度时，我们就多了一种方法。如下图所示，我们重点考虑我们最初所在的位置与山顶之间的距离a。
利用正弦定理计算山的高度
方法5（正弦定理法）：在三角形ABD中，∠BAD = 32°，∠BDA = 180°– 40°= 140°，因此∠ABD = 8°。根据正弦定理：
=
两边同时乘以sin 32°，就会得到 a = 1 000 sin 32°/ sin 8°≈3 808英尺。同时，由于sin 40°≈ 0.642 8 = h / a，因此：
h = a sin 40°≈3 808×0.642 8 = 2 448
也就是说，山的高度约为2 450英尺，与前面的计算结果一致。
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下面这个公式名叫“海伦公式”（Heron’s formula），也值得大家花时间学习。根据这个公式，我们可以求出边长分别为a、b、c的三角形面积。如果先求出三角形的“半周长”（semi-perimeter）
s =
海伦公式就会变得十分简单。根据海伦公式，如果三角形的边长分别为a、b、c，那么它的面积为：
例如，如果三角形的边长分别为3、14、15（π的前5位数字），那么它的半周长 s = (3 + 14 + 15) / 2 = 16。因此，三角形的面积为
通过代数运算和余弦定理，可以推导出海伦公式。
妙趣横生的三角恒等式
三角函数之间有很多非常有意思的关系，我们称之为“三角恒等式”。前文中已经介绍了一些三角恒等式，例如：
sin (–A) = –sinA cos (–A) = cosA
还有一些有意思的恒等式可以推导出重要的公式，接下来我们将探讨这些公式。第一个恒等式来自单位圆公式：
x2 + y2 = 1
由于点 (cosA, sinA) 位于单位圆上，因此它肯定满足上述关系，也就是说 (cosA)2 + (sinA)2 = 1。这可能是最重要的三角恒等式了。
定理：对于任意角A，都有：
cos2 A + sin2 A = 1
到目前为止，我们一直在用字母A来表示任意角，但是这个字母本身没有任何特殊的地方。上述恒等式也经常用其他字母来表示，例如：
cos2 x + sin2 x = 1
此外，人们还经常使用希腊字母θ：
cos2θ + sin2θ= 1
我们有时甚至不使用任何变量，例如，我们可以把它简写成：
cos2 + sin2 = 1
在证明其他恒等式之前，我们先利用勾股定理计算一条线段的长度。它是证明这个恒等式的关键，其计算结果本身也具有非常重要的价值。
定理（距离公式）：令L为点 (x1, y1) 与 (x2, y2) 之间的线段长度，那么：
例如，点 (–2, 3) 与 (5, 8) 之间的线段长度为
根据勾股定理，L2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
证明：如上图所示，以点(x1, y1) 与 (x2, y2)之间的线段为斜边画一个直角三角形。三角形底边的长度为x2 – x1，高为y2 – y1。因此，根据勾股定理，斜边L满足：
L2 = (x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2
也就是说，。证明完毕。 □
注意，即使x2 < x1或y2 < y1，上述公式仍然成立。例如，当x1 = 5，x2 = 1时，x1与x2之间的差是4。尽管 x2 – x1 = – 4，但它的平方同样是16，因此两者的差是正数还是负数并不重要。
延伸阅读
如果一个盒子的大小为a×b×c，那么它的对角线有多长呢？令O、P为盒子底面对角线的两个端点。因为底面是一个a×b的矩形，因此对角线的长度为。
从点P沿垂直方向向上运动长为c的距离，就会到达与点O相对的点Q。要求出点O与点Q的距离，就需要利用三角形OPQ。该三角形是直角三角形，直角边的长度分别为和c。因此，根据勾股定理，线段的长度为：
接下来，我们证明一个既美观又重要的三角恒等式。该定理的证明过程比较复杂，如果你不想了解，可以跳过不读。好消息是，如果这一次你不怕麻烦完成证明工作，那么后面更多恒等式的证明都将迎刃而解。
定理：对于任意角A与角B，都有：
cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB
证明：如下图所示，在以O为圆心的单位圆上取点P和Q，它们的坐标分别为 (cosA, sinA)、 (cosB, sinB)。那么的长度c有什么特点呢？
此图可用于证明cos (A –B) = cosA cosB + sinA sinB
通过观察可以发现，在三角形OPQ中，和都是单位圆的半径，长度为1，两者的夹角∠POQ的度数为 A –B。因此，根据余弦定理：
c2 = 12 + 12 – 2 (1) (1) cos (A –B)
= 2 – 2 cos (A –B)
与此同时，根据距离公式，c必然满足：
c2 = (x2 – x1)2 + ( y2 – y1 )2
因此，点P (cosA, sinA) 与点Q (cosB, sinB) 之间的距离c也满足：
c2 = (cosB – cosA)2 + (sinB –sinA)2
= cos2 B –2 cosA cosB + cos2 A + sin2 B –2 sinA sinB + sin2 A
= 2–2 cosA cosB –2 sinA sinB
最后一步利用了cos2B + sin2 B = 1和cos2 A + sin2 A = 1这两个恒等式。
消去两个等式中的c2，就会得到：
2 – 2 cos (A –B) = 2–2 cosA cosB –2 sinA sinB
两边同时减去2，然后同时除以–2，就会得到：
cos (A –B) = cosA cosB + sinA sinB □
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上述证明建立在余弦定理的基础上，同时假设0°< A – B < 180°。但是，没有这些前提条件，我们同样可以证明cos (A–B) 公式。把上述证明过程中的三角形POQ沿顺时针方向旋转B度，所得到的三角形P'OQ'与原三角形全等，且点Q'在x轴上，其坐标为 (1, 0)。
由于∠P'OQ' = A – B，因此 P' 的坐标是 [cos (A – B ), sin (A – B)]。根据距离公式：
c2 = [cos (A – B) – 1]2 + [sin (A – B) – 0]2
= cos2 (A – B) –2 cos (A – B) + 1 + sin2 (A – B)
= 2 – 2 cos (A – B)
因此，无须运用余弦定理，也无须对角A – B做出任何假设，我们就可以断定c2 = 2 – 2 cos (A –B)。其余证明过程同上。
注意，当 A = 90°时，由于cos 90°= 0，sin 90°= 1，因此cos (A – B ) 公式会变成：
cos (90°– B) = cos 90°cosB + sin 90°sinB
= sinB
如果用90°–B 替换上式中的B，就会得到：
cosB = cos 90°cos(90°– B) + sin 90°sin (90°– B)
= sin (90°– B)
根据前文中的证明，我们知道当B是锐角时，上式成立。现在，通过上面的代数运算，我们知道对于任意角B，上式都成立。同理，如果用– B替换cos (A – B) 公式中的B，由于cos (– B) = cosB，且sin (– B) = – sinB，那么：
cos (A + B) = cosA cos (– B) + sinA sin (– B)
= cosA cosB – sinA sinB
如果令上式中的B = A，就会得到“二倍角公式”（double angle formula）：
cos (2A) = cos2 A – sin2 A
因为cos2 A = 1– sin2 A，sin2 A = 1 – cos2 A，所以我们还可以得到：
cos (2A) = 1–2 sin2 A, cos (2A) = 2 cos2 A – 1
利用这些余弦恒等式，我们可以推导出相关的正弦恒等式。例如：
sin (A + B) = cos [90°–(A + B)] = cos [(90 °–A) –B]
= cos (90°–A) cosB + sin (90 °–A) sinB
= sinA cosB + cosA sinB
令B = A，即可得到正弦二倍角公式：
sin (2A)= 2 sinA cosA
用– B替换B，就有：
sin (A–B) = sinA cosB – cosA sinB
现在，我们把本章学到的恒等式总结如下：
有用的三角恒等式
我必须再次提醒大家，尽管我们利用角A或角B来表示这些恒等式，但这些字母本身没有任何特别之处。使用其他任何字母，对这些恒等式都不会产生影响。例如，cos (2u) = cos2 u – sin2 u或者sin (2θ)= 2 sinθ cosθ同样成立。
弧度、三角函数图像与经济周期
到目前为止，我们在讨论几何学与三角学问题时，所有角的度数都在0°~360°这个范围内。但是，如果我们认真地观察单位圆，就会发现360这个数字没有什么特别之处。古巴比伦人之所以选择这个数字，可能是因为他们使用的是六十进制，而且这个数字与一年的天数比较接近。实际上，在数学和大多数科学领域，人们更喜欢使用“弧度”（radians）作为角的度量单位。弧度的定义是：
2π弧度 = 360°
或者
1弧度 =
对于“拥τ派”来说，由于 τ = 2π，因此：
1弧度 ==
换算成数字的话，1弧度约等于57°。为什么弧度比度用起来更加得心应手呢？在一个半径为r的圆上，2π弧度的角对应的弧长就是整个圆周，即2πr。如果我们把这个角分成若干等分，我们得到的弧长就是2πr的若干分之一。具体来说，1弧度对应的弧长为2πr (1 / 2π) =r，m弧度对应的弧长为mr。总之，对单位圆而言，角的弧度与角对应的弧长相等。这非常方便！
圆的弧度为2π
在下图的单位圆中，我们以弧度为度量单位标出了一些常用的角。
下面给出 τ 版本示意图，供大家比较。
从上图可以发现部分数学界人士喜爱 τ 胜过π的原因。90°是1/4个圆，换算成弧度就是 τ/4；120°是1/3个圆，换算成弧度就是τ /3。的确，人们之所以选择 τ 这个字母，是因为它很容易让人们联想到“turn”（一圈）这个单词。例如，360°表示一个圆圈，弧度是τ；60°表示1/6个圆圈，弧度是 τ /6。
此外，大家还会发现，用弧度替换度之后，三角函数的计算公式会变得简洁许多。例如，我们可以通过下列公式来计算正弦和余弦函数的值：
sin x = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + x9/9! – …
cos x = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! – …
但是，x必须以弧度为度量单位，上述公式才成立。在微积分中，我们将发现正弦函数sin x 的导数就是其对应的余弦函数cos x。同样，前提条件也是x的单位必须是弧度。在画三角函数 y = sin x 和 y = cos x 的图像时，x通常以弧度为单位。
sin x和cos x的图像，变量x以弧度为度量单位
由于正弦和余弦函数具有循环的特性，因此它们的图像每隔2π个单位就会重复一次。（“拥τ派”再得一分！）之所以如此，是因为角 x + 2π与角x其实是一回事儿。我们称这些图像的周期是2π。此外，如果将余弦函数图像向左移动π /2个单位，就会与正弦函数图像完全重合。这是因为π /2弧度等于90°，也就是说：
sin x = cos (π /2 – x)
= cos (x – π /2)
例如，sin 0 = 0 = cos (– π /2)，sin π /2 = 1 = cos 0。
因为tan x = sin x / cos x，所以在cos x = 0时（x为π /2的奇数倍时）tan x无解。如下图所示，正切函数图像的周期是π。
y = tan x的图像
综合运用正弦函数和余弦函数，几乎可以为所有呈现周期性变化的函数绘制图像。因此，在为气温等季节性变化、经济数据以及声波、水波、电波、心率等物理现象建模时，三角函数图像都可以发挥极其重要的作用。
最后，我再表演一个魔术，将三角学与π之间的神秘联系展现给大家。在计算器上输入尽可能多的5，我的计算器最多可以输入16个5，即5 555 555 555 555 555。接下来，取这个数字的倒数，我的计算器给出的答案是：
1 / 5 555 555 555 555 555 = 1.8×10–16
按下计算器上的正弦键（角度模式），然后读出得数的前几位数字（如果前面是一串零，那么统统忽略不计）。我的计算器上显示的是：
3.141 592 653 589 8×10–18
你会发现这些数字（在小数点后面、这些数字前面，有17个零）正好是π的前若干位数！事实上，如果你一开始在计算器中输入任意多个5（不能少于5个），最后的结果就是π。
通过本章的学习，我们发现三角学可以帮助我们更好地理解三角形和圆。三角函数彼此之间形成了各种各样美轮美奂的关系，它们与数字π之间还有着千丝万缕的联系。在接下来的一章，我们将会发现三角函数与另外两个重要的数字同样有着不可分割的联系。这两个数字就是无理数e = 2.718 28…和虚数i。
[1] 作者特意使用“tan gent”（户外运动爱好者）这个表达，目的是让读者联想到“tangent”（正切）一词。——译者注
[2] 勾股数，也叫“毕氏三元数”。——译者注